离散数学形成性考核作业三.docx
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离散数学形成性考核作业三
离散数学形成性考核作业（三）
集合论与图论综合练习
本课程形成性考核作业共4次，内容由中央电大确定、统一布置。
本次形考作业是第三次作业，大家要认真及时地完成图论部分的形考作业，字迹工整，抄写题目，解答题有解答过程。
一、单项选择题
1．若集合A＝{2，a，{a}，4}，则下列表述正确的是（）．
A．{a，{a}}∈AB．{a}⊆A
C．{2}∈AD．∈A
2．设B={{2},3,4,2}，那么下列命题中错误的是（）．
A．{2}BB．{2,{2},3,4}⊂B
C．{2}⊂BD．{2,{2}}⊂B
3．若集合A={a，b，{1，2}}，B={1，2}，则（）．
A．B⊂A，且B∈AB．B∈A，但B⊄A
C．B⊂A，但B∉AD．B⊄A，且B∉A
4．设集合A={1,a}，则P（A）=（）．
A．{{1},{a}}B．{,{1},{a}}
C．{,{1},{a},{1,a}}D．{{1},{a},{1,a}}
5．设集合A={1，2，3，4，5，6}上的二元关系R={a,b⎢a,bA,且a+b=8}，则R具有的性质为（）．
A．自反的B．对称的
C．对称和传递的 D．反自反和传递的
6．设集合A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，R从A到B的二元关系，
R={a,b⎢aA，bB且}
则R具有的性质为（）．
A．自反的B．对称的C．传递的D．反自反的
7．设集合A={1,2,3,4}上的二元关系
R={1,1，2,2，2,3，4,4}，
S={1,1，2,2，2,3，3,2，4,4}，
则S是R的（）闭包．
A．自反B．传递C．对称D．以上都不对
8．非空集合A上的二元关系R，满足（），则称R是等价关系．
A．自反性，对称性和传递性B．反自反性，对称性和传递性
C．反自反性，反对称性和传递性 D．自反性，反对称性和传递性
9．设集合A={a,b}，则A上的二元关系R={，}是A上的（）关系．
A．是等价关系但不是偏序关系 B．是偏序关系但不是等价关系
C．既是等价关系又是偏序关系 D．不是等价关系也不是偏序关系
10．设集合A={1,2,3,4,5}上的偏序关系
的哈斯图如右图所示,若A的子集B={3,4,5}，
则元素3为B的（）．
A．下界B．最大下界C．最小上界D．以上答案都不对
11．设函数f：
RR，f（a）=2a+1；g：
RR，g（a）=a2．则（）有反函数．
A．g∙fB．f∙gC．fD．g
12．设图G的邻接矩阵为
则G的边数为（）．
A．5B．6C．3D．4
13．下列数组中，能构成无向图的度数列的数组是（）．
A．（1,1,2,3）B．（1,2,3,4,5）C．（2,2,2,2）D．（1,3,3）
14．设图G＝，则下列结论成立的是（）．
A．deg（V）=2∣E∣B．deg（V）=∣E∣
C．D．
15．有向完全图D＝，则图D的边数是（）．
A．∣E∣（∣E∣－1）/2B．∣V∣（∣V∣－1）/2
C．∣E∣（∣E∣－1）D．∣V∣（∣V∣－1）
16．给定无向图G如右图所示，下面给出的结点
集子集中，不是点割集的为（）
A．{b,d}B．{d}
C．{a,c}D．{g,e}
17．设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r=（）．
A．e－v＋2B．v＋e－2C．e－v－2D．e＋v＋2
18．无向图G存在欧拉通路，当且仅当（）．
A．G中所有结点的度数全为偶数
B．G中至多有两个奇数度结点
C．G连通且所有结点的度数全为偶数
D．G连通且至多有两个奇数度结点
19．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的（）条边，才能确定G的一棵生成树．
A．B．C．D．
20．已知一棵无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T的树叶数为．
A．8B．5C．4D．3
二、填空题
1．设集合，则AB=，AB=，A–B=，P（A）-P（B）=．
2．设A,B为任意集合，命题A-B=∅的条件是．
3．设集合A有n个元素，那么A的幂集合P（A）的元素个数为．
4．设集合A={1，2，3，4，5，6}，A上的二元关系且}，则R的集合表示式为．
5．设集合A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，R从A到B的二元关系，
R={a,b⎢aA，bB且2a+b4}
则R的集合表示式为．
6．设集合A={0,1,2},B={0,2,4},R是A到B的二元关系，
则R的关系矩阵MR＝
．
7．设集合A={1,2,3,4}，B={6,8,12}，A到B的二元关系
R＝
那么R－1＝
8．设集合A={a,b,c}，A上的二元关系
R={,}，S={,,}
则（R∙S）－1= ．
9．设集合A=｛a,b,c｝，A上的二元关系R={,,,}，则二元关系R具有的性质是 ．
10．设集合A={1,2,3,4}上的等价关系
R={1,2，2,1，3,4，4,3}IA．
那么A中各元素的等价类为．
