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培优作业奥数拔高题

第1讲和倍问题

专题简析:

已知两个数的和与两个数间的倍数关系,求这两个数分别是多少,像这样的应用题,通常叫做和倍问题。

要想顺利地解答和倍应用题,最好的方法就是根据题意,画出线段图,使数量关系一目了然,从而正确列式解答。

解答和倍应用题,关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和,从而先求出1倍数,再求出几倍数。

数量关系可以这样表示:

两数和÷(倍数+1)=小数(1倍数)

小数×倍数=大数(几倍数)

两数和-小数=大数

例题1学校将360本图书分给二、三两个年级,已知三年级所分得的本数是二年级的2倍,问二、三两个年级各分得多少本图书?

 

思路导航:

将二年级所得图书的本数看作1倍数,则三年级所得本数是这样的2倍。

如图所示:

由图可知,二、三年级所得图书本数的和360本相当于二年级的(1+2)倍,则二年级所得图书本数的360÷(1+2)=120本,三年级为120×2=240本。

练习一

1,小红和小明共有压岁钱800元,小红的钱数是小明的3倍。

小红和小明各有压岁钱多少元?

 

2,学校将360本图书分给二、三年级,已知三年级所得本数比二年级的2倍还多60本。

二、三年级各得图书多少本?

 

3,甲桶有油25千克,乙桶有油17千克,乙桶倒入多少千克油给甲桶后,甲桶油是乙桶的5倍?

 

例题2小宁有圆珠笔芯30枝,小青有圆珠笔芯15枝,问小青给小宁多少枝后,小宁的圆珠笔芯枝数是小青的8倍?

 

思路导航:

我们把变化后小青的圆珠笔芯枝数看作1倍数,那么小宁与小青圆珠笔芯的枝数和相当于变化后小青枝数的9倍,所以变化后小青的枝数为(30+15)÷(1+8)=5枝,再用15-5=10枝,则表示小青给小宁的枝数。

练习二

1,红红有邮票80张,佳佳有邮票60张,要使红红的邮票张数是佳佳的4倍,那么佳佳必须给红红多少张邮票?

 

2,甲水池有水69吨,乙水池有水36吨,如果甲水池中的水以每分钟2吨的速度流入乙水池,那么多少分钟后,乙水池的水是甲水池的2倍?

 

3,甲书架有图书18本,乙书架有图书8本,班图书管理员又买来图书16本,怎样分配才能使甲书架图书的本数是乙书架的2倍?

 

例题3被除数与除数的和为320,商是7,被除数和除数各是多少?

 

思路导航:

由商是7可知,被除数是除数的7倍,把除数看作1份数,被除数就有这样的7份,一共7+1=8份。

除数:

320÷8=40

被除数:

40×7=280

练习三

1,被除数和除数和为120,商是7,被除数和除数各是多少?

 

2,被除数、除数、商的和为79,商是4,被除数、除数各是多少?

 

例题4两数相除商为17余6,被除数、除数、商和余数的和是479。

被除数和除数分别为多少?

 

思路导航:

被除数、除数、商和余数的和是479,减去商17和余数6,得到被除数与除数的和为479-17-6=456;又因为被除数比除数的17倍多6,所以456-6=450就相当于除数的(17+1)倍,因此除数为450÷(17+1)=25,被除数为25×17+6=431。

练习四

1,两个整数相除商14余2,被除数、除数、商和余数的和是243,被除数比除数大多少?

 

2,两个整数相除商是21,余数为1,已知被除数、除数、商、余数的和一共是441。

被除数、除数各是多少?

 

例题5两个数之和是792,其中一个数的最后一位数数字是0,如果把0去掉,就与另一个数相同。

这两个数分别是多少?

 

思路导航:

把一个数的最后一位数字0去掉,就与另一个数相同,说明这两个数中大数是小数的10倍。

又已知两个数之和是792,那我们就可以求出这两个数分别是多少了。

小数:

792÷(10+1)=72

大数:

72×10=720

练习五

1,两个数之和是253,其中一个数的最后一位数字是0,如果把0去掉,就与另一个数相同。

这两个数分别是多少?

