第十三章轴对称导学案.docx
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第十三章轴对称导学案
第13章、轴对称
13.1.1轴对称
一预习新知P58
1、观察课本中的7副图片，你能找出它们的共同特征吗？
2、你能列举出一些现实生活中具有这种特征的物体和建筑物吗？
3、动手做一做：
把一张纸对折，然后从折叠处剪出一个图形，展开后会是一个什么样的图形?
它有什么特征？
4、如果一个图形沿一条__________折叠,________两旁的部分能够完全________.这个图形就叫做轴对称图形,这条________就是它的对称轴,这时,我们也说这个图形关于这条_________（成轴）对称.
5、观察课本P59图13.1-3中的三幅图形，并试着沿虚线折叠，每对图形有什么共同特征？
6、一个图形沿着某条直线折叠，如果他能够与________重合,那么就说_______关于这条直线对称,这条直线叫做__________,折叠后________叫做对称点.
7、在课本中的图13.1-3的第三个图中，
（1）标出A、B、C的对称点，∠A、∠B、∠C的对应角，
（2）连接AA′,BB′，CC′，你发现这三条线段有什么关系？
你找到规律了吗？
8、成轴对称的两个图形全等吗?
为什么?
9、全等的两个图形成轴对称吗？
试举例说明。
（可以画图说明）
10、课本P60练习题
做下面的题，检验你预习的结果
1、轴对称图形的对称轴是一条___________
A直线B射线C线段
右面的图形是轴对称图形吗？
如果是，指出对称轴。
二、课堂展示
1、我国的文字非常讲究对称美，分析图中的四个图案，图案（）有别于其余三个图案．
2、如图是我国几家银行的标志，在这几个图案中是轴对称图形的有哪些？
它们各有几条对称轴，你能画出来吗？
（小组讨论完成）
3、李芳同学球衣上的号码是253，当他把镜子放在号码的正左边时，镜子中的号码是（）
4、观察规律并填空：
5、参照下图说明轴对称图形与两个图形成轴对称有什么区别与联系？
（小组讨论回答）
三、随堂练习
1、课本P64习题1、2、3
2、下面哪些选项的右边图形与左边图形成轴对称?
3、如图，若沿虚线对折，左边部分与右边部分重合，请找出图中A、B、C的对称点，并说出图中有哪些角相等?
哪些线段相等?
4、找出英文26个大写字母中哪些是轴对称图形？
5、你能举出三个是轴对称图形的汉字吗？
6、如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称。
（1）A、B、C、D的对称点分别是，线段AC、AB的对应线段分别是，CD=，∠CBA=，∠ADC=．
（2）AE与BF平行吗？
为什么？
（3）AE与BF平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗？
（4）延长线段BC、FG，交于点P，延长线段AB、EF，交于点Q,,你有什么发现吗？
13.1.2线段的垂直平分线1
学习目标：
1、通过动手试验掌握线段的垂直平分线的定义
2、理解线段垂直平分线与对称轴的关系
3、掌握线段垂直平分线的性质
重点：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
难点：
运用线段垂直平分线性质解决问题。
教学过程
一、预习新知P61
1、线段是轴对称图形吗？
通过折叠的方法作出线段AB的对称轴l，交AB与O
1）点A的对称点是_______
2）量出AO与BO的长度，它们有什么关系？
3）AB与直线l在位置上有什么关系？
2、经过线段________并且______于这条线段的________,叫做这条线段的垂直平分线.
3、观察课本P59思考中的图，线段AA′,BB′，CC′与直线MN的关系是________
由上可得：
对称轴与对应点所连线段的垂直平分线有什么关系？
4、已知直线l垂直平分线段AB，交AB与O.点C是l上任意一点,连接AC,BC.
1）量出AC,BC的长度，它们有什么关系？
2）另在l上任找一点D，量出AD,DB的长度，它们有什么关系？
3）由1），2），你得到什么猜想？
4）用我们以前学过的只是证明你的猜想。
6、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的__________。
7、.课本P62练习题1.
