A.-12
C.a≥-1D.a>-1
答案 D
解析 因为A∩B≠∅,所以集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示,易知a>-1.
(2)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )
A.0B.1C.2D.4
答案 D
解析 由题意可得{a,a2}={4,16},∴a=4.
(3)设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若A∩B=B,则实数a的取值范围是______.
答案 (-∞,-1]∪{1}
解析 因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况:
①当B=A时,B={0,-4},由此可知,0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得
解得a=1;
②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4},
并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,
解得a=-1,此时B={0}满足题意;
③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,
解得a<-1.
综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{1}.
思维升华
(1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;集合中的元素若是连续的,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.
跟踪训练
(1)(2017·天津)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C等于( )
A.{2}B.{1,2,4}
C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}
答案 B
解析 A∪B={1,2,4,6}.
又C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C={1,2,4},
故选B.
(2)已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|2m-1A.[-1,2)B.[-1,3]
C.[2,+∞)D.[-1,+∞)
答案 D
解析 由x2-x-12≤0,得(x+3)(x-4)≤0,即-3≤x≤4,所以A={x|-3≤x≤4}.又A∩B=B,所以B⊆A.
①当B=∅时,有m+1≤2m-1,解得m≥2;
②当B≠∅时,有
解得-1≤m<2.
综上,m的取值范围为[-1,+∞).
题型四 集合的新定义问题
典例已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合AB={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则AB中元素的个数为( )
A.77B.49
C.45D.30
答案 C
解析 如图,集合A表示如图所示的所有圆点“
”,集合B表示如图所示的所有圆点“
”+所有圆点“
”,集合AB显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点{(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),即集合AB表示如图所示的所有圆点“
”+所有圆点“
”+所有圆点“
”,共45个.故AB中元素的个数为45.故选C.
思维升华解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:
(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程之中.
(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素.
跟踪训练定义一种新的集合运算△:
A△B={x|x∈A,且x∉B}.若集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2≤x≤4},则按运算△,B△A等于( )
A.{x|3C.{x|3答案 B
解析 A={x|1
1.已知集合A={y|y=|x|-1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( )
A.-3∈AB.3∉B
C.A∩B=BD.A∪B=B
答案 C
解析 由题意知A={y|y≥-1},因此A∩B={x|x≥2}=B,故选C.
2.(2017·浙江)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},则P∪Q等于( )
A.(-1,2)B.(0,1)
C.(-1,0)D.(1,2)
答案 A
解析 ∵P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},
∴P∪Q={x|-1<x<2}.
故选A.
3.(2018届齐鲁名校协作体联考)已知集合A=
,B={y|y=2x},则A∩B等于
( )
A.(0,4]B.(0,1)
C.(0,1]D.[-4,1]
答案 B
解析 ∵A={x|-4≤x<1},B={y|y>0},∴A∩B=(0,1),故选B.
4.设集合A={x|x2-5x+4<0},B={x|2x-3>0},则A∩B等于( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由A={x|x2-5x+4<0}={x|1B={x|2x-3>0}=
,
得A∩B=
=
,故选D.
5.(2017·潍坊调研)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{0,1}B.{1}
C.{1,2}D.{0,1,2}
答案 B
解析 因为A∩B={2,3,4,5},而图中阴影部分为集合A去掉A∩B部分,所以阴影部分所表示的集合为{1}.
6.(2017·郑州平顶山二模)已知复数f(n)=in(n∈N*),则集合{z|z=f(n)}中元素的个数是( )
A.4B.3
C.2D.无数
答案 A
解析 复数f(n)=in(n∈N*),
可得f(n)=
k∈N.
集合{z|z=f(n)}中元素的个数是4.
7.(2017·全国Ⅱ)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B等于( )
A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}
答案 C
解析 ∵A∩B={1},∴1∈B.
∴1-4+m=0,即m=3.
∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C.
8.已知集合A={x|-1A.(-∞,0]B.[0,+∞)
C.(-∞,0)D.(0,+∞)
答案 B
解析 用数轴表示集合A,B(如图),
由A⊆B,得a≥0.
9.(2017·广东、广西、福建十校联考)若全集U=R,集合A={x|x2-x-2≥0},B={x|log3(2-x)≤1},则A∩(∁UB)=________________.
答案 {x|x<-1或x≥2}
解析 集合A={x|x2-x-2≥0}={x|x≤-1或x≥2},
∵log3(2-x)≤1=log33,∴0<2-x≤3,
∴-1≤x<2,∴B={x|-1≤x<2},
∴∁UB={x|x<-1或x≥2},
∴A∩(∁UB)={x|x<-1或x≥2}.
10.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为__________.
答案 -
解析 ∵3∈A,∴m+2=3或2m2+m=3.
当m+2=3,即m=1时,2m2+m=3,此时集合A中有重复元素3,不符合集合的互异性,舍去;
当2m2+m=3时,解得m=-
或m=1(舍去),
当m=-
时,m+2=
≠3,符合题意,
∴m=-
.
11.(2017·南阳月考)设全集U=R,集合A={x|y=
},B={y|y=ex+1},则A∪B=__________.
答案 (-∞,-1]∪(1,+∞)
解析 因为A={x|x≥3或x≤-1},B={y|y>1},
所以A∪B={x|x>1或x≤-1}.
12.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A⊆B,则实数c的取值范围是________.
答案 [1,+∞)
解析 由题意知,A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c).由A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1.
13.已知集合A={x|1A.
B.
C.(-∞,0]D.[0,+∞)
答案 D
解析 ∵A∩B=∅,
①若当2m≥1-m,即m≥
时,B=∅,符合题意;
②若当2m<1-m,即m<
时,
需满足
或
解得0≤m<
或∅,即0≤m<
.
综上,实数m的取值范围是[0,+∞).
14.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=______,n=________.
答案 -1 1
解析 A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5由A∩B=(-1,n),可知m<1,
则B={x|m15.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.
答案 6
解析 依题意可知,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”时,这三个元素一定是连续的三个自然数.故这样的集合共有6个.
16.设集合M=
,N=
,且M,N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是________.
答案
解析 由已知,可得
即0≤m≤
;
即
≤n≤1,当集合M∩N的长度取最小值时,M与N应分别在区间[0,1]的左、右两端.
取m的最小值0,n的最大值1,可得M=
,N=
,所以M∩N=
∩
=
,此时集合M∩N的“长度”的最小值为
-
=
.