 

2,师徒两人加工一批零件共693个,师傅加工零件个数的末位数字是0,如果去掉这个0,加工的个数就与徒弟一样多。

师徒二人分别加工零件多少个?

 

3,甲、乙两数的和是209,甲数缩小10倍就和乙数同样大,甲、乙两数分别是多少?

第2讲差倍问题

专题简析:

前面我们已经初步掌握了“和倍问题”的特征和解题方法。

如果知道了两个数的差与两个数间的倍数关系,要求两个数各是多少,这一类题,我们则把它称为“差倍问题”。

小朋友,你们有没有想到用解答和倍问题的类似方法解答差倍问题呢?

解答差倍问题与解答和倍问题相类似,要先找出差所对应的倍数,先求1倍数,再求出几倍数。

此外,还要充分利用线段图帮助分析数量关系。

用关系式可以这样表示:

两数差÷(倍数-1)=较小的数(1倍数)

较小的数×倍数=较大的数(几倍数)

例题1小明到市场去买水果,他买的苹果个数是梨的3倍,苹果比梨多18个。

小明买苹果和梨各多少个?

 

思路导航:

将梨的个数看作1倍数,则苹果的个数是这样的3倍。

如下图:

从线段图上可以看出,苹果的个数比梨多了3-1=2倍,梨的2倍是18个,所以梨有18÷2=9个,苹果有:

9×3=27个。

练习一

1,学校合唱组,女同学人数是男同学的4倍,女同学比男同学多42人。

合唱组有男、女同学各多少人?

 

2,一件皮衣价钱是一件羽绒服价钱的5倍,又已知一件皮衣比一件羽绒服贵960元。

皮衣与羽绒服各多少元?

 

3,甲筐苹果是乙筐苹果的3倍,如果从甲筐取出60千克放入乙筐,那么两筐苹果重量就相等。

两筐原来各有苹果多少千克?

例题2被除数比除数大252,商是7,被除数、除数各是多少?

 

思路导航:

根据“商是7”可知,被除数是除数的7倍,把除数看作1倍数,被除数就是这样的7份,比除数多6份。

所以除数是:

252÷(7-1)=42

被除数是:

42+252=294

练习二

1,被除数比除数大168,商是22,被除数、除数各是多少?

 

2,除数比被除数小212,商是5,被除数、除数各是多少?

 

3,被除数比商大144,除数是7,被除数、商各是多少?

 

例题3水果店有两筐橘子,第一筐橘子的重量是第二筐的5倍,如果从第一筐中取出300个放入第二筐,那么第一筐橘子还比第二筐多60个。

原来两筐橘子各有多少个?

 

思路导航:

根据“如果从第一筐中取出300个放入第二筐,那么第一筐橘子还比第二筐多60个”,说明原来第一筐比第二筐橘子多300×2+60=660个。

把第二筐的橘子重量看作1倍数,第一筐橘子是这样的5倍,比第二筐多4倍,第二筐橘子的4倍正好是660个,所以第二筐原有橘子:

660÷4=165个,第一筐橘子原来有:

165×5=825个。

练习三

1,同学们捐助残,六年级捐款钱数是三年级的3倍。

如果从六年级捐款钱数中取出160元放入三年级,那么六年级捐款的钱数还比三年级多40元。

两个年级分别捐款多少元?

 

2,人民公园的杜鹃花盆数是长春园的4倍,如果从人民公园搬出188盆杜鹃花放入长春园,则人民公园的杜鹃花盆数就比长春园的少25盆。

原来两个公园各有杜鹃花多少盆?

 

3,两堆煤重量相等,现从甲堆中运走24吨到乙堆,而乙堆煤中又运入8吨,这时乙堆煤的重量正好是甲堆煤重量的3倍。

问两堆煤原来各有多少吨?

 

例题4甲、乙两个数,如果甲数加上280就等于乙数,如果乙数加上320就等于甲数的3倍。

两个数各是多少?

