试问如何将化为适于迭代的形式?
将化为适于迭代的形式,并求x=(弧度)附近的根。
7.用下列方法求在附近的根。
根的准确值=1.…,要求计算结果准确到四位有效数字。
1)用牛顿法;
2)用弦截法,取;
3)用抛物线法,取。
8.用二分法和牛顿法求的最小正根。
9.研究求的牛顿公式
证明对一切且序列是递减的。
10.对于的牛顿公式,证明
收敛到,这里为的根。
11.试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度:
1)
2)
12.应用牛顿法于方程,导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛性。
13.应用牛顿法于方程,导出求的迭代公式,并用此公式求的值。
14.应用牛顿法于方程和,分别导出求的迭代公式,并求
15.证明迭代公式
是计算的三阶方法。
假定初值充分靠近根,求
第七章解线性方程组的直接方法
1.考虑方程组:
(a)用高斯消去法解此方程组(用四位小数计算),
(b)用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。
2.(a)设A是对称阵且,经过高斯消去法一步后,A约化为
证明A2是对称矩阵。
(b)用高斯消去法解对称方程组:
4.设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A=LU,其中L为单位下三角阵,U为上三角阵,求证A的所有顺序主子式均不为零。
5.由高斯消去法说明当时,贝UA=LU,其中L为单位下三角阵,U为上三角阵。
6•设A为n阶矩阵,如果称A为对角优势阵。
证明:
若A是对角优势阵,经过高斯消去法一步后,A具有形式
。
7.设A是对称正定矩阵,经过高斯消去法一步后,A约化为
其中
证明
(1)A的对角元素
(2)A2是对称正定矩阵;
(3)
(4)A的绝对值最大的元素必在对角线上;
(5)
(6)从
(2),(3),(5)推出,如果,贝对所有k
8.设为指标为k的初等下三角阵,即
(除第k列对角元下元素外,和单位阵I相同)求证当时,也是一个指标为k的初等下三角阵,其中为初等排列阵。
9.试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式,其中L为下三角阵,U为单位上三角阵。
10.设,其中U为三角矩阵。
(a)就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式,病写出算法。
(b)计算解三角形方程组的乘除法次数。
(c)设U为非奇异阵,试推导求的计算公式。
11.证明(a)如果A是对称正定阵,则也是正定阵;
(b)如果A是对称正定阵,则A可唯一写成,其中L是具有正对角元的下三角阵。
12.用高斯-约当方法求A的逆阵:
13.用追赶法解三对角方程组,其中
14.用改进的平方根法解方程组
15.下述矩阵能否分解为LU(其中L为单位下三角阵,U为上三角阵)?
若能分解,那么分
解是否唯一?
16.试划出部分选主元素三角分解法框图,并且用此法解方程组
17.如果方阵A有,则称A为带宽2t+1的带状矩阵,设A满足三角分解条件,试推导的计算公式,对
1);
2).
18.设
计算A的行范数,列范数,2-范数及F-范数。
19.求证
(a),
(b)。
20.设且非奇异,又设为上一向量范数,定义
。
试证明是上的一种向量范数。
21.设为对称正定阵,定义
试证明为上向量的一种范数。
22.设,求证
。
23.证明:
当且尽当x和y线性相关且时,才有
。
24.分别描述中(画图)
。
25.令是(或)上的任意一种范数,而P是任意非奇异实(或复)矩阵,定义范数,证明。
26.设为上任意两种矩阵算子范数,证明存在常数,使对一切满足
27.设,求证与特征值相等,即求证。
28.设A为非奇异矩阵,求证
。
29.设A为非奇异矩阵,且,求证存在且有估计
30.矩阵第一行乘以一数,成为
证明当时,有最小值。
31.设A为对称正定矩阵,且其分解为,其中,求证
(a)
(b)
32.设
计算A的条件数。
33.证明:
如果A是正交阵,则。
34.设且为上矩阵的算子范数,证明
第八章解方程组的迭代法
1.设方程组
(a)考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性;
(b)用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当时迭代终止.
2.设,证明:
即使级数也收敛.
3.证明对于任意选择的A,序列
收敛于零.
