《控制工程基础》第三章习题解题过程和参考答案.docx
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《控制工程基础》第三章习题解题过程和参考答案
3-1已知某单位反馈系统的开环传递函数为，试求其单位阶跃响应。
解法一，采用拉氏反变换：
系统闭环传递函数为：
输入为单位阶跃，即：
故：
可由待定系数法求得：
所以，
对上式求拉氏反变换：
解法二，套用典型一阶系统结论：
由式（3-15），已知典型一阶系统为：
由式（3-16），其单位阶跃响应为：
若一阶系统为，则其单位阶跃响应为：
现本系统闭环传递函数为：
其中，
所以，
采用解法二，概念明确且解题效率高，计算快捷且不易出错，应予提倡。
3-2设某温度计可用一阶系统表示其特性，现在用温度计测量容器中的水温，当它插入恒温水中一分钟时，显示了该温度的98%，试求其时间常数。
又若给容器加热，水温由0℃按10℃/min规律上升，求该温度计的测量误差。
解：
（1）由题意知，误差为2%，因此调节时间：
，即时间常数T：
（2）由题意知输入信号为斜坡信号，。
由式（3-24），一阶系统跟踪斜坡信号时有一固定稳态误差：
3-3一阶系统的结构如题3-3图所示，其中K1为开环放大倍数，K2为反馈系数。
设K1＝100，K2＝0.1。
试求系统的调节时间ts（按±5％误差计算）；如果要求ts＝0.1，求反馈系数K2。
题3-3图系统的结构图
解：
系统闭环传递函数为：
可见，时间常数
（1）调节时间（5％误差）
（2）已知，所以
3－4设单位反馈系统的开环传递函数为，求该系统的单位阶跃响应。
解：
系统闭环传递函数为：
这是一个二阶过阻尼系统，不是二阶振荡系统，因此不能套用现成结论。
可用传统方法求解，即：
输入为单位阶跃：
故：
对上式求拉氏反变换：
3-5已知某系统的闭环传递函数为
系统单位阶跃响应的最大超调，峰值时间，试确定和值。
解：
由，可求得：
（也可查图3-16而得）
由，可求得：
3-6一单位反馈系统的开环传递函数为
求：
（1）系统的单位阶跃响应及动态性能指标、、和；
（2）输入量为单位脉冲时系统的输出响应。
解：
系统闭环传递函数为：
（注：
上式已经符合标准式（3-27），否则应变换为标准式才能继续）
系统的参数为：
，为欠阻尼。
（1）由式（3-46），单位阶跃响应：
，其中
代入各参数：
，其中
以下求各指标：
由，其中，
故：
（也可查图3-16而得）
（2）由式（3-46），单位脉冲响应：
代入各参数：
3-7某二阶系统的结构框图如题3-7图所示，试画出，和时的单位阶跃响应曲线。
题3-7图控制系统框图
解：
系统闭环传递函数为：
系统的参数为：
。
（1）
此时，，为欠阻尼，可求得：
（2）
此时，由，可知，仍为欠阻尼。
由于阻尼比增大，因此超调量减小。
若,调节时间将由于阻尼比的增大而减小.
（3）
此时，由，可知，成为过阻尼系统，因此没有超调量。
调节时间的计算不能应用公式,应按照定义计算,通常会加大,略.
三种情况下的单位阶跃响应曲线如下面图所示。
3-8由实验测得二阶系统的单位阶跃响应曲线如题3-8图所示，试计算其系统参数和。
题3-8图二阶系统的单位阶跃响应曲线
解：
由图可知，。
由，可求得：
（也可查图3-16而得）
由，可求得：
3-9某系统如题3-9图所示，若要求单位阶跃响应的最大超调，调节时间，试确定值和值。
题3-9图控制系统框图
解：
系统闭环传递函数为：
与标准式（3-27）比较，知：
且，所以：
根据题意，最大超调。
而超调量是阻尼比的单值函数，由此可决定阻尼比：
而调节时间，所以：
由此得联立方程：
解得：
3-10典型二阶系统的单位阶跃响应为
试求系统的最大超调、峰值时间、调节时间。
解：
由式（3-46），典型二阶系统的单位阶跃响应表达式为：
，其中
将上式与给定响应式比较，可计算系统的二个参数。
由，求得阻尼比：
或者也可这样求：
由，求得阻尼比：
由，得
二个参数求出后，求各指标就很方便了。
（1）最大超调（或查图3-16）
（2）峰值时间
（3）调节时间：
3-11已知某三阶控制系统的闭环传递函数为
试说明该系统是否有主导极点。
如有，求出该极点，并简要说明该系统对单位阶跃输入的响应。
解：
闭环系统有三个极点，分别是：
将实极点与共轭复极点的实部作一比较：
，且附近无零点。
因此确实可视为闭环系统主导极点。
即可以用二阶主导极点系统近似等于原三阶系统：
该二阶系统的参数为：
单位阶跃输入的响应指标为：
3-12已知控制系统的特征方程如下，试分析系统的稳定性。
3-12
（1）
解：
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
1
1
4
2
3
5
9
5
5
结论：
劳斯表第—列变号二次，系统不稳定。
（特征方程有二个右根）
3-12
（2）
解：