思路导航:

根据题意,画出线段图:

“甲数加上280就等于乙数”,说明乙数比甲数大280;如果乙数再加上320,甲、乙就相差320+280=600,把甲数看作1倍数,从图上可以看出,600就相当于甲数的3-1=2倍。

所以,甲数为600÷2=300,乙数为300+280=580。

练习四

1,甲、乙两人的存款相等,甲取出60元,乙存入20元后,乙的存款是甲的3倍。

甲、乙两人原有存款各多少元?

 

2,小明和小华的连环画本数相等,若小明借给小华6本,小华的本数是小明的4倍。

原来两人各有连环画多少本?

3,两筐千克数相同的苹果,甲筐卖出7千克,乙筐卖出19千克后,甲筐余下的苹果是乙筐的3倍。

两筐苹果原来各有多少千克?

 

例题5两个书架所存书的本数相等,如果从第一个书架里取出200本书,而第二个书架再放入40本书,那么第二个书架的本数是第一个书架的3倍。

问两个书架原来各存书多少本?

 

思路导航:

根据题意,画出线段图。

从线段图上可以看出,第一个书架取出200本,第二个书架放进40本书后,两个书架就相差200+40=240本,把变化后的第一个书架看作1倍数,两个书架相差的240本就相当于变化后第一个书架的(3-1)倍。

所以,变化后第一个书架有书:

(200+40)÷(3-1)=120本

两个书架原来各有:

120+200=320本。

练习五

1,两个仓库所存粮食重量相等,如果从第一个仓库里取出2000千克,而第二个仓库再存入400千克,那么第二个仓库的粮食重量就是第一个仓库的7倍。

两个仓库原来各存粮食多少千克?

 

2,小红和小明的铅笔枝数相等,如果奶奶再给小红16枝铅笔,给小明2枝铅笔,那么小红的铅笔枝数就是小明的3倍。

原来小红和小明各有铅笔多少枝?

 

3,商店有数量相等的英语本和算术本,英语本卖出160本,算术本卖出420本后,余下的英语本数是算术本的3倍。

两种本子原来各有多少本?

 

第3讲和差问题

专题简析:

已知大小两个数的和及它们的差,求这两个数各是多少,这类问题我们称为和差问题。

掌握了和差问题的特征和规律,我们解答起来就很方便了。

解答和差问题通常用假设法,同时结合线段图进行分析。

可以假设小数增加到与大数同样多,先求大数,再求小数;也可以假设大数减少到与小数同样多,先求小数,再求大数。

用数量关系表示:

(和+差)÷2=大数

(和-差)÷2=小数

例题1期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分,李杨比王平少4分。

两人各考了多少分?

 

思路导航:

根据题意画出线段图。

我们可以用假设法来分析。

假设李杨的分数和王平一样多,则总分就增加4分,变为188+4=192分,这就表示王平的2倍,所以王平考了:

192÷2=96分,李杨考了96-4=92分。

练习一

1,两筐水果共重124千克,第一筐比第二筐多8千克。

两筐水果各重多少千克?

 

2,小宁与小慧的身高总和是264厘米,又已知小宁比小慧矮8厘米。

两人分别高多少厘米?

 

3,三

(1)班和三

(2)班共有学生124人,如果从三

(2)班调2人到三

(1)班,两班学生同样多。

(1)班、三

(2)班原来各有学生多少人?

 

例题2某机床厂第一、二两个车间共有车床96部,如果第一车间拨给第二车间8部,那么两个车间车床数相等。

两个车间各有车床多少部?

思路导航:

用线段图表示题意。

已知第一、二两个车间共有车床96部,又根据“如果第一车间拨给第二车间8部,两个车间车床数相等”,从线段图上我们可以看出第一车间原来比第二车间多8×2=16部车床。

所以,第一车间原有:

(96+8×2)÷2=56部,第二车间原有56-8×2=40部。

练习二

1,红星小学一年级新108人,分成甲、乙两个班。

如果从甲班转3个学生到乙班去,两班学生就一样多。

甲、乙两班各有学生多少人?

 

2,甲、乙两筐共有水果80千克,若从甲箱取出6千克放到乙箱中,这时两箱水果同样多。

两箱原来各有水果多少千克?

