第五题A 十队 庞威 王仁和 冯奇.docx
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第五题A十队庞威王仁和冯奇
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
A甲1909
所属学校（请填写完整的全名）：
海军航空工程学院
参赛队员（打印并签名）：
1.庞威
2.王仁和
3.冯奇
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
孙玺菁
日期：
2010年8月19日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
免费自行车交通系统服务网点布局规划
摘要：
本文是在针对网点设置和自行车的数量分布问题进行分析的，建立了一个包括四个评价指标的数学模型。
对问题一，在已知网点与车辆分布状况之下，我们首先提出了四个评价指标，分别为超市、地铁站点、十字路口和居民区对网点的综合影响，辐射区域的人口密度，人均占有率，距离指标。
通过计算这四个评价要素对于网点的影响来来衡量现有网点与车辆分布状况。
对问题二，通过在地图中标定120个网点（包括原来的17网点），然后通过问题一定义的评价指标，筛选选出指标最好的100个网点。
通过每个网点所覆盖的总的人数与所有的覆盖区域的总人数的比例来确定每个网点的自行车数。
对问题三，在第二问120点的基础上，假设自行车总数从1600到3600变化，借助0-1变量进行线性规划。
求出每种自行车数情况的最优解，在定义的新评价指标下找出最优的自行车总数，相应求得网点数及分布情况。
关键字：
加权法，图像处理，像素法，0-1整数规划
1问题重述
城区现有人口15万，地域面积约22.9平方公里。
已知规划中的地铁站有5个，图上A~E点，预计高峰时间人流量在4000-5000人/站，其余时间1000~2000人/站。
大型社区有两个，社区CⅠ有1.4万人，社区CⅡ有2.8万人，其余地区，除山地、湖泊和河流区域外，可以认为人口是均衡分布的。
大型超市有三个，，预计高峰时间人流量在3000人/座，其余时间1000人/座。
最大可能方便居民使用，应优先考虑交通枢纽和地点人流量，根据现实中调查可以推断：
早晨在社区周边的网点车辆数较多，下午下班时在地铁站和超市附近网点的车辆数较多。
十字路口的人流量一般较大。
网点之间的距离一般控制在300米~1000米之间。
目前该地区现有17个网点，600辆免费自行车。
现在我们来解决以下问题
1.设定一个评价标准来衡量现有网点与车辆分布状况。
2.在规划中要在图中增加到100个网点和3600辆车，决定网点位置跟每个网点的车辆数，使在我们的评价指标下达到最优。
3.目前只有110万元左右，建设一个网点需5000元，投入一辆自行车的成本约300元，为了尽可能实现主要居民区网点平均间距500米的公共交通体系，并最大程度服务居民，则需要在此地区建立多少个，如何分布网点并确定每个网点的车辆数。
本文中所有没有表头的表格均按列读取。
2问题分析与模型建立
2.1问题1的分析与模型建立
对网点的设定的影响因素有多种，为了计算得方面，我们在此仅考虑了一下四个主要影响因素，并将其作为4个指标，这4个指标分别为：
（1）网点之间的距离越大，距离免费自行车的人的满意度越低，但如果网点之间的距离很小的，会造成资源的浪费，因此自行车网点之间的距离应该合适才行即为题目要求的300到1000米，则设定以某个网点为对象距离他最近的网点的距离减去650米的绝对值的倒数为指标，越接近650则越大，越满足距离要求。
（2）考虑超市、地铁站点、十字路口和居民区对于设定自行车网点的综合影响，设为综合影响系数
，其中
越大，表明对于设定自行车网点的影响越大，越有必要在此点设定自行车网点，以不同权重分别乘以网点到超市、地铁站点、十字路口和居民区距离的倒数的和为指标来表征影响系数。
（3）由于自行车网点之间的距离应设定在300到1000米之间，我们在本文中设定为1000米，并以各个网点为圆心，以1000米为半径画圆来求网点辐射区域中的人口密度和人均占有率两个指标。
但是由于本题中的含有山地河流，在计算时需要排除这些面积，非常繁琐，因此我们用与圆内接正方形和圆外切正方形面积相同的正方形来代替此圆，此正方形的两边与地图的两边界平行，见图1。
图1以网点为圆心1000米为半径的辐射区域
具体的计算公式如
（1）所示：
为圆的半径。
（1）
然后我们定义辐射区域的人口密度为在每一个圆中人的总数除以圆的面积（除去河流和山川的面积）。
要计算圆中的的人口总数，需要像素人口密度，定义像素人口密度为每个不同像素对应的不同的人数。
因为地图是有每个像素组成的，我们运用Matlab中的Imread命令读出地图的像素，由于不同颜色图的像素不一样，因此我们利用总的像素数减去山地河流湖泊的像素数，得到的便是有人居民居住地方的像素数，然后我们利用每个地区总的人数除以这个地区的像素数得到的便是像素人口密度。
