美国数学竞赛AMC8真题解析英文解析+中文解析.docx
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美国数学竞赛AMC8真题解析英文解析+中文解析
美国数学竞赛AMC8--2018年真题解析（英文解析+中文解析）
Problem1
Answer:
A
Solution:
Youcanjustdo289/20androundyouranswertoget14.
中文解析:
比例是1:
20,真实建筑是289feet,因此复制品的高度是:
289/20约等于14feet.答案是A.
Problem2
Answer:
D
Solution:
Byaddingupthenumbersineachofthe6parentheses,wehave:
（2/1）*（3/2）*（4/3）*（5/4）*（6/5）*（7/6）.Usingtelescoping,mostofthetermscanceloutdiagonally.Weareleftwith7.
中文解析:
=（2/1）*（3/2）*（4/3）*（5/4）*（6/5）*（7/6）=7/1=7.答案是D.
Problem3
Answer:
D
Solution:
Thefivenumberswhichcausepeopletoleavethecircleare7,14,17,21,27.Themoststraightforwardwaytodothiswouldbetodrawoutthecirclewiththepeople,andcrossoffpeopleasyoucount.ThelastonestandingisDan.
中文解析:
依次离开圆圈的数字分别是7,14,17,21,27,...直接把A,B,C,D,E按圆形排列,依次数,划掉出局的,最后剩下的是D.答案是D.
Problem4
Answer:
C
Solution:
Wecount3*3=9unitsquaresinthemiddle,and4smalltriangleseachwithanareaof1.Thus,theansweris9+4=13.
中文解析:
这个12边形围起来的小正方形共有9个,其面积是9*1=9.小三角形有8个,其面积是8*0.5=4.因此面积一共是9+4=13.答案是C.
Problem5
Answer:
E
Solution:
Wecanrewritethegivenexpressionas
1+（3-2）+（5-4）+…+（2017-2016）+（2019-2018）=1+1+1+…+1.
Thenumberof1sisthesameasthenumberoftermsin1,3,5,7,……2017,2019.Thustheansweris1010.
中文解析:
把上式按下面的规则用小括号括起来:
=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+...+（2017-2016）+（2019-2018）=1+1+1+1+...+1+1.
除了第一个1外,还有:
2018/2=1009个1.因此和是1010.答案是E.
Problem6
Answer:
C
Solution:
SinceAnhspendshalfanhourtodrive10milesonthecoastalroad,hisspeedis10/0.5=20mph.Hisspeedonthehighwaythenis20*3=60mph.Hedrives50miles,sohedrivesfor5/6hours,whichisequalto50minutes.Thetotalamountofminutesspentonhistripis30+50=80minutes.
中文解析:
海滨道路上花费的时间是30分钟（0.5小时）,路程是10英里,因此速度是:
10/0.5=20.则高速路的速度是3*20=60mph.高速路的距离是50mile,则时间是50/60=5/6小时=50分钟.答案是A.
Problem7
Answer:
B
Solution:
Weusethepropertythatthedigitsofanumbermustsumtoamultipleof9ifitaredivisibleby9.Thismeansu=7.Sincewearelookingfortheremainderwhendividedby8,wecanignorethethousands.Theremainderwhen187isdividedby8is3.
中文解析:
因为这个数能被9整除,因此2+0+1+8+U是9的倍数,因此u=7.20187除以8的余数只需要看后三位187除以3的余数.余数是3.答案是B.
Problem8
Answer:
C
Solution:
Themean,oraveragenumberofdaysisthetotalnumberofdaysdividedbythenumberofstudents.Thetotalnumberofdaysis（1*1+2*3+3*2+4*6+5*8+6*4+7*2）=109.Thetotalnumberofstudentsis1+3+2+6+8+3+2=25.Hence,109/25=4.36.
中文解析:
有1个学生锻炼了1天,3个学生锻炼了2天,2个学生锻炼了3天,....
平均值是:
（1+3*2+2*3+6*4+8*5+3*6+2*7）/（1+3+2+6+8+3+2）=109/25=4.36答案是C.
Problem9
Answer:
B
Solution:
Hewillplace（12*2）+（14*2）=52tilesaroundtheborder.Fortheinnerpartoftheroom,wehave10*14=140squarefeet.Eachtiletakesup4squarefeet,sohewilluse140/4=35tilesfortheinnerpartoftheroom.Thus,theansweris52+35=87.
中文解析:
1-foot的正方形需要:
16*2+10*2=52块.
中间剩下的面积是:
14*10=140.2-foot的瓷砖的面积是2*2=4.需要140/4=35块瓷砖.
共需要:
52+35=87块瓷砖.答案是B.
Problem10
Answer:
C
Solution:
Thesumofthereciprocalsis1/1+1/2+1/4=7/4.Theiraverageis7/12.Takingthereciprocalofthisgives12/7.
中文解析:
harmonicmean是先计算这组数的倒数的算数平均值,然后再求倒数.1/1,1/2,1/4的算数平均值是:
7/12.其倒数是12/7.因此harmonicmean是12/7.答案是C.
