量子力学习题解答第2章.docx

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量子力学习题解答第2章

第二章

定态薛定谔方程

本章主要内容概要:

1．定态薛定谔方程与定态的性质:

在势能不显含时间的情况下,含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。

首先求解定态薛定谔方程（能量本征值方程）

求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等）。

能量本征函数具有正交归一性（分立谱）

或函数正交归一性（连续谱）

由能量本征函数可以得到定态波函数

定态波函数满足含时薛定谔方程。

对分立谱,定态是物理上可实现的态,粒子处在定态时,能量具有确定值,其它力学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。

对连续谱,定态不是物理上可实现的态（不可归一化）,但是它们可以叠加成物理上可实现的态。

含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为

系数由初始波函数确定

，　　　

由波函数的归一性，可以得到系数的归一性

对态测量能量只能得到能量本征值，得到的几率是，能量的期待值可由

求出。

这种方法与用

方法等价。

2.一维典型例子：

（a）一维无限深势阱（分立谱,束缚态）

能量本征函数和能量本征值为

若

则能量本征函数和能量本征值为

是基态（能量最低），是第一激发态。

波函数相对于势阱的中心是奇偶交替的:

是偶函数，是奇函数，是偶函数，依次类推。

（b）一维简谐振子（分立谱,束缚态）:

能量本征函数和能量本征值为

其中厄米多项式,可由母函数生成

厄米多项式多项式满足递推关系

定义产生算符与湮灭算符

则有

当处于能量本征态时

（ｃ）一维自由粒子（连续谱,散射态）:

定态薛定谔方程为

能量本征函数和本征值为

能量本征函数满足函数正交归一性

定态波函数为

定态不是物理上可实现的态（不可归一化），它代表一个向右传播的正弦波（）或向左传播的正弦波（），波的传播速度（相速度）为

尽管定态不是物理上可实现的态，但是定态叠加成的波包

可以是物理上可实现（可归一化）的态。

其中叠加系数由初始波包决定

由能量本征函数满足函数正交归一性

波包在空间的传播速度称为群速度

（d）一维函数势阱:

函数的性质为

在处由于函数势的存在，波函数的导数出现跃变

（如果是函数势，上式中做代换）

束缚态：

只有一个束缚态，能量本征函函数和本征值为

散射态（连续谱）：

定态薛定谔方程的解为

尽管散射态不是可归一化的态,但是我们可以用它作为代表来讨论入射粒子（波包）被势反射或透射的情况。

由波函数及其导数在连续和跃变条件，可以得出反射波振幅,透射波振幅与入射波振幅的关系（设，没有从右向左入射的波）。

计算出反射波几率流密度,投射波几率流密度，入射波几率流密度,可以得到反射系数和透射系数。

由几率流密度定义

（三维情况为）

计算出

反射系数和透射系数之和为1．

*习题2．１　证明下列三个定理

解:

（a）证：

假设在定态解把实数改为复数，则

若在时刻,波函数是归一化的，即

在以后时刻

所以要求在任何时候都有

必须有，即必须为实数。

（b）设满足定态薛定谔方程

把这个式子取复共轭,注意到是实的，得到

显然和是同一薛定谔方程的解,所以它们的线性叠加

或

也是同一薛定谔方程的解。

显然是实函数，所以一维定态薛定谔方程的解总可以取为实函数。

（c）对

进行空间反演,得到

如果势能是偶函数,则有

因此和是同一薛定谔方程的解，所以它们的线性叠加

也是同一薛定谔方程的解。

所以当势能是偶函数，定态薛定谔方程的解总可以取为有确定宇称的解。

*习题２．2

解:

如果，那么和它的二次导数有同样的符号。

如果是正值,它将一直增加，这与我们，的要求不符，导致函数是不可归一化的。

如果是负值，它将一直减少（绝对值在增大），这同样与我们，的要求不符，导致函数是不可归一化的。

我们还可以从另一个方面讨论这个问题。

设是定态薛定谔方程的一个归一化解，我们有

在经典力学中我们同样有，一个粒子在一个势场中运动,它的总能量为动能加势能，因为动能,所以总能势能势能最小值。

如果总能势能最小值，将意味着动能为负值，这显然是不可能的。

在量子力学中,如果，则意味着动能的期待值为负值,或的期待值为负值。

这对归一化的解是不可能的。

*习题2.５

解:

（a）利用哈密顿本征函数的正交归一性

所以

（b）

代入

并令

（c）时

　完成积分得到

（以为中心的振荡）

（d）由动量期待值与坐标期待值之间的关系

（e）

对测量能量,得到的几率为1／2,得到的几率为１/２．，这个几率同时刻是一样的，也就是说不随时间变化,这是能量守恒的体现。

为什么会随时间变化,而不随时间变化?