为了计算每个自行车网点所覆盖的人数，只需要将这个网点所覆盖的像素人口密度求和即可。
用自行车网点覆盖的人口总数除以该网点覆盖的面积，得到一个数，即为辐射区域的人口密度，辐射区域的人口密度越大，则在此地点设定自行车网点越有必要。
（4）人均占有率定义为以网点为圆心，1000米为半径网点的上午与下午的自行车数的平均值除以该圆中总的人数。
人均占有率越大，则越应该在此设定自行车网点且在这个网点的自行车数就越多。
2.1问题二的分析与模型建立
要在图中增加到100个自行车网点，由于网点数目比较多，而区域相对较小，因此我们分析可能设定为自行车网点的103点，从题目中可以看出在十字路口和超市、居民区、地铁站附近设为自行车网点，然后从这些可能设定为自行车网点的点中筛选出对于我们评价标准最好的83个自行车网点。
1.对距离指标、人口密度和居民区、超市、地铁站点和十字路口分别对于设定自行车网点的影响较易求得；
2.计算人均占有率时按网点辐射区域的人口数占所有网点辐射人口总数比例来计算每个网点的自行车数目。
按网点距离社区，超市地铁，十字路口距离不同将所有网点分为三类，根据第一问的统计表格求得每一类网点的上下午自行车数变化平均数，进而得到120个网点的上下午自行车数目的变化这样就可以按第一问的指标计算人均占有率。
2.3问题三的分析与模型建立
比较第三问与前两问发现要求的变化有三点：
1.距离要求是主要居民区网点平均距离为500米；
2.限制可用资金为110万元；
3.要求尽可能的服务居民。
根据不同的要求，在第二问预选的120个网点的基础上，进行分析。
假设自行车总数变化范围为1600到3600，在此基础上设定0—1变量
进行线性规划。
因为当自行车数为3600时，建立网点的可用费用只剩下20000元，也就是说只能建4个网点，很明显这是不合实际的，因此车辆数不可能超过3600。
为了尽可能的服务居民，对各个指标加权重后求和，根据对于居民的相关程度不同分布权重，已体现尽可能服务于居民。
3模型的假设
（1）假设居民在选择自行车网点的时候，总是选择离自己最近的自行车网点且如果网点距离居民的距离大于1000，人们则拒绝去此网点使用自行车；
（2）假设在山地、湖泊和河流等区域内无居民居住；
（3）假设此地区的交通便利，图中只标出了主要的道路，每个网点之间可直线到达；
（4）第二问中丁字路口作为十字路口考虑；
（5）自行车不会出现意外情况丢失或被盗，损坏后能马上被修好并投入使用。
4符号说明
：
居民区、超市、地铁站点和十字路口分别对于设定自行车网点的影响系数；
：
居民区、超市、地铁站点和十字路口分别对于自行车网点的影响权重；
：
将
进行标准化后的数据；
：
以各个网点为圆心，1000米为半径的圆的近似面积；
：
分别为自行车网点、地铁站、超市的横坐标；
：
分别为自行车网点、地铁站、超市的纵坐标；
:
第
个网点到最近居民区、十字路口、超市和地铁站点的距离；
：
各网点和与之距离最近的网点之间的距离；
：
对
进行标准化后的数据；
：
山地河流湖泊、居民区及其他地区的像素人口密度；
：
以各个网点为圆心，以
1000米为半径，在这个圆以内的人口总数；
：
每个网点的辐射区域人口密度；
：
标准化后的人口密度；
：
表示每像素点上的人口；
：
为第
站点自行车的个数；
：
网点辐射区域占有率；
：
将
标准化后的数据；
：
总的评价指标。
5模型求解
5.1问题一的解答
5.1.1
首先根据图可以读出各个自行车网点和地铁站点以及超市的坐标，如表1、2、3所示。
表1自行车各个网点的坐标（单位：
像素）
1
160
1053
2
319
784
3
682
784
4
645
1008
5
610
1058
6
934
297
7
649
314
8
938
486
9
906
771
10
934
612
11
923
825
12
545
702
13
375
99
14
756
250
15
404
199
16
185
206
17
636
771
表2地铁站点坐标（单位：
像素）
a
429
195
B
510
627
C
510
876
D
469
1027
E
899
640
表3超市坐标（单位：
像素）
510
773
604
254
791
884
（1）由图易知各个网点和与之距离最近的网点，求出这两网点之间的距离如表4所示。
表4各网点和与之距离最近的网点的距离
网点
网点
距离（米）
1
2
1333
2
12
971
3
17
215
4
5
266
5
4
266
6
14
756
7
14
557
8
10
516
9
11
243
10
8
516
11
9
244
12
17
497
13
15
435
14
7
557
15
13
435
16
15
906
17
3
215
由表5可得只有1，2网点之间的距离大于1千米，3,4,5,9,11,17的最短距离小于300，均不满足距离要求。
根据分析中的距离指标的定义得
对表4中数据进行标准化处理即
（2）
将数据代入
（2）式得表5。
表5网点之间距离标准化数据
0.1613