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
2
3
10
1
5
10
10
结论：
劳斯表第—列变号二次，系统不稳定。
（特征方程有二个右根）
3-12（3）
解：
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
1
1
1
3
3
0
1
结论：
劳斯表第—列出现零值，系统不稳定。
（特征方程有纯虚根）
3-12（4）
解：
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
1
8
20
16
2
12
16
2
12
16
0
0
结论：
劳斯表出现全零行，系统不稳定。
（特征方程有纯虚根）
3-13设某系统的特征方程，试确定待定参数a及b，以便使系统稳定。
解：
列劳斯表如下
1
为使系统稳定，需满足以下条件：
①特征方程的系数均大于0，即：
②劳斯表第—列元素均大于0，去除与条件①重复部分后，有：
解以上4个不等式：
由
（1）:
；由
（2）和（3）:
；综合得：
；
由（3）:
；
由（4）:
；综合得：
于是，闭环系统稳定条件为：
3-14已知单位反馈系统的开环传递函数为
（1）
（2）
试分析闭环系统的稳定性。
解：
（1）
系统闭环传递函数为：
闭环系统特征方程为：
判别稳定性：
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
0.1
10
2.5
100
6
100
结论：
劳斯表第一列均为正值，系统闭环稳定。
（2）
系统闭环传递函数为：
闭环系统特征方程为：
判别稳定性：
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
4
2500
1
120
3
2499.9
1
2.952
1
结论：
劳斯表第一列均为正值，系统闭环稳定。
3-15试分析下列图示系统的稳定性。
题3-15图控制系统框图
解：
3-15（a）
先求系统闭环传递函数：
闭环系统特征方程为：
判别稳定性：
这是一个二阶系统，只要特征方程的系数均大于0就必然稳定，无须采用劳斯判据。
（同学可自证之）
3-15（b）
该闭环系统有二个反馈回路，可采用方块图等效化简方法合并之。
即系统闭环传递函数：
闭环系统特征方程为：
判别稳定性：
①特征方程的系数均大于0且无缺项。
②列劳斯表如下
1
10
21
10
10
结论：
劳斯表第—列均为正值，系统闭环稳定。
3-16试确定使题3-16图所示系统稳定的值。
3-16（a）
解：
先求系统闭环传递函数：
闭环系统特征方程为：
判别稳定性：
①特征方程的系数均大于0且无缺项，要求K>0。
②列劳斯表如下
1
2
1
K
K
若要求劳斯表第—列均为正值，应满足：
综合有：
开环增益K在上述范围内，则闭环系统稳定。
3-16（b）
解：
先求系统闭环传递函数（可参考习题3-15b）：
闭环系统特征方程为：
判别稳定性：
①特征方程的系数均大于0且无缺项，要求。
②列劳斯表如下
1
10
10
10
若要求劳斯表第—列均为正值，应满足：
综合有：
速度反馈增益K在上述范围内，则闭环系统稳定。
3-16（c）
解：
先求系统闭环传递函数：
闭环系统特征方程为：
判别稳定性：
①特征方程的系数均大于0且无缺项，要求。
②列劳斯表如下
0.025
1
0.35
K
K
若要求劳斯表第—列均为正值，应满足：
综合有：
开环增益K在上述范围内，则闭环系统稳定。
3-17已知单位反馈系统的开环传递函数为
式中，，，试确定使系统稳定的值。
解：
先求系统闭环传递函数：
闭环系统特征方程为：
判别稳定性：
①特征方程的系数均大于0且无缺项，要求。
②列劳斯表如下
1
K
K
若要求劳斯表第—列均为正值，应满足：
综合有：
（1）
代入数据后：
开环增益K在上述范围内，则闭环系统稳定。
本题的数学模型较为常见，采用先公式运算再代入参数的方法可以得到一般性结论，例如
（1）式。
习题3-19就可引用本题结果。
3-18设单位反馈系统的开环传递函数为
要求闭环特征根实部均小于-1，试确定值的取值范围。
解：
通常，闭环特征根实部均小于0可使闭环系统稳定。
但在工程上，不仅要求闭环系统稳定，而且常常要求闭环系统具有一定的稳定裕量。
本题的意义即在于此。
有关稳定裕量的概念，将在第4章中介绍。
数学上可这样处理：
令，代入特征方程。
这表示，若求解特征方程，使闭环特征根的实部小于0，就相当于使的实部小于-1，因此，对于变量的特征方程，就可以使用常规劳斯判据了。
求系统闭环传递函数：
闭环系统特征方程为：
令，代入特征方程：
即：
判别稳定性：
①特征方程的系数均大于0且无缺项，要求。
②列劳斯表如下
若要求劳斯表第—列均为正值，应
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