因为是哈密顿算苻的本征函数,，　干涉项

由于本征函数的正交性,结果为零。

但是对算苻,干涉项一般不为零（与，与一般不会正交）

*习题2．.7

解:

（a）的图形为

归一化波函数

所以

（ｂ）一维无限深势阱的定态波函数为

把初始波函数用定态展开

其中展开系数为

利用积分公式

可以求出

所以

（c）测量能量得到结果为的几率是

（d）

其中利用了级数求和公式（这些公式可由函数的傅里叶级数展开式得到，可在数学手册上查到）

习题２．8

解：

（a）初始波函数为

归一化

所以

（ｂ）一维无限深势阱的定态波函数为

把初始波函数用定态展开

其中展开系数为

所以测量能量得到基态的几率为

*习题　2.1２　　　　　　　　　　　　　

解:

由

，

习题2.1３

解：

（ａ）归一化

所以

（b）

其中是谐振子基态和第一激发态的能量。

（c）

利用

　,

或者

由Ｅhrｅｎfest’s定理

代入谐振子势能，及,有

显然满足Ｅhrenfest’s定理

如果用替代，则有

其中，重复上面的计算,有

显然此时，仍然满足（也必须满足）。

讨论:

当不同的谐振子定态叠加时,只有叠加态中有相邻态时,即有态时,必须还有态,才会以的形式震荡。

（d）测量能量得到的几率是,得到的几率是。

习题2．14　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解:

本题其实就是以经典频率为的基态为体系的初始态，体系的哈密顿为

能量本征函数为

能量本征值为

含时薛定谔方程的一般解为

当时，

显然对测量能量，不可能得到,因为现在的能量本征态中，没有这个本征值,所以测量能量得到的几率为零。

现在体系基态的能量为,所以测量能量得到的几率是,由

代入

（注意在时刻，体系的能量期待值不是，因为体系的哈密顿是频率为的谐振子哈密顿。

）

ﻩ　　　　　

习题2..19　

解:

把

代入

得到

显然,几率流是朝正方向，即波的传播方向流动。

*习题2.２７

解:

（a）

（a）对束缚态必须有，解薛定谔方程：

其解为

其中

并且已经利用了波函数在时应为有限的条件。

　　　波函数在处必须连续，我们有

但是由于此处势能为无限大，所以波函数的导数是不连续的，波函数导数的跃变可以由薛定谔方程求出。

在处，由积分

得到

其中

为波函数导数在处的跃变。

同样可以求得波函数导数在处的跃变为

所以

与

一起整理得到

其中

这个以为未知数的方程组有非零解的条件是系数行列式为零，即

得到

这个方程可以表示为

所以我们有两个解（单势阱时有一个解，双势阱时有两个解，你可以推论当有N个势阱时,应该有N个解）

　对

得到满足的方程为

数值解这两个方程（注意）得到

所以能量为

注意当取时，单势阱的能量为，所以双阱时的两个能量本征值，一个比单阱时大,一个比单阱时低。

对情况，

满足的方程为

数值解为

所以能量为

但是的解，不符合波函数必须归一化的要求（在这种情况下，波函数在三个区间都是常数,积分为无限大，或者说不符合我们开始要求的束缚态的要求。

）所以现在我们只有一个解。

下面求出两种情况下的波函数。

首先把所有的系数都用表示,可以解出

对,满足的解,有

所以波函数为

可以看出这是一个偶函数。

归一化

积分得到

解出

这个波函数的图形为

对,满足的解,有

所以波函数为

可以看出这是一个奇函数。

归一化

积分得到

解出

这个波函数的图形为

对情况，，（我们也只需考虑这种情况），我们得到

所以波函数为

是偶函数。

除了能量与时不同外，形式上这个波函数与时，能量为的波函数一样。

（b）*习题2.34:

解:

（ａ）对情况,定态薛定谔方程的解为

其中

并且我们已经假设在仅有透射波。

由波函数及其导数在处的连续条件

消去Ｆ得到

反