二、课堂展示
例1、已知互不平行的两条线段AB,A′B′关于直线l对称，AB,A′B′所在的直线交于点P，判断下列正误。
1）AB=A′B′（）2）点P在直线l上（）
3）若A,A′是对称点，则l垂直平分线段AA′（）
4）若B,B′是对称点，则PB=PB′（）
例2．如右图所示，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE＝6，求△BCE的周长。
三、随堂练习
1．如右图所示，直线MN和DE分别是线段AB、BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗?
为什么?
2、如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点，求：
△BCD的周长。
13．1.2线段的垂直平分线2
学习目标：
1、进一步理解线段垂直平分线的性质，并能灵活运用。
2、掌握线段垂直平分线的判定
3、运用线段垂直平分线的判定解决问题
重点：
探索并理解线段垂直平分线的判定
难点：
运用线段垂直平分线的判定解决问题
一、预习新知P61
1、线段是轴对称图形吗？
通过折叠的方法作出线段AB的对称轴l，交AB于O
1）点A的对称点是_______
2）量出AO与BO的长度，它们有什么关系？
3）AB与直线l在位置上有什么关系？
2、经过线段________并且______于这条线段的________,叫做这条线段的垂直平分线.
3、观察课本P59思考中的图，线段AA′,BB′，CC′与直线MN的关系是________
由上可得：
对称轴与对应点所连线段的垂直平分线有什么关系？
5、已知直线l垂直平分线段AB，交AB与O.点C是l上任意一点,连接AC,BC.
4）量出AC,BC的长度，它们有什么关系？
5）另在l上任找一点D，量出AD,DB的长度，它们有什么关系？
6）由1），2），你得到什么猜想？
4）用我们以前学过的只是证明你的猜想。
6、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的__________。
7、.课本P62练习题1.
二、课堂展示
例、如图所示，已知Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点落在AB边上的点D．要使点D恰为AB的中点，问还要添加什么条件？
根据你添加的条件，你能证明出D为AB的中点吗？
三、随堂练习
1、如图：
已知直线l和l异侧的两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA=PB.
·A
·B
D
2、如图：
已知，OD=OC,ED=EC,那么直线OE是线段
E
CD的______________,你能写出证明过程吗/
C
O
3、已知：
E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．
求证：
（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分线．
4在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD∶∠BAC=1∶3求∠B的度数．求∠B的度数．
13.2画轴对称图形
学习目标
1．能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形。
2、能设计简单的轴对称图案。
3、通过画轴对称图形，增强学生学习几何的趣味感，培养审美情操。
：
重点：
利用对称轴作轴对称图形。
难点：
利用对称轴进行图案设计。
教学过程
一、预习新知P39---P41
1、如图：
你能做出它关于虚线的对称图形吗？
（1）找到点A的对称点A′
（2）AA′与对称轴有什么关系？
（3）在图中另找一对对称点，连接对称点的线段与对称轴还
有上述关系吗？
2、连接任意一对对称点的线段被对称轴____________
3、如图，已知点A和直线l，试画出点A关于直线l的对称点A′。
请说说你的画法
l
A·
4、作△ABC关于直线l的对称的图形△A′B′C′
5、课本P68练习题1
二、课堂展示
例1、已知△ABC，及点A的对称点A′，请作出对称轴直线l，并画出△ABC关于直线l的对称图形。
A.A′
B
例2、要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。
修在河边什么地方，可使所用水管最短？
试在图中确定水泵站的位置，并说明你的理由。
三随堂练习
1．如图，请画出三角形关于直线l对称的图形。
2、身高1.80米的人站在平面镜前2米处，它在镜子中的像高______米，人与像之间距离为_______米；如果他向前走0.2米，人与像之间距离为_________米．
3、P71习题1
4、为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草.现将这块空地按下列要求分成四块：
⑴分割后的整个图形必须是轴对称图形；⑵四块图形形状相同；⑶四块图形面积相等.现已有两种不同的分法：
⑴分别作两条对角线（如图中的图1）；⑵过一条边的四等分点作这边的垂线段（图2）（图2中两个图形的分割看作同一方法）．请你按照上述三个要求，分别在下面两个正方形中给出另外两种不同的分割方法．（正确画图，不写画法）
5、把下列各图补成以a为对称轴的轴对称图形。
13.2用坐标表示轴对称
学习目标：
1、掌握在平面直角坐标系中，关于x轴和y轴对称点的坐标特点。
2、能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形。
3、能运用坐标中的轴对称特点解决简单的问题。
重点：
在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形。
难点：
能运用坐标中的轴对称特点解决简单的问题。
一、预习新知P69-P70
1、如图，在平面直角坐标系中，
1）分别写出点A、B、C的坐标。
2）在坐标系中标出点A、B、C关于x轴的对称点
A1、B1、C1、。
3）写出A1、B1、C1、的坐标。
4）观察每对对称点的坐标，你发现了什么规律？
5）再找几个点，分别作出它们关于x轴的对称点，
检验一下你发现的规律。
由此可以得到：
在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标_____,,纵坐标_________________。
点（x，y）关于x轴的对称点的坐标为__________.
