北师大版初中数学八年级下册《第1章 三角形的证明》单元测试题2.docx

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北师大版初中数学八年级下册《第1章三角形的证明》单元测试题2

北师大新版八年级下学期《第1章三角形的证明》

2020年单元测试卷

一．选择题（共18小题）

1．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝α，且AE＝AD，则∠EDC＝（　　）

A．

αB．

αC．

αD．

α

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（　　）

A．2B．3C．4D．2

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　）

A．7B．8C．9D．10

4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（　　）

A．3cmB．6cmC．12cmD．16cm

5．和三角形三个顶点的距离相等的点是（　　）

A．三条角平分线的交点

B．三边中线的交点

C．三边上高所在直线的交点

D．三边的垂直平分线的交点

6．如图所示，△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝9，AB的垂直平分线交BC于点D，则△ACD的周长是（　　）

A．11B．14C．15D．20

7．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（　　）的交点．

A．三个内角平分线B．三边垂直平分线

C．三条中线D．三条高

8．已知：

如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别P是关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝5cm，则△PMN的周长是（　　）

A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm

9．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，交边AC于点D，交边AB于点E，连接BD．若AC＝6，△BCD的周长为10，则BC的长为（　　）

A．2B．4C．6D．8

10．如图，△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，已知AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（　　）

A．7cmB．10cmC．12cmD．22cm

11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）cm．

A．13B．19C．10D．16

12．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（　　）

A．1对B．2对C．3对D．4对

13．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，则∠ABC的度数为（　　）

A．48°B．36°C．30°D．24°

14．如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（　　）

A．20B．25C．30D．35

15．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝6，则AC长是（　　）

A．3B．4C．6D．5

16．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　）

A．11B．5.5C．7D．3.5

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（　　）

A．5个B．4个C．3个D．2个

18．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　）

A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝50°，∠B＝80°

C．AB＝AC＝2，BC＝4D．AB＝3，BC＝7，周长为10

二．填空题（共12小题）

19．如果等腰三角形的一个角是80°，那么其底角是　　．

20．已知，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于E，交AC所在直线于P，若∠APE＝54°，则∠B＝　　．

21．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长是　　．

22．已知等腰三角形的两边长是5cm和6cm，则它的周长是　　．

23．若（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为　　．

24．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝　　度．

25．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为　　．

26．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为　　．

27．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝2cm，则AB＝　　cm．

28．已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC＝80°，则∠BOC＝　　．

29．如图，∠BAC＝130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于　　．

30．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有　　个．

三．解答题（共9小题）

31．已知一个等腰三角形的两个内角分别为（2x﹣2）°和（3x﹣5）°，求这个等腰三角形各内角的度数．

32．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：

∠CBE＝∠BAD．

33．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

（1）求证：

AE＝CD；

（2）若AC＝12cm，求BD的长．

34．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D．

（1）求证：

∠ACD＝∠B；

（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：

∠CEF＝∠CFE．

35．如图，AD⊥CD，AB＝10，BC＝20，∠A＝∠C＝30°．求：

（1）∠ABC的度数；

（2）AD、CD的长．

36．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．

（1）求证：

DF是线段AB的垂直平分线；

（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．

37．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．

（1）求证：

CF＝EB．

（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．

38．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF．

求证：

△ABC是等腰三角形．

39．在下列四个条件中：

①AB＝DC；②BE＝CE；③∠B＝∠C；④∠BAE＝∠CDE．请选出两个作为条件，得出△AED是等腰三角形（写出一个即可），并加以证明．已知：

　　；

求证：

△AED是等腰三角形．

北师大新版八年级下学期《第1章三角形的证明》2020年单元测试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共18小题）

1．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝α，且AE＝AD，则∠EDC＝（　　）

A．

αB．

αC．

αD．

α

【分析】根据等边对等角，和三角形的外角性质列出等式整理即可得出结论．

【解答】解：

根据题意：

在△ABC中，AB＝AC

∴∠B＝∠C

∵AE＝AD

∴∠ADE＝∠AED，即∠B+∠α﹣∠EDC＝∠C+∠EDC

化简可得：

∠α＝2∠EDC

∴∠EDC＝

α．

故选：

A．

【点评】本题考查三角形外角定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝（　　）

A．2B．3C．4D．2

【分析】根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5，进而得出DE＝3，利用勾股定理解答即可．

【解答】解：

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，

∴AE＝CE＝5，

∵AD＝2，

∴DE＝3，

∵CD为AB边上的高，

∴在Rt△CDE中，CD＝

，

故选：

C．

【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出AE＝CE＝5．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　）