4.设方程组
迭代公式为
求证:
由上述迭代公式产生的向量序列收敛的充要条件是
5.设方程组
(a)(b)试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。
6.求证的充要条件是对任何向量x,都有
7.
5(a)方
设,其中A对称正定,问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛?
试考察习题程组。
8.设方程组
(a)求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵的谱半径;
(b)求解此方程组的高斯-塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径;
(c)考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。
9.用SOF方法解方程组(分别取松弛因子)
精确解要求当时迭代终止,并且对每一个值确定迭代次数。
10.用SOR方法解方程组(取=)
要求当时迭代终止。
11.设有方程组,其中A为对称正定阵,迭代公式
试证明当时上述迭代法收敛(其中)。
12.用高斯-塞德尔方法解,用记的第i个分量,且
。
(a)证明;
(b)如果,其中是方程组的精确解,求证:
其中
(c)设A是对称的,二次型
证明。
(d)由此推出,如果A是具有正对角元素的非奇异矩阵,且高斯一塞德尔方法对任意初始向量是收敛的,则A是正定阵。
13.设A与B为n阶矩阵,A为非奇异,考虑解方程组
其中。
(a)找出下列迭代方法收敛的充要条件
(b)找出下列迭代方法收敛的充要条件
比较两个方法的收敛速度。
14.证明矩阵
对于是正定的,而雅可比迭代只对是收敛的。
15.设,试说明A为可约矩阵。
16.给定迭代过程,,其中,试证明:
如果C的特征值,则迭代过程最多迭代n次收敛于方
程组的解。
17.画出SOR迭代法的框图。
18.设A为不可约弱对角优势阵且,求证:
解的SOR方法收敛。
19.设,其中A为非奇异阵。
(a)求证为对称正定阵;
(b)求证。
第九章矩阵的特征值与特征向量计算
1.用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量:
(a),(b),
当特征值有3位小数稳定时迭代终止。
2.方阵T分块形式为
J
其中为方阵,T称为块上三角阵,如果对角块的阶数至多不超过2,则称T为准三角形形式,用记矩阵T的特征值集合,证明
3.利用反幂法求矩阵
的最接近于6的特征值及对应的特征向量。
4.求矩阵
与特征值4对应的特征向量。
5.用雅可比方法计算
的全部特征值及特征向量,用此计算结果给出例3的关于p的最优值。
6.(a)设A是对称矩阵,入和是A的一个特征值及相应的特征向量,又设P为一个正交阵,
使
证明的第一行和第一列除了入外其余元素均为零。
(b)对于矩阵
入=9是其特征值,是相应于9的特征向量,试求一初等反射阵P,使,并计算。
7.利用初等反射阵将
正交相似约化为对称三对角阵。
8.设,且不全为零,为使的平面旋转阵,试推导计算第行,第j行元素公式及第i列,第j列元素的计算公式。
9.设是由豪斯荷尔德方法得到的矩阵,又设y是的一个特征向量。
(a)证明矩阵A对应的特征向量是;
(b)对于给出的y应如何计算x?
10.用带位移的QF方法计算
(a),(b)全部特征值。
11.试用初等反射阵A分解为QR其中Q为正交阵,R为上三角阵,
数值分析习题简答
(适合课程《数值方法A》和《数值方法B》)
长沙理工大学
第一章绪论习题参考答案
1.£(lnx)~。
2.。
3.有5位有效数字,有2位有效数字,有4位有效数字,有5位有效数字,有2位有效数字。
4.。
5.。
6.。
7.,。
8.
9.。
10.,,故t增加时S的绝对误差增加,相对误差减小。
11.,计算过程不稳定。
12.,如果令,则,,,,,的结果最好。
13.,开平方时用六位函数表计算所得的误差为,分别代入等价公式中计算可得,。
14.方程组的真解为,而无论用方程一还是方程二代入消元均解得,结果十分可靠。
第二章插值法习题参考答案
1.
2.
3.线性插值:
取,则
二次插值:
取
,则
4.,其中.所以总误差界
5.
当时,取得最大值
6.i)对在处进行n次拉格朗日插值,则有由于,故有.
ii)构造函数在处进行n次拉格朗日插值,有插值余项为,
由于故有
令即得.