2、如上图，在平面直角坐标系中，
1）在坐标系中标出点A、B、C关于关于y轴的对称点A2、B2、C2。
2）写出A2、B2、C2的坐标。
4）观察每对对称点的坐标，你发现了什么规律？
5）再找几个点，分别作出它们关于y轴的对称点，检验一下你发现的规律。
由此可以得到：
在平面直角坐标系中，关于y轴对称的点横坐标_____,,纵坐标_________________。
点（x，y）关于y轴的对称点的坐标为__________.
3、完成下表.
已知点
（2,-3）
（-1,2）
（-6,-5）
（0,-1.6）
（4,0）
关于x轴的对称点
关于y轴的对称点
4、点（－１，３）与点（－１，—3）关于_________对称；
点（2，—4）与点（－2，—4）关于_________对称；
5、已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，5）,B（-4，1）,C（-1，3），作出△ABC关于y轴对称的图形。
6、课本P70练习题1、2
二、课堂展示
例1、已知点P（2a+b,-3a）与点P’（8,b+2）.
若点p与点p’关于x轴对称，则a=_____b=_______.
若点p与点p’关于y轴对称，则a=_____b=_______.
例2、平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0,4），B（2,4），C（3，－1）.
（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；
（2）求△ABC的面积.
（3）若
与△ABC关于x轴对称，写出
、
、
的坐标.
三、随堂练习
1、快速口答
点（３，６）、（－７，９）关于x轴的对称点分别是什么？
点（－３，－５）、（０，１０）关于y轴的对称点分别是什么？
2、根据下列点的坐标的变化，判断它们进
行了怎样的变换：
⑴ （－１，３） （－１，－３）⑵ （－５，－４） （－５，４）
⑶ （３，４） （－３，４）⑷ （１，０） （－１，０）
3、点M（a,-5）与点N（-2,b）关于y轴对称，则a=_____,b=_____.
4、课本P70习题2、3
5、已知点（x，4-y）与点（1-y，2x）关于y轴对称，则xy=————————。
6、课本P72练习题5
7、已知A、B两点的坐标分别是（－2，3）和（2，3），则下面四个结论：
①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④若A、B之间的距离为4，其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8、已知A（－1，－2）和B（1，3），将点A向______平移________个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．
9、
（1）请画出
关于
轴对称的
（其中
分别是
的对应点，不写画法）；
（2）直接写出
三点的坐标．
（3）△ABC的面积为
10、若点P（a，b）、Q（c，d）两点关于直线x=2对称，则a、c间的关系是，b、d间的关系是；
若点P（a，b）、Q（c，d）两点关于直线y=–2对称，则a、c间的关系是，b、d间的关系是。
四、课堂小结：
1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）
2、对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形
13．3．1 等腰三角形
一、学习目标
1、掌握等腰三角形的性质1、2
2、会利用等腰三角形的性质解决简单问题
二、自学指导
自学课本P75-P76内容，完成下列要求
1、认真学习探究的内容，边看边操作、思考
（1）剪出的等腰三角形是否为轴对称图形
（2）把剪出的等腰三角形沿折痕对折，找出其中重合的线段和角
2、认真学习等腰三角形性质的证明部分，注意辅助线的添加方法，体会能否可以添加底边上的高或顶角的平分线。
3、学习例1，体会等腰三角形性质的应用。
4、自学后完成展示内容，20分钟后进行展示。
（二）、精讲精练
例1、如图2，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.