 

3,有三只船共运木板9800块,第一只船比其余两船共运的少1400块,第二只船比第三只船少运200块。

三只船各运木板多少块?

 

例题3哥弟俩共有邮票70张,如果哥哥给弟弟4张邮票,这时哥哥还比弟弟多2张。

哥哥和弟弟原来各有邮票多少张?

思路导航:

我们可以这样想,哥弟俩共有邮票70张,根据“如果哥哥给弟弟4张,还比弟弟多2张”,说明原来哥哥比弟弟多4×2+2=10张邮票。

所以,弟弟有邮票:

(70-10)÷2=30张,哥哥有邮票30+10=40张。

练习三

1,一只两层书架共放书72本,若从上层中拿出9本给下层,上层比下层多4本。

上、下层各放书多少本?

2,姐姐和妹妹共有糖果39块,如果姐姐给妹妹7块,就比妹妹少3块。

那么姐姐和妹妹原来各有糖果多少块?

 

3,两笼兔子共16只,若甲笼再放入4只,乙笼取出2只,这时两笼兔子只数就同样多。

甲、乙两笼原来各有兔子多少只?

 

例题4把一条100米长的绳子剪成三段,要求第二段比第一段多16米,第三段比第一段少18米。

三段绳子各长多少米?

 

思路导航:

用线段图来表示题意。

可以这样想:

把第一段绳子的长度当作标准,假设第二、第三段绳子都和第一段同样长,那么总长就变为100-16+18=102米。

第一段绳子长:

102÷3=34米

第二段绳子长:

34+16=50米

第三段绳子长:

34-18=16米

练习四

1,某工厂第一、二、三车间共有工人280人,第一车间比第二车间多10人,第二车间比第三车间多15人。

三个车间各有工人多少人?

 

2,某工厂将857元奖金分给有创造发明的三名优秀工人,第一名比第二名多得250元,第二名比第三名多得125元。

三名优秀工人各得多少元?

 

3,小明期终考试的语文、数学和英语的平均分是95分,数学比语文多6分,英语比语文多9分。

小明期终考试三门功课各多少分?

 

例题5四个人年龄之和是88岁,最小的3岁,他与最大的年龄之和比另外两个人年龄之和大8岁。

最大的年龄是多少岁?

 

思路导航:

我们可以这样思考,将最大、最小两个人年龄的和与另外两人年龄和分别看作大数与小数,根据四个人的年龄和是88岁,年龄差是8岁,即可求出大数与小数。

大数:

(88+8)÷2=48岁

最大的年龄:

48-3=45岁

练习五

1,小军一家四口年龄之和是129岁,小军7岁,妈妈30岁,小军与爷爷年龄这和比他父母年龄之和大5岁。

爷爷和爸爸的年龄各是多少岁?

 

2,某校四个年龄共有438名学生,其中一年级119人,四年级101人,一、二年级的总人数比三、四年级的总人数多52人。

二、三年级各有多少人?

 

3,某校四个年级共有138名学生参加数学竞赛,其中一、二年级共70名,一、三年级共65名,二、三年级共59名。

四年级有多少名?

 

第4讲年龄问题

专题简析:

年龄问题可以说是前面所讲的和差问题及差倍问题的综合,要正确解答这类题,首先要弄清:

两个不同年龄的人,年龄之差始终不变,但两个人年龄的倍数关系却在不断地变化。

年龄问题的主要特征是:

大小年龄差是一个不变的量。

我们可以抓住年龄差不变这个特点,利用和差、差倍等知识来分析解答这类应用题。

例题1三年前爸爸年龄是女儿的4倍,爸爸今年43岁,女儿今年多少岁?

 

思路导航:

由题意可知爸爸今年43岁,则三年前爸爸的年龄是43-3=40岁,40岁正好是女儿年龄的4倍,女儿三年前的年龄是40÷4=10岁,今年女儿的年龄是10+3=13岁。

练习一

1,四年前小林年龄是小丽的2倍,小林今年12岁,小丽今年多少岁?

