全国初中数学竞赛试题及答案.docx
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全国初中数学竞赛试题及答案
2007年全国初中数学竞赛试题
班级座号姓名成绩
一、选择题(共5题,每小题6分,共30分)
1、方程组
的实数解的个数为()
A.1B.2C.3D.4
2、口袋中有20个球,其中白球9个,红球5个,黑球6个。
现从中任取10个球,使得白球不少于2个但不多于8个,红球不少于2个,黑球不多于3个,那么上述取法的种数是()
A.14B.16C.18D.20
3、已知a、b、c是三个互不相等的实数,且三个关于x的一元二次方程
恰有一个公共实数根,则
的值为()
A.0B.1C.2D.3
4、已知△ABC为锐角三角形,⊙O经过点B,C,且AB、AC分别相交于点D、E,若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等,则⊙O一定经过△ABC的()
A.内心B.外心C.重心D.垂心
5、方程
的整数解(x,y)的个数是()
A.0B.1C.3D.无穷多
二、填空题(共5小题,每小题6分,满分30分)
6、如图,点A、C都在函数
的图象上,点B、D都在x轴上,且使得△OAB,△BCD都是等边三角形,则点D的坐标为.
7、如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CA=4,点P是半圆弧AC的中点,连接BP,线段BP把图形APCB(指半圆和三角形ABC组成的图形)分成两部分,则这两部分面积之差的绝对值是.
8、如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n·90°,则n=.
9、已知点A,B的坐标分别为(1,0),(2,0),若二次函数
的图象与线段AB只有一个交点,则a的取值范围是.
10、已知对于任意正整数n,都有
则
.
三、解答题(共4题,每题15分,满分60分)
11、已知抛物线C1:
和抛物线C2:
相交于A,B两点。
点P在抛物线C1上,且位于点A和点B之间;点Q在抛物线C2上,也位于点A和点B之间。
(1)求线段AB的长;
(2)当PQ∥y轴时,求PQ长度的最大值。
12、已知a,b都是正整数,试问关于x的方程
是否有两个整数解?
如果有,请把它们求出来;如果没有,请给出证明。
13、如图,点E,F分别在四边形ABCD的边AD,BC的延长线上,且满足
.若CD,FE的延长线相交于点G,△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P,连接PA,PB,PC,PD。
求证:
(1)
;
(2)△PAB∽△PDC.
14、
(1)是否存在正整数m,n,使得
(2)设k(k≥3)是给定的正整数,是否存在正整数m,n,使得