求△ABC各角的度数。
.
例2、已知一个等腰三角形两个内角的度数之比为1：
4，则这个等腰三角形顶角的度数为。
例3、如图3，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，
且AD=AE.
求证：
BD=CE
展示内容
1、如图4，AB=AE，BC=DE,∠B=∠E,AM⊥CD，垂足为点M
求证：
CM=DM
2等腰三角形的两个底角＿＿＿＿＿，简写成＿＿＿＿＿＿＿
3等腰三角形的顶角平分线＿＿＿＿、＿＿＿＿＿相互重合。
4.已知△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，求证：
（1）∠B=∠C
（2）∠BAD＝∠CAD （3）BD＝CD
5在△MNP中，MN=MO=OP,∠NMO=
.求∠N和∠P
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，MP、NQ分别垂直平分AB、AC，求∠1，∠2的度数.
7．如图，已知△ABC，∠CAE是△ABC的外角，在下列三项中：
①AB=AC；②AD平分∠CAE；③AD∥BC．选择两项为题设，另一项为结论，组成一个真命题，并证明．
8、教材p81习题1,3,4
13.3.2等腰三角形
一、学习目标
1、掌握等腰三角形的判定方法
2、利用等腰三角形的判定方法
（1）证明相关问题
（2）辅助以尺规作图手段作等腰三角形
二、自学指导
自学课本77-78页内容，完成下列要求：
1、通过预习，思考77页内容后，你有哪些方法证明“等角对等边”这一结论？
小组交流，互相探讨。
2、阅读例2，注意在证明一个三角形为等腰三角形时，关键就是找这个三角形中两条边相等或两角相等。
3、学习例3的内容，边看边操作，体会已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形的方法。
4、自学20分钟后展示。
5、已知：
如图在△ABC中，∠B=∠C
求证：
AB=AC
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也想等（简写成：
等角对等边”）。
1、等腰三角形的性质与判定有什么区别和联系？
区别：
联系：
三、精讲精练
例1.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OC=OD，
求证：
OA=OB
例2.求证：
如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
精练：
1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36O，D、E是BC上的两点，
且∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中的等腰三角形共有（）个。
A.3个B.4个C.5个D.6个
2.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F
求证：
EF=EB+FC.
4、展示内容：
1等腰三角形的判定方法：
如果＿＿＿＿＿＿＿＿，那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿简写成“＿＿＿＿＿＿”
2已知△ABC中，∠B＝∠C，求证：
AB＝AC
3已知△ABC和BC上的高AD，BC＝4cm，AD＝3cm，求作等腰三角形ABC.
4如左下图，∠A=
∠C=
∠DBC=
.分别计算∠BDC、∠ABD的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。
5、如图（上右）,AC和BD相交于O，且AB∥DC，OA=OB,求证：
OC=OD.