 

2,五年前爷爷年龄是孙子的7倍,孙子今年14岁,爷爷今年多少岁?

 

3,儿子今年10岁,爸爸今年34岁。

几年前,爸爸的年龄是儿子的4倍?

 

例题2明明4岁时,妈妈年龄是明明的8倍。

今年明明12岁,妈妈今年多少岁?

 

思路导航:

妈妈的年龄是明明的8倍,那么妈妈与明明的年龄相差4×8-4=28岁。

妈妈与明明的年龄差是不变的,今年明明12岁,那么妈妈的年龄是12+28=40岁。

练习二

1,玲玲7岁时,爸爸年龄是玲玲的5倍。

今年爸爸40岁,玲玲今年多少岁?

 

2,爷爷63岁时,他的年龄是小青的9倍。

今年小青12岁,爷爷今年多少岁?

3,两年前妈妈年龄是儿子的5倍,儿子今年9岁,妈妈今年多少岁?

 

例题3女儿今年3岁,妈妈今年33岁。

几年后,妈妈的年龄是女儿的7倍?

 

思路导航:

女儿今年3岁,妈妈今年33岁,她们的年龄差是33-3=30岁。

她们年龄差不变,几年后,妈妈的年龄是女儿的3倍,把女儿的年龄看作1份,妈妈的年龄就有7份,相差7-1=6份,6份是30岁,所以几年后女儿的年龄是30÷6=5岁。

也就是说,5-3=2年后,妈妈的年龄是女儿的7倍。

练习三

1,小明今年7岁,爷爷今年62岁。

几年前,爷爷的年龄是小明的12倍?

 

2,儿子今年2岁,爸爸今年的年龄是儿子的16倍。

几年后,爸爸的年龄是儿子的7倍?

 

3,妈妈今年26岁,是小玲年龄的13倍。

几年后,妈妈的年龄是小玲的7倍?

 

例题44年前,妈妈的年龄是女儿的3倍,4年后,母女年龄和是56岁。

妈妈今年多少岁?

 

思路导航:

4年后,母子的年龄和是56岁,可求出今年母子年龄和是56-4×2=48岁。

4年前母子年龄和是48-4×2=40岁。

又根据4年前,妈妈年龄是女儿的3倍,把女儿年龄看作1份,妈妈的年龄就有这样的3份,共有3+1=4份。

所以4年前女儿的年龄是40÷4=10岁,妈妈今年的年龄是10×3+4=34岁。

练习四

1,3年前,哥哥的年龄是弟弟的2倍。

3年后,哥弟俩的年龄和是30岁。

哥哥今年多少岁?

 

2,5年前,小明的年龄是小红的3倍。

5年后,小明和小红年龄和是44岁。

今年小明多少岁?

 

3,7年前,姐姐的年龄是妹妹的4倍。

7年后,姐妹俩的年龄和是48岁。

姐姐今年多少岁?

 

例题5明明今年12岁,强强今年7岁,当两人的年龄和是45岁时,两人各多少岁?

 

思路导航:

明明和强强的年龄差为12-7=5岁,这是一个不变量。

当两人的年龄和是45岁时,明明比强强还是大5岁,如果从两人的年龄和45岁里减去两人的年龄差5岁,得到的就是两个强强的年龄。

所以,强强的年龄是(45-5)÷2=20岁,明明的年龄是20+5=25岁。

练习五

1,小红今年4岁,小平今年10岁,当两人的年龄和是30岁时,两人各多少岁?

 

2,聪聪今年2岁,妈妈今年28岁。

当母子俩的年龄和是42岁时,两人各多少岁?

 

3,兰兰今年12岁,婷婷今年14岁,当两人的年龄和是40岁时,两人各多少岁?

 

第5讲加减巧算

一、知识要点

在进行加减运算时,为了又快又好,除了要熟练地掌握计算法则外,还需要掌握一些巧算的方法。

加减法的巧算主要是运用“凑整”的方法,把接近整十、整百、整千的数看做所接近的数进行简算。

进行加减巧算时,凑整之后,对于原数与整十、整百、整千……相差的数,要根据“多加要减去,少加要再加,多减要加上,少减要再减”的原则进行处理。

另外,可以结合加法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整,从而达到简算的目的。

二、精讲精练

【例题1】你有好办法迅速算出结果吗?