11．设A，B为有限集，且|A|=m，|B|=n,那末A与B间存在双射，当且仅当．
12．设集合A={1,2},B={a,b}，那么集合A到B的双射函数是
．
13．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是．
14．设给定图G（如由图所示），则图G的点
割集是．
15．设G=是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于，则在G中存在一条汉密尔顿路．
16．设无向图G＝是哈密顿图，则V的任意非空子集V1，都有
≤∣V1∣．
17．设有向图D为欧拉图，则图D中每个结点的入度 ．
18．设完全图K有n个结点（n≥2），m条
边，当时，K中存在欧拉回路．
19．图G（如右图所示）带权图中最小生
成树的权是
20．连通无向图G有6个顶点9条边，从
G中删去条边才有可能得到G的一棵生成树T．
三、判断说明题
1．设A、B、C为任意的三个集合，如果A∪B=A∪C，判断结论B=C是否成立？
并说明理由．
2．如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：
“R-11、R1∪R2、R1⋂R2是自反的”是否成立？
并说明理由．
3．设R，S是集合A上传递的关系，判断
RS是否具有传递性，并说明理由．
4．若偏序集的哈斯图如右图所示，则
集合A的最小元为1，最大元不存在．
5．若偏序集的哈斯图如右图所示，则
集合A的极大元为a，f；最大元不存在．
6．图G（如右图）能否一笔画出？
说明理由．
若能画出，请写出一条通路或回路．
7．判断下图的树是否同构？
说明理由．
8．给定两个图G1，G2（如下图所示），试判断它们是否为欧拉图、哈密顿图？
并说明理由．
9．判别图G（如下图所示）是不是平面图，并说明理由．
10．在有6个结点，12条边的简单平面连通图中，每个面有几条边围成？
为什么？
四、计算题
1．设，求：
（1）（A⋂B）⋃~C；
（2）P（A）－P（C）；（3）A⊕B．
2．设集合A＝{a,b,c}，B={b,d,e}，求
（1）B⋂A；
（2）A⋃B；（3）A－B；（4）B⊕A．
3．设A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，R是A上的整除关系，B={2,4,6}．
（1）写出关系R的表示式；
（2）画出关系R的哈斯图；
（3）求出集合B的最大元、最小元．
4．设集合A＝{a,b,c,d}上的二元关系R的
关系图如右图所示．
（1）写出R的表达式；
（2）写出R的关系矩阵；
（3）求出R2．
5．设A={0，1，2，3，4}，R={|x∈A，y∈A且x+y<0}，S={|x∈A，y∈A且x+y<=3}，试求R，S，R︒S，R-1，S-1，r（R），s（R），t（R），r（S），s（S），t（S）．
6．设图G=，其中V={a1,a2,a3,a4,a5},
E={，，，，}
（1）试给出G的图形表示；
（2）求G的邻接矩阵；
（3）判断图D是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？
7．设图G=，V={v1，v2，v3，v4，v5}，E={（v1,v2），（v1,v3），（v2,v3），（v2,v4），（v3,v4），（v3,v5），（v4,v5）}．
（1）试给出G的图形表示；
（2）写出其邻接矩阵；
（3）求出每个结点的度数
（4）画出图G的补图的图形．
8．图G=，其中V={a,b,c,d,e,f}，E={（a,b）,（a,c）,（a,e）,（b,d）,（b,e）,（c,e）,（d,e）,（d,f）,（e,f）}，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8．
（1）画出G的图形；
（2）写出G的邻接矩阵；
（3）求出G权最小的生成树及其权值．
9．已知带权图G如右图所示．试
（1）求图G的最小生成树；
（2）计算该生成树的权值．
10．设有一组权为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,试
（1）画出相应的最优二叉树；
（2）计算它们的权值．
五、证明题
1．试证明集合等式：
A⋃（B⋂C）=（A⋃B）⋂（A⋃C）．
2．证明对任意集合A，B，C，有．
3．设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：
若对任意a∈A，存在b∈A，使得∈R，则R是等价关系．
4．若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：
也是A上的偏序关系．
5．若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．
6．设G是连通简单平面图，则它一定有一个度数不超过5的结点．（提示：
用反证法）
7．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加条边才能使其成为欧拉图．
8．证明任何非平凡树至少有2片树叶．
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