例2设函数f（x）=ax3-2bx2+cx+4d（a、b、c、d∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-。
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当x∈[-1,1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？
试证明你的结论；
（3）若x1,x2∈[-1,1]时，求证：
|f（x1）-f（x2）|≤。
【考查目的】
本题主要考查导数的几何意义、导数的基本性质和应用、绝对值不等式以及综合推理能力。
解
（1）∵函数f（x）图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f（-x）=-f（x）.
∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.
∴b=0,d=0,即f（x）=ax3+cx.∴f′（x）=3ax2+c.
∵x=1时,f（x）取极小值-.∴f′
（1）=0且f
（1）=-,
即3a+c=0且a+c=-.解得a=,c=-1.
（2）证明：
当x∈[-1,1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在两点A（x1,y1）、B（x2+y2），使得过这两点的切线互相垂直，
则由f′（x）=x2-1，知两点处的切线斜率分别为k1=x12-1,k2=x22-1,
且（x12-1）（x22-1）=-1.（*）
∵x1、x2∈[-1,1],∴x12-1≤0，x22-1≤0
∴（x12-1）（x22-1）≥0，这与（*）相矛盾，故假设不成立.
（3）证明：
∵f′（x）=x2-1,由f′（x）=0,得x=±1.
当x∈（-∞，-1）或（1，+∞）时，f′（x）＞0;当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0.
∴f（x）在[-1,1]上是减函数，且fmax（x）=f（-1）=,fmin（x）=f
（1）=-.
∴在[-1,1]上，|f（x）|≤.
于是x1,x2∈[-1,1]时，|f（x1）-f（x2）|≤|f（x1）|+|f（x2）|≤+=.
故x1,x2∈[-1,1]时,|f（x1）-f（x2）|≤.
锦囊妙计：
①若x0点是y=f（x）的极值点，则f′（x0）=0,反之不一定成立；
②在讨论存在性问题时常用反证法；
③利用导数得到y=f（x）在[-1,1]上递减是解第（3）问的关键.
例3已知平面向量=（,-1）.=（,）.
（1）证明⊥；
（2）若存在不同时为零的实数k和t，使=+（t2-3），=-k+t，⊥，试求
函数关系式k=f（t）；
（3）据
（2）的结论，讨论关于t的方程f（t）-k=0的解的情况.
【考查目的】
本题考查向量的性质与计算、函数的导数与函数的图象、函数的图象与方程根的个数间的关系以及综合应用能力。
解
（1）∵=×+（-1）×=0∴⊥.
（2）∵⊥，∴=0即[+（t2-3）]·（-k+t）=0.
整理后得-k+[t-k（t2-3）]+（t2-3）·=0
∵=0，=4，=1，
∴上式化为-4k+t（t2-3）=0，即k=t（t2-3）
（3）讨论方程t（t2-3）-k=0的解的情况，可以看作曲线f（t）=t（t2-3）与直线y=k的交点个数.
于是f′（t）=（t2-1）=t（t+1）（t-1）.
令f′（t）=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′（t）、f（t）的变化情况如下表：
t
（-∞,-1）
-1
（-1,1）
1
（1,+∞）
f′（t）
+
0
-
0
+
F（t）
↗
极大值
↘
极小值
↗
当t=-1时，f（t）有极大值，f（t）极大值=.
当t=-1时，f（t）有极小值，f（t）极小值=-.
函数f（t）=t（t2-3）的图象如图13－2－1所示，
可观察出：
（1）当k＞或k＜-时,方程f（t）-k=0有且只有一解；
（2）当k=或k=-时,方程f（t）-k=0有两解；
（3）当-＜k＜时,方程f（t）-k=0有三解.
锦囊妙计：
导数的应用为函数的作图提供了新途径。
例4.已知函数f（x）=ln（1+x）-x,g（x）=xlnx.
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）设0＜a＜b,证明：
0＜g（a）+g（b）-2g（）＜（b-a）ln2.
【考查目的】
本题主要考查导数的基本性质和应用，对数函数性质和平均值不等式知识以及综合推理论证的能力。
解：
（1）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），f′（x）=-1.