7.以a,b两点为插值节点作的一次插值多项式据余项定理,,由于故
8.截断误差其中则时取得最大值由题意,
所以,
9.则可得
,,则可得
10.数学归纳法证当时,为m-1次多项式;假设是m-k次多项式,设为,则为m-(k+1)次多项式,得证
11.右左
12.
13.
12.由于是的n个互异的零点,所以
对求导得
则,
记则
由以上两式得
13.i)
ii)证明同上。
16.
17.
即均为的二重零点。
因而有形式:
作辅助函数
则
由罗尔定理,存在使得
类似再用三次罗尔定理,存在使得
又
可得
即
14.采用牛顿插值,作均差表:
一阶均差
二阶均差
0
0
1
1
1
2
1
0
-1/2
又由得
所以
15.记则因为,所以在上一致连续。
当时,,此时有
由定义知当时,在上一致收敛于。
16.在每个小区间上表示为
计算各值的C程序如下:
#include""
#include""floatf(floatx)
{return(1/(1+x*x));
}
floatI(floatx,floata,floatb)
{
return((x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b));
}
voidmain()
{inti;
floatx[11],xc,xx;x[0]=-5;
printf("x[0]=%f\n",x[0]);for(i=1;i<=10;i++){x[i]=x[i-1]+1;
printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);
}for(i=0;i<10;i++)
{xc=(x[i]+x[i+1])/2;
I(xc,x[i],x[i+1]);printf("I[%d]=%f\n",i+1,I(xc,x[i],x[i+1]));
}for(i=0;i<10;i++)
{xx=(x[i]+x[i+1])/2;f(xx);
printf("f[%d]=%f\n",i+1,f(xx));
}
}
17.在每个小区间上为
18.则在每个小区间上表示为
23.
则三次样条插值函数表达式为
i)由,得
关于的方程组为
24.i)因为所以右=
=左。
ii)由于为三次函数,故为常数,又,则,所以
第三章函数逼近与计算习题参考答案
1.(a)区间变换公式为,代入原公式可得新区间里的伯恩斯坦多项式为;
(b),相应的麦克劳林级数分别为,部分和误差则为,,大于伯恩斯坦多项式的误差。
2.,故,当时,。
3.,对任意不超过6次的多项式,在时,若有,则在上至少有7个零点,这与不超过6次矛盾,所以,就是所求最佳一致逼近多项式。
4.设所求为,,由47页定理4可知在上至少有两个正负交错的偏差点,恰好分别为的最大值和最小值处,故由可以解得即为所求。
5.原函数与零的偏差极大值点分别为,故,解方程可得出唯一解。
6.,故,得,,故所求最佳一次逼近多项式为,又因为两个偏差点必在区间端点,故误差限为。
7.,故由可以解得,,则有,故所求最佳一次逼近多项式为。
8.切比雪夫多项式在上对零偏差最小,所求函数必为切比雪夫多项式的常数倍,,解得唯一解。
9.作变换代入得,则在上的三次最佳逼近多项式为,作逆变换代入,则在上的三次最佳逼近多项式为。
10.,,,,其中。
11.,故正交。
12.用的4个零点做插值节点可求得三次近似最佳逼近多项式为。
13.,则有,其中。
由拉格朗日插值的余项表达公式可得出,令,则待证不等式
成立,得证。
14.由泰勒级数项数节约,在上有,即其中误差限为。
15.,取为的近似,误差限为,再对幕级数的项数进行节约就可以得到原函数的
3次逼近多项式,其误差限为,即为所求
16.当为上的奇函数时,设为原函数的最佳逼近多项式,则,对有,所以也是最
佳逼近多项式,由最佳逼近多项式的唯一性,,即是奇函数。
同理可证,当为上的偶函数时,最佳逼近多项式也是偶函数。
17.,为使均方误差最小,则有,解得。
18.(a),,c为常数,,但当时,,不满足定义,所以不构成内积。
(b),,,且当且仅当时,满足定义,所以构成内积。
19.,其中,贝由此可知用积分中值定理估计比许瓦兹不等式估计更精确。
20.,时最小。
在时,值为,时,值为1,时,值为,时最