A．7B．8C．9D．10

【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，进而得出答案．

【解答】解：

∵AB的垂直平分线交BC于点D，

∴AD＝BD，

∵BC＝4，AC＝3，

∴CD+AD＝CD+BD＝BC＝4，

∴△ACD的周长为：

4+3＝7．

故选：

A．

【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确得出AD＝BD是解题关键．

4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（　　）

A．3cmB．6cmC．12cmD．16cm

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算即可．

【解答】解：

∵DE是AC的垂直平分线，

∴DA＝DC，

∵△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，

∴AB+BC+AC＝19cm，AB+BD+AD＝AB+BC+DC＝AB+BC＝13cm，

∴AC＝6cm，

∵DE是AC的垂直平分线，

∴AE＝

AC＝3cm，

故选：

A．

【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．

5．和三角形三个顶点的距离相等的点是（　　）

A．三条角平分线的交点

B．三边中线的交点

C．三边上高所在直线的交点

D．三边的垂直平分线的交点

【分析】三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．

【解答】解：

根据线段垂直平分线的性质可得：

三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点．

故选：

D．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．此点称为外心，也是这个三角形外接圆的圆心．），难度一般．

6．如图所示，△ABC中，AC＝5，AB＝6，BC＝9，AB的垂直平分线交BC于点D，则△ACD的周长是（　　）

A．11B．14C．15D．20

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．

【解答】解：

∵MN是AB的垂直平分线，

∴DA＝DB，

∴△ACD的周长＝AD+CD+AC＝BD+CD+AC＝BC+AC＝14，

故选：

B．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

7．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（　　）的交点．

A．三个内角平分线B．三边垂直平分线

C．三条中线D．三条高

【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．

【解答】解：

到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．

故选：

B．

【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．

8．已知：

如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别P是关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝5cm，则△PMN的周长是（　　）

A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm

【分析】由P与P1关于OA对称，得到OA为线段PP1的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得MP＝MP1，同理可得NP＝NP2，由P1P2＝P1M+MN+NP2＝5，等量代换可求得三角形PMN的周长．

【解答】解：

∵P与P1关于OA对称，

∴OA为线段PP1的垂直平分线，

∴MP＝MP1，

同理，P与P2关于OB对称，

∴OB为线段PP2的垂直平分线，

∴NP＝NP2，

∴P1P2＝P1M+MN+NP2＝MP+MN+NP＝5cm，

则△PMN的周长为5cm．

故选：

C．

【点评】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键．

9．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，交边AC于点D，交边AB于点E，连接BD．若AC＝6，△BCD的周长为10，则BC的长为（　　）

A．2B．4C．6D．8

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．．

【解答】解：

∵DE垂直平分AB，

∴DA＝DB，

∴CD+BD+BC＝10，

∴CD+AD+BC＝10，即AC+BC＝10，

∴BC＝4，

故选：

B．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

10．如图，△ABC中，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，已知AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（　　）

A．7cmB．10cmC．12cmD．22cm

【分析】根据三角形周长求出AD+DC＝12cm，根据线段垂直平分线求出AD＝BD，求出BC＝AD+DC，即可得出答案．

【解答】解：

∵AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，

∴AD+DC＝12cm，

∵AB的垂直平分线DE，

∴BD＝AD，

∴BC＝BD+DC＝AD+DC＝12cm，

故选：

C．

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）cm．

A．13B．19C．10D．16

【分析】根据线段垂直平分线得出AD＝DC，求出三角形ABD周长＝AB+BC＝13cm，即可求出答案．

【解答】解：

∵DE是AC的垂直平分线，

∴AD＝DC，

∵△ABD的周长为13cm，

∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，

∵AC＝6cm，

∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝13cm+6cm＝19cm，

故选：

B．

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

12．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（　　）

A．1对B．2对C．3对D．4对

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OC，然后判断出△AOE和△COE全等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，从而得到△ABC关于直线AD轴对称，再根据全等三角形的定义写出全等三角形即可得解．

【解答】解：

∵EF是AC的垂直平分线，

∴OA＝OC，

又∵OE＝OE，

∴Rt△AOE≌Rt△COE，

∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴△ABC关于直线AD轴对称，

∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，

综上所述，全等三角形共有4对．

故选：

D．

【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握各性质以及全等三角形的判定是解题的关键．

13．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，则∠ABC的度数为（　　）

A．48°B．36°C．30°D．24°

【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC＝∠ABD，再根据线段垂直平分线的性质可得BF＝CF，进而可得∠FCE＝24°，然后可算出∠ABC的度数．