0．2214
1
0.8083
0.8083
0.2844
0.386
0.4167
0.8848
0.4167
0．8811
0.43
0.4943
0.386
0.4943
0.237
1
（2）影响安排自行车网点的因素根据其距居民区、超市、地铁站点以及十字路口不同而不同，设定其权值为0.1，0.2，0.3或0.4，数越大，对相应网点的影响越小，并记为
，网点到居民区、超市、地铁站点以及十字路口距离越近，所赋的权重越小，所得乘积的倒数求和作为指标。
由此可得影响每个网点的因素的权值见表6。
表6影响每个网点的因素
网点
居民区
十字路口
超市
地铁站点
1
0.1
0.2
0.4
0.3
2
0.1
0.2
0.3
0.4
3
0.3
0.1
0.2
0.4
4
0.2
0.1
0.4
0.3
5
0.3
0.1
0.4
0.2
6
0.2
0.1
0.3
0.4
7
0.1
0.2
0.3
0.4
8
0.4
0.1
0.3
0.2
9
0.4
0.1
0.3
0.2
10
0.4
0.1
0.3
0．2
11
0.4
0.1
0.3
0.2
12
0.2
0.1
0.3
0.4
13
0.2
0.1
0.4
0.3
14
0.2
0.2
0.3
0.3
15
0.3
0.2
0.3
0.2
16
0.3
0.1
0.4
0.2
17
0.3
0.1
0.3
0.3
然后分别求出各个网点到最近居民区、十字路口、超市和地铁站点的距离
，我们定义影响系数
为影响设定自行车网点的程度的量，可有
（3）
其中
越大，则在此设定自行车网点越合适。
并对数据进行标准化处理即
（4）
由附录中的程序得表7
表7标准影响系数
0.806
0.695
0.323
0.319
0.214
0.934
0.885
0.506
0.370
0.347
0.138
0.664
0.128
1
0.267
0.398
0.243
（3）设山地河流湖泊的像素人口密度为
=0，居民区CI的像素人口密度为
，居民区CII的像素人口密度为
，其他地区为
，以各个网点为圆心，以
1000米为半径，在这个圆以内的人口总数为记为
，每像素点上的人口为
，所以辐射区域的人口密度
，则
（5）
（6）
由附录中的程序计算得到人均人口密度，对人均人口密度进行标准化处理即
（7）
得表8。
表8标准辐射区域的人口密度
0.6683
1.0000
0.5288
0.7662
0.8905
0.5397
0.7801
0.4827
0.4903
0.4796
0.4766
0.7234
0.4812
0.8955
0.4899
0.4721
0.6501
（4）定义人均占有率为
（8）
为第
站点自行车的个数。
这里取上午与下午的车辆数平均值
。
由附录中的程序得到人均占有率，对人均占有率数据进行标准化处理即
（9）
得表9。
表9标准化后的人均占有率
1.0000
0.5653
0.4989
0.2193
0.2177
0.2793
0.4590
0.3123
0.7686
0.3143
0.3954
0.5730
0.2350
0.4629
0.2308
0.1996
0.5217
将各个网点对应的评价指标求和即
（10）
代入数据得表10。
表10总的评价指标
2.636
2.48
2.11
2.13
2.03
2.511
1.72
2.51
1.55
1.89
2.39
1.34
2.74
1.48
1.48
1.30
2.42
由表10得总的评价指标值越大，则在该点设定为自行车网点就越好，因此由表10得设定为自行车网点的点有好到差的顺序见表11。
表11设定为自行车网点的点由好到差的顺序
13
1
6
8
2
17
11
4
3
5
10
7
9
14
15
12
16
5.2问题二的解答
5.2.1标定可能设为自行车网点的点
如图2所示，图中圆圈表示可能设定为自行车网点的点。
我们在十字路口、超市、地铁车站以及居民区附近都设定为自行车网点，但这些网点总和不到83个，从图中可以看出有些网点之间的距离过大，因此我们在这些点之间再设定一些网点，由此得出来的网点总数和原来已经设定好的网点总数为120个，我们根据第一问中设定的标准对这103个网点进行筛选，从中选出83个网点。
图2可能的自行车网点
分别计算出图2中各个可能网点及已有网点的坐标，然后分别计算出各个网点距离超市、地铁站、距其最近的居民区及距其最近的十字路口路（包含丁字路口）的距离。
根据第一问的方法再计算出各个网点的人均人口密度、人均占有率、以及网点之间距离，求出总的指标，从中筛选出较好的83个网点。
5.2.2网点各个指标的计算
分别测量出可能设定为自行车网点的坐标，根据这些网点的坐标计算出距其最近的十字路口、超市、居民区地铁站点的距离，然后根据距离的大小设定相应的权重，即距离最近的为主要因素0.1，距离较远的为0.2，次之的为0.3，最远的为0.4，权重越大，代表因素对自行车网点的影响越小。
由附录得这120个网点的影响系数，见表12
表12120网点的影响系数
0.3653
0.3768
0.7104