令f′（x）=0，解得x=0.
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0;当x＞0时，f′（x）＜0.
又f（0）=0，故当且仅当x=0时，f（x）取得最大值,最大值为0.
（2）证法一：
g（a）+g（b）-2g（）
=alna+blnb-（a+b）ln
=aln
由
（1）结论知ln（1+x）-x<0（x>-1，且x≠0）
由题设0因此，，
.
又，
.
综上.
证法二：
.
设，则
.
当0当x>a时，，因此F（x）在上为增函数.
从而，当x=a时，F（x）有极小值F（a）.
即.
设，则
当x>0时，，因此上为减函数。
即，综上，原不等式得证。
【举一反三】
1．证明：
当x>0时，有
2．（07杭州市模拟）已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任
意的n∈N*，都有4Sn=（an+1）2
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若2n≥tSn对于任意的n∈N*成立，求实数t的最大值。
思路分析：
利用Sn-Sn-1=an（n≥2）易得an=2n-1，从而Sn=n2则问
（2）转化为t≤恒成立，故只需求出数列的最小项，有以下求法：
法一：
研究数列{bn}的单调性。
法二：
数列作为一类特殊的函数，欲求的最小项可先研究连续函数的单调性，求导得，易得为函数的极小值也是最小值点，又，所以而，故
（注：
不能直接对求导，为什么？
）
锦囊妙计：
导数的引进为不等式的证明，甚至为研究数列的性质提供了新途径，充分地体现了数列作为一类特殊函数其本质所在。
特别提示：
例2、例3、例4充分体现了导数作为工具分析和解决一些如函数性质、方程、不等式、数列等问题的方法，这类问题用传统教材无法解决；此外，例4还说明了一点：
欲用导数，得先构造函数。
例5已知双曲线与点M（1，1），如图所示.
（1）求证：
过点M可作两条直线，分别与双曲线C两支相切；
（2）设
（1）中的两切点分别为A、B，其△MAB是正三角形，
求m的值及切点坐标。
【考查目的】
本题考查导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用，使代数与几何实现了和谐的勾通。
（1）证明：
设，要证命题成立只需要证明关于t的方程有两个符号相反的实根。
，且t≠0，t≠1。
设方程的两根分别为t1与t2，则由t1t2=m<0，知t1，t2是符号相反的实数，且t1，t2均不等于0与1，命题获证。
（2）设，由
（1）知，t1+t2=2m，t1t2=m，从而
，即线段AB的中点在直线上。
又，AB与直线垂直。
故A与B关于对称，
设，则
有t2-2mt+m=0①
由及夹角公式知
，即②
由①得③
从而
由②知，代入③知
因此，。
锦囊妙计：
求切线方程的常见方法有：
1、数刑结合。
2、将直线方程代入曲线方程利用判别式。
3、利用导数的几何意义。
小结：
深刻理解导函数作为一类特殊函数，其几何意义所在，熟练掌握利用导数求函数的极值、单调区间、函数在闭区间上的最值等基本方法；导数的应用为研究函数性质、函数图象开辟了新的途径，成为勾通函数与数列、圆锥曲线等问题的一座桥梁；此外，导数还具有方法程序化，易掌握的显著特点。
五.突破难点，提升能力
难点1导数的运算法则及基本公式应用
［例1］求函数的导数：
命题意图：
本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型.
知识依托：
解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数.
错解分析：
本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错.
技巧与方法：
先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导.
（2）解：
y=μ3,μ=ax－bsin2ωx,μ=av－by
v=x,y=sinγγ=ωx
y′=（μ3）′=3μ2·μ′=3μ2（av－by）′
=3μ2（av′－by′）=3μ2（av′－by′γ′）
=3（ax－bsin2ωx）2（a－bωsin2ωx）
（3）解法一：
设y=f（μ）,μ=,v=x2+1,则
y′x=y′μμ′v·v′x=f′（μ）·v－·2x
=f′（）··2x
=
解法二：
y′=［f（）］′=f′（）·（）′
=f′（）·（x2+1）·（x2+1）′
=f′（）·（x2+1）·2x
=f′（）
［例2］利用导数求和
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