13.3.2等边三角形
（1）
一、自学目标
1、了解等边三角形的定义
2、掌握等边三角形的性质也判定
二、自学指导
认真阅读课本79－80页的内容，完成下列要求：
1、请你用等腰三角形的性质证明等边三角形的性质
2、在证明判定2时注意60°的角是等腰三角形的顶角或底角
3、合作交流例4的其它证法
4、自学后完成展示内容，20分钟后进行展示
三、展示内容
1、一个三角形一边的中线和高线重合，那么这个三角形是＿＿
2、等腰三角形顶角的外角平分线与底边的位置关系是＿＿＿＿
3、一个等腰三角形有三条对称轴，那么它就是＿＿＿三角形。
4、在△ABC中，AB＝AC，且∠A＝60°，则△ABC是＿＿＿三角形。
5、选择：
下列叙述正确的是（ ）
A、等腰三角形是等边三角形 B、所有的等边三角形形状都相同，所以全等
C、三个角之比为1：
2：
3的三角形是等腰三角形
D、等边三角形的三条中线是它的三条对称轴
6、选择：
如图在等边△ABC中，O为三条高线的交点，连结OB、OC那么∠BOC=（）A、100° B、90°C、150° D、120°
6、证明:
等边三角形的判定方法2.
8、O是等边三角形ABC内一点，∠OCB＝∠ABO，求∠BOC的度数
9、等边三角形的三条中线交于一点，画出图中所有的全等三角形，并能说出它们是否全等？
为什么？
10、如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，
求证BE＝DC
11、如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求∠DBC的度数。
13.3.2等边三角形
（2）
一、学习目标
1、掌握含30°的直角三角形的对边与斜边的关系
2、能够证明这个关系
二、自学指导
1、认真阅读课本80－81页内容，按要求完成下列内容
1、
探究部分的内容动手操作
2、合作探究其它的证明方法
3、学习例5
三、展示内容
（一）填空：
1、RT△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠A＝＿＿＿，∠B=_____,AB=___BC
2、三角形的三个内角度数之比为1：
2：
3，最大边是8，则最小边为＿＿＿＿
3、如图RT△ABC中，∠ABC＝
，BD⊥AB于D，且∠A＝
，BD＝4cm，则BC＝＿＿
（二）选择：
1、已知等腰三角形周长为40，以一腰为边作等边三角形，其周长为45，那么等腰三角形底边边长是（ ）
A、5 B、10 C、15 D、20
2、等腰△ABC中，∠A＝
，则∠B＝（ ）
A、
B、
C、
或
D、
3、已知等腰三角形两边长为7和3，则它的周长为（ ）
A、17 B、16 C、17或13 D、13
（3）解答
（4）1、如图△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE，求∠EDC的度数
2、△ABC为等边三角形，且DE⊥BC，垂足为D，EF⊥AC，垂足为E，FD⊥AB，垂足为F，则△DEF是等边三角形吗？
这什么？
第十三章轴对称复习导学案
学习目标：
1.理解轴对称与轴对称图形的概念，掌握轴对称的性质。
2.结合生活实例，欣赏生活中的轴对称现象和镜面对称现象，感受对称的美学价值，体验几何图形与自然、社会、人类的生活，增强学习数学的兴趣。
3.掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用。
4.理解等腰三角形的性质并能够简单应用。
5.能够按要求做出简单的平面图形的轴对称图形，初步体会从对称的角度欣赏和设计简单的
轴对称图案。
重点：
掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用。
难点：
轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念，等腰三角形的性质应用，镜面对称下图形的变化。
导学过程：
课前预习与导学
欣赏下面几张美丽的图片，回顾本单元的知识结构
1.轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线，两侧的图形能够，这个图形就是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做______。
图形上能够重合的点叫。
分别在上面图形中画出它们的对称轴。
2.轴对称：
欣赏下面几幅图片，并完成问题。
如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成，这条直线叫做。
两个图形中的对应点叫。
如图，写出一对对称点是。
3.轴对称的性质
上图中点Ａ和Ｆ的连线与直线MN有什么样的关系？
同理，点Ｃ和Ｄ，点Ｂ和Ｅ的连线也被直线MN，图中相等的线段有：
，相等的角有：
。
可以概括为：
如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么对应点的连线被对称轴，对应线段，对应角。
4.欣赏下面的图片，完成对镜面对称的回顾。
一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，你能确定该车车牌的号码吗？
在照镜子时，镜子外的物体和镜子内的成像不变，
发生相反变化。
5.线段垂直平分线的性质
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