【解答】解：

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC＝∠ABD，

∵∠A＝60°，

∴∠ABC+∠ACB＝120°，

∵∠ACF＝48°，

∵BC的中垂线交BC于点E，

∴BF＝CF，

∴∠FCB＝∠FBC，

∴∠ABC＝2∠FCE，

∵∠ACF＝48°，

∴3∠FCE＝120°﹣48°＝72°，

∴∠FCE＝24°，

∴∠ABC＝48°，

故选：

A．

【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

14．如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是（　　）

A．20B．25C．30D．35

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．

【解答】解：

如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴OE＝OF＝OD＝3，

∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝3，

∴S△ABC＝

×AB×OE+

×BC×OD+

×AC×OF＝

×（AB+BC+AC）×3

＝

×20×3＝30，

故选：

C．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．

15．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝6，则AC长是（　　）

A．3B．4C．6D．5

【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．

【解答】解：

如图，过点D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，

∴DE＝DF，

由图可知，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，

∴

×6×2+

×AC×2＝10，

解得AC＝4．

故选：

B．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．

16．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　）

A．11B．5.5C．7D．3.5

【分析】作DM＝DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN＝DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．

【解答】解：

作DM＝DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，

∵DE＝DG，

∴DM＝DG，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，

∴DF＝DN，

在Rt△DEF和Rt△DMN中，

，

∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），

∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，

∴S△MDG＝S△ADG﹣S△ADM＝50﹣39＝11，

S△DNM＝S△EDF＝

S△MDG＝

×11＝5.5．

故选：

B．

【点评】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（　　）

A．5个B．4个C．3个D．2个

【分析】根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．

【解答】解：

共有5个．

（1）∵AB＝AC

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线

∴∠EBC＝

∠ABC，∠ECB＝

∠BCD，

∵△ABC是等腰三角形，

∴∠EBC＝∠ECB，

∴△BCE是等腰三角形；

（3）∵∠A＝36°，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝

（180°﹣36°）＝72°，

又BD是∠ABC的角平分线，

∴∠ABD＝

∠ABC＝36°＝∠A，

∴△ABD是等腰三角形；

同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．

故选：

A．

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．

18．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　）

A．∠A＝30°，∠B＝60°B．∠A＝50°，∠B＝80°

C．AB＝AC＝2，BC＝4D．AB＝3，BC＝7，周长为10

【分析】A、B根据三角形的内角和求出第三个角，可得结果；C不能组成三角形，D利用周长求出第三边即可得到答案，根据等腰三角形的判定，采用逐条分析排除的方法判断．

【解答】解：

A、根据三角形内角和定理得，∠C＝180°﹣60°﹣30°＝90°，故不是等腰三角形；

B、根据三角形内角和定理得，∠C＝180°﹣50°﹣80°＝50°，故是等腰三角形；

C、根据三角形中三边的关系知，任意两边之和大于第三边，而AB+AC＝4＝BC，不能构成三角形；

D、周长为10，而AB+BC＝10，与周长相等，第三边为0，则不能构成三角形．

故选：

B．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，利用三角形内角和定理：

内角和为180°和三角形中三边的关系求解．有的同学可能选C出现错误，只看表面现象会造成错误．

二．填空题（共12小题）

19．如果等腰三角形的一个角是80°，那么其底角是　50°或80°　．

【分析】根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．

【解答】解：

根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，

①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，

②当这个角80°是顶角，

设等腰三角形的底角是x°，

则2x+80°＝180°，

解可得，x＝50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°；

故答案为：

50°或80°．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．

20．已知，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于E，交AC所在直线于P，若∠APE＝54°，则∠B＝　72°或18°　．

【分析】根据题意画出符合条件的两种情况，推出AP＝BP，推出∠BAC＝∠ABP，求出∠BAC的度数和∠ABC的度数即可．

【解答】解：

分为两种情况：

①如图1，

∵PE是AB的垂直平分线，

∴AP＝BP，

∴∠A＝∠ABP，∠APE＝∠BPE＝54°，

∴∠A＝∠ABP＝36°，

∵∠A＝36°，AB＝AC，

∴∠C＝∠ABC＝

（180°﹣∠A）＝72°；

②如图2，

∵PE是AB的垂直平分线，

∴AP＝BP，

∴∠PAB＝∠ABP，∠APE＝∠BPE＝54°，

∴∠PAB＝∠ABP＝36°，

∴∠BAC＝144°，

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠ABC＝

（180°﹣∠A）＝18°，

故答案为：

72°或18°．

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形