0.2770
0.1845
0.1959
0.4986
0.4522
0.7205
0.2525
0.7160
0.7573
0.2463
0.2847
0.1837
0.3572
0.1792
0.6890
0.1262
0.1753
0.7068
0.7230
0.7061
0.1250
0.6922
0.1285
0.6856
0.6862
0.6903
0.1385
0.7297
0.7310
0.1125
0.6865
0.7072
0.8247
0.2576
0.2153
0.1127
0.1024
0.6866
0.6918
0.7076
0.7532
0.9879
0.7062
0.6973
0.6881
0.6986
0.0934
0.6857
0.6900
0.6993
0.7138
0.7355
0.1042
0.0817
0.6871
0.6924
0.6989
0.7086
0.7144
0.7098
0.6967
0.6916
0.1235
0.1752
0.7442
0.7083
0.7166
0.7088
0.7030
0.6968
0.2288
0.7299
0.2798
0.8582
0.7343
0.7115
0.7195
0.7632
0.7985
0.7138
0.7032
0.7170
0.7024
0.6951
0.7636
0.6925
0.1176
0.7546
0.7338
0.7700
1.0000
0.7281
0.7261
0.7113
0.7015
0.7169
0.7565
0.2761
0.0936
0.2152
0.8026
0.8695
0.2420
0.7511
0.7253
0.7047
0.1081
0.6930
0.1460
0.7154
0.7041
0.1095
0.0986
0.7161
0.7894
0.2382
0.6885
由附录中的网点之间的坐标计算得到这120个网点之间的距离指标标准化数据，见表13。
表13120个网点之间的距离指标的标准化数据
0.6156
0.4423
0.3145
0.3039
0.3011
0.2221
0.2283
0.2619
0.2736
0.2302
0.192
0.3038
0.3674
0.2575
0.2429
0.4195
0.2302
0.2346
0.2328
0.4023
0.2996
0.2911
0.2243
0.2871
0.2575
0.2739
0.3497
0.2814
0.2407
0.2586
0.2243
0.4103
0.2575
0.256
0.3399
0.4023
0.3335
0.2513
0.2992
0.422
0.3038
0.3166
0.2753
0.3953
0.2581
0.2518
0.2391
0.6156
0.3545
0.192
0.2651
0.4202
0.2527
0.2488
0.2449
0.3622
0.356
0.2328
0.309
0.3912
0.2575
0.2809
0.344
1
0.2391
0.3405
0.3602
0.623
0.2586
0.2518
0.3724
0.2618
0.2488
0.3405
0.4352
0.3545
0.2513
0.2734
0.3339
0.2618
0.2449
0.2925
0.5049
0.6438
0.2365
0.2423
0.2619
0.2666
0.2375
0.2925
0.4202
0.2407
0.2365
0.2576
0.8539
0.3622
0.256
0.3497
0.2814
0.3953
0.2576
0.2352
0.3441
0.5065
0.3222
0.2346
0.2872
0.3335
0.2581
0.7338
0.3441
0.2335
0.2753
0.2739
0.2651
0.3019
0.2221
0.3298
0.4325
0.2335
下面计算120各网点的人均占有率，首先规定每个网点的辐射区域的车辆数与此区域的人口数目占所有辐射区域的车辆总数的比例成正比即
（11）
按每个网点距离社区，超市地铁，十字路口的距离不同将网点分为三类，及距离社区的距离最近则分为社区类。
根据题目提供的统计数据，计算出每一类网点的上午下午车辆数目平均变化率
（
=1,2,3）。
网点的人均占有率为
（12）
推导后不难得到
（13）
由附录中的程序计算得到120网点之间的人均占有率，见表14。
表14120个网点的人均占有率
1.0000
1.0000
0.7784
0.7784
0.7784
0.7784
1.0000
0.7784
0.7784
0.7568
0.7784
0.7784
0.7784
1.0000
0.7568
0.7784
0.7784
0.7784
0.7784
0.7784
0.77
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