Problem11
Answer:
C
Solution:
ThetotalnumberofwaysisC（6,2）=15,ifwetreatAbbyandBridgetasapairanddistinguishableandforgettheothers.Thetotalnumberofwaystheyareadjacent=4（fortherows）+3（forthecolumns）Therefore,P（AbbyandBridgetsittingadjacent）is7/15.
中文解析:
第一步安排A的座位,第二步安排B的座位.
A的座位可能位于4个角落之一,也可能位于两个中间位置之一.,分两种情况.
第一种,A的座位位于4个角落之一的可能性是4/6,下一步安排B的座位,B和A相邻的可能性有:
2/5.
第二种,A的座位唯一两个中间位置之一的可能性是2/6,下一步安排B的座位,B和A相邻的可能性有:
3/5.
综合起来:
4/6*2/5+2/6*3/5=7/15.答案是C.
Problem12
Answer:
B
Solution:
Weseethatevery35minutestheclockpasses,thewatchpasses30minutes.Thatmeansthattheclockis7/6asfastthewatch,sowhenthecarclockpasses7hours,thewatchhaspassed6hours,meaningthatthetimewouldbe6:
00.
中文解析:
当实际时间过了30分钟时（从12:
00到12:
30）,她的汽车表的时间过了35分钟.其比值时30:
35=6:
7.当汽车表显示7个小时时,根据比例关系,实际时间应该是6点.答案是B.
Problem13
Answer:
A
Solution:
SayLaliagetsavalueofxonherfirst4tests,andavalueofyonherlasttest.Thus,4x+y=410.
Thevalueyhastobegreaterthan82,becauseotherwiseshewouldreceivethesamescoreonherlasttest.Additionally,thegreatestvalueforyis98（asy=100wouldgivexasadecimal）,sothereforethegreatestvalueycanbeis98.Asaresult,only4numberswork,86,90,94,98.
中文解析:
假设前4次考试的分数都是x,最后一次考试的分数是y,则4x+y=82*5.即4x=410-y.
其中x,y都是正整数,82y最大可以是98,因此每次减4,y依次可以是98,94,90,86.共4种可能性.答案是A.
Problem14
Answer:
D
Solution:
120=2*2*2*3*5.Forthegreatestfive-digitnumber,120=8*5*3*1*1.Thus,nis85311.Thesumofeachdigitsis8+5+3+1+1=18.
中文解析:
120=2*2*2*3*5.为了这个5位数最大,首先让万位数上的数字最大,120可以写成8*5*3*1*1.因此这个5位数是85311.其各位数字之和是:
8+5+3+1+1=18.答案是D.
Problem15
Answer:
D
Solution:
LettheradiusofthelargecirclebeR.ThentheradiiofthesmallercirclesareR/2.Theareasofthecirclesaredirectlyproportionaltothesquareoftheradii,sotheratiooftheareaofthesmallcircletothelargeoneis1/4.Thismeansthecombinedareaofthe2smallercirclesishalfofthelargercircle,andthereforetheshadedregionisequaltothecombinedareaofthe2smallercircles,whichis1.
中文解析:
两个小圆面积合起来是1,那么一个小圆的面积是0.5.大圆的半径是小圆的半径的2倍,因此大圆的面积是小圆面积的4倍,大圆的面积是0.5*4=2.阴影部分的面积是:
2-1=1.答案是D.
Problem16
Answer:
C
Solution:
SincetheArabicbooksandSpanishbookshavetobekepttogether,wecantreatthembothasjustonebook.Thatmeanswe'retryingtofindthenumberofwaysyoucanarrangeoneArabicbook,oneSpanishbook,andthreeGermanbooks,whichisjust5factorial.Nowwemultiplythisproductby2!
becausethereare2factorialwaystoarrangejusttheArabicbooks,and4!
waystoarrangejusttheSpanishbooks.Multiplyingallthesetogether,wehave5!
*2!
*4!
=5760.
中文解析：
用捆绑法，把2本Arabic书看做一个整体，4本Spanish书看做一个整体。
这样Arabic，Spanish,以及3本German书做排列，是5！
。
此外，2本Arabic内部有2！
个排列方式，4本Spanish书有4！
个排列方式。
因此本题的排列方法数是：
5!
*2!
*4!
=5760.答案是C。
Problem17
Answer:
A
Solution:
SinceEllarides5timesasfastasBella,Ellaridesatarateof25/2.Together,theymove15feettowardseachothereveryunit.Dividing10560by15tofindthenumberofstepsBellatakesresultsintheanswerof704.
中文解析：
Ella的速度是Bella的5倍，Bella每步走5/2feet,Ella虽然骑自行车，我们可以理解为Ella每步走25/2feet.假设走x步两人相遇，因此有等式:
5/2*x+25/2*x=10560.求得x=704.答案是A。
Problem18
Answer:
E
Solution:
Wecanfirstfindtheprimefactorizationof23232,whichis2^6*3^1*11^2.Now,wejustaddonetoourpowersandmultiply.Therefore,theansweris（6+1）*（1+1）*（2+1）=7*2*3=42.
