福师大2020年8月《近世代数》期末试卷A试题参考答案.docx

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福师大2020年8月《近世代数》期末试卷A试题参考答案

一、判断题

1.剩余类环中没有非零的零因子。

（×）

2.群中指数为2的子群一定是正规子群（√）

3.已知是有限群的子群，和分别表示和的元素个数，则不一定能整除（√）

4.数域上的全矩阵环不是单环。

（×）

5.环中理想的乘积还是理想。

（√）

二、计算证明题

1.设是整数集，规定，证明：

关于所定义的

运算构成交换群。

2.在四元对称群中,设.

（1）写出的轮换分解式（即将写成一些互不相交的轮换的乘积）;

（2）设集合,试写出中全部元素（用轮换分解式表示）;

答：

3.有一队士兵,三三数余二,五五数余一,七七数余三.问:

这队士兵有多少人?

试求最小正整数解.（要写出解题过程）

4.求出剩余类环的所有理想和所有极大理想。

答：

所有理想为0,等价类2生成的理想,等价类4生成的理想和Z8。

极大理想为等价类2生成的理想。