(1)502+799-298-98

(2)9999+999+99+9

 

练习1:

计算。

(1)308+203-399-97

(2)99999+9999+999+99+9

 

(3)1999+199+19(4)375+483+525+617

 

【例题2】计算。

(1)487+321+113+279

(2)736-567+264

 

(3)877+345-677(4)528-248-152

 

练习2:

计算。

(1)321+127+73+279

(2)235-125+365

 

(3)987-733-167(4)487+(413-89)

【例题3】计算下面各题。

(1)962-(284+262)

(2)432-(154-168)

 

练习3:

计算。

(1)421+(279-125)

(2)812+(168-112)

 

(3)823-(175+323)(4)538-(283-162)

 

【例题4】2000-111-89-112-88-113-87-114-86-115-85-116-84

 

练习4:

计算。

(1)800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5

 

(2)1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90

 

【例题5】计算:

98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87……-4-3+2+1

 

练习5:

计算。

(1)2009+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14……+2006

 

(2)1+2-3+4+5-6+7+8-9……+97+98-99

第6讲乘除巧算

(一)

一、知识要点

前面我们已给同学们介绍了加、减法中的巧算,大家学会了运用“凑整”的方法进行巧算,实际上这种凑整的方法也同样可以运用在乘除计算中。

为了更好地凑整,同学们要牢记以下几个计算结果:

2×5=10,4×25=100,8×125=1000。

提高计算能力,除了加、减、乘、除基本运算要熟练之外,还要掌握一定的运算技巧。

巧算中,经常要用到一些运算定律,例如乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等等,善于运用运算定律,是提高巧算能力的关键。

二、精讲精练

【例题1】你有好办法算出下面各题的结果吗?

(1)25×17×4

(2)8×18×125

 

(3)8×25×4×125(4)125×2×8×5

 

【思路导航】

(1)我们知道25×4=100,因而我们要尽量把25与4放在一块计算,这样比较简便。

所以我们先算25×4=100,再与17相乘即100×17=1700;

(2)因为8×125=1000,因而我们先把8与125放在一块计算,8×125=1000,再乘18:

1000×18=18000;(3)已知25×4=100、125×8=1000,因此这道题我们要通过移位的方法把25与4相乘,125与8相乘,然后再把1000与100相乘,1000×100=100000;(4)因为125×8=1000,2×5=10,因而这道题也要移一移,先计算125×8=1000和2×5=10,再计算1000×10=10000。

练习1:

(1)25×23×4

(2)125×27×8

 

(3)5×25×2×4(4)125×4×8×25(5)2×125×8×5

 

【例题2】你有好办法计算下面各题吗?

(1)25×8

(2)16×125(3)16×25×25(4)125×32×25

 

【思路导航】

(1)已知25×4=100,因为8=2×4,所以我们可以把25×8转化为25×4×2.然后先算25×4=100,再算出100×2=200。

(2)125×8=1000,16=8×2.因而我们可以把16×125转化为2×(8×125),然后算出8×125=1000,再乘2得到2000;(3)因为25×4×100,16=4×4,这样可以将两个4分别与两个25相乘,所以原式就转化为(4×25)×(4×25),再分别计算,得到结果100×100=10000;(4)因为125×8=1000,25×4=100,我们又发现32=4×8,所以可将4和8分别与25、125相乘,得到(125×8)×(25×4),再分别算出结果为1000×100=100000。

练习2:

1.

(1)25×12

(2)125×32(3)48×125

 

2.

(1)125×16×5

(2)25×8×5

 

3.

(1)125×64×25

(2)32×25×25

 

例3怎样简便就怎样计算。

(1)472×99

(2)402×25

 

练一练:

怎样简便就怎样计算。

(1)47×98

(2)301×25

例4怎样简便就怎样计算。

(1)387×46+387×

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