中文解析：
写出23，232的质因数序列：
23232=2*2*2*2*2*2*3*11*11.因此她的因子的个数是:
（6+1）*（1+1）*（2+1）=42.答案是E。
Problem19
Answer:
C
Solution:
Thesignofthenextrowonthepyramiddependsonpreviousrow.Therearetwooptionsforthepreviousrow,-or+.Therearethreerowstothepyramidthatdependonwhatthetoprowis.Therefore,thewaysyoucanmakea+onthetopis2*2*2=8,sotheansweris8
中文解析：
第一行（最上面的一行）是+，则第二行可以有两种方案：
两个+或两个-。
第二行的两个+和两个-分别对应第三行两种符号安排，即第三行有2*2=4种安排。
第三行的每种符号安排，都对应第四行的两种安排，因此第四行有4*2=8种安排。
答案是C。
Problem20
Answer:
A
Solution:
Bysimilartriangles,wehaveADE=1/9ABC.Similarly,weseethatBEF=4/9ABC.Usingthisinformation,wegetACFE=5/9ABC.Then,sinceADE=1/9ABC,itfollowsthattheCDEF=4/9ABC.Thus,theanswerwouldbe4/9.
中文解析:
由于DE//BC，且AE：
AB=1：
3，因此三角形ADE和三角形ABC相似，其面积的比值是1：
9.
有与EF//AC，且BE：
AB=2：
3，因此三角形BEF和三角形ABC相似，其面积的比值是4：
9.
平行四边形CDEF的面积=三角形ABC的面积-三角形BEF的面积-三角形AED的面积，可以认为是9-1-4=5.
因此，题目所求四边形CDEF的面积和三角形ABC的面积的比值是：
5：
9.答案是C。
Problem21
Answer:
E
Solution:
Lookingatthevalues,wenoticethat11-7=4,9-5=4,6-2=4.Thismeanswearelookingforavaluethatisfourlessthanamultipleof11,9,6.Theleastcommonmultipleof（11,9,6）is198.Sothenumbersthatfulfillthiscanbewrittenas198k-4,wherekisapositiveinteger.Thisvalueisonlyathreedigitintegerwhenkis1,2,3,4,5,whichgives194,392,590,788,986respectively.Thuswehave5values,soouransweris5.
中文解析：
假设这个数是n.n被6除的余数是2，注意2+4=6；n被9除的余数是5，注意5+4=9；n被11除的余数是7，注意7+4=11.
我们可以发现n+4能够被6，9，11整除。
则6，9，11的公倍数满足整除的要求。
其最小公倍数是198，三位数中的倍数有：
198，198*2，198*3，198*4,198*5.共5个数。
这些公倍数-4之后即满足题目条件。
因此答案是E。
Problem22
Answer:
B
Solution:
LettheareaofCEFbex.Thus,theareaoftriangleACDis45+xandtheareaofthesquareis2*（45+x）=90+2x.
CEFissimilarwithABFwitha1:
2ratio,sotheareaoftriangleABFis4x.NowconsidertrapezoidABED.Itsareais45+4x.whichis3/4theareaofthesquare.Wesetupanequationinx:
45+4x=3/4*（90+2x）.Solving,wegetx=9.TheareaofsquareABCDis90+2x=90+2*9=108.
中文解析：
假设三角形CEF的面积是x.则三角形ADC的面积是45+x,正方形ABCD的面积是2*（45+x）,即90+2x。
三角形CEF和三角形ABF是相似三角形，由于CE：
AB=1：
2，因此其面积的比值是：
1：
4.则三角形ABF的面积是4x.
三角形CEB是正方形ABCD的1/4.因此面积是：
1/4*（90+2x）.
三角形CEB的面积+三角形ABF的面积+四边形AFED的面积=正方形ABCD的面积，因此有等式:
1/4*（90+2x）+4x+45=90+2x.求得x=9.因此正方形ABCD的面积是：
90+2x=108.答案是B。
Problem23
Answer:
D
Solution:
Wecandecide2adjacentpointswith8choices.Theremainingpointwillhave6choices.However,wehavecountedthecasewith3adjacentpointstwice,soweneedtosubtractthiscaseonce（8*6-8=40）.Thecasewiththe3adjacentpointshas8arrangements（C（8,3）=56）,soouransweris40/56=5/7.
中文解析：
我们按照下面的额规则组成三角形：
使用八边形的一条边，再任选一个其他的点（有6个点可选）。
可以组成三角形的数量是：
8*6=48.但是相邻的三个点组成的三角形会被计入了2次.因此需要48-8=40.
由八边形上任意三个点可以组成C（8，3）=56个三角形。
因此题目所求的概率是：
40/56=5/7.答案是D。
Problem24
Answer:
C
Solution:
NotethatEJCIisarhombusbysymmetry.Letthesidelengthofthecubebes.BythePythagoreantheorem,EC=sqrt（3）*sandJI=sqrt
（2）*s.Sincetheareaofarh
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