北京市朝阳区届高三年级学业水平等级性考试练习二二模数学试题.docx
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北京市朝阳区届高三年级学业水平等级性考试练习二二模数学试题
北京市朝阳区2020届高三年级学业水平等级性考试练习二(二模)数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.已知全集,集合,那么集合()
A.B.
C.D.
2.在△中,若,,,则()
A.B.
C.D.
3.函数的最小正周期为()
A.B.
C.D.
4.若双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率为()
A.B.C.2D.
5.函数的零点个数为()
A.B.
C.D.
6.“”是“”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.已知函数,则()
A.是奇函数,且在上是增函数
B.是奇函数,且在上是减函数
C.是偶函数,且在上是增函数
D.是偶函数,且在上是减函数
8.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长侧棱的长为()
A.B.
C.D.
9.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是℃,空气的温度是℃,经过分钟后物体的温度℃可由公式求得,其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于的常数.现有℃的物体,放在℃的空气中冷却,分钟以后物体的温度是℃,则约等于(参考数据:
)()
A.B.
C.D.
10.李明自主创业种植有机蔬菜,并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务,甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次.已知月日李明分别去了这四家超市配送,那么整个月他不用去配送的天数是()
A.B.
C.D.
二、填空题
11.若(),则_________.
12.若直线与圆相切,则_________.
13.已知正方形的边长为,若,则的值为_________.
14.对任意两实数,,定义运算“”:
给出下列三个结论:
①存在实数,,使得成立;
②函数的值域为;
③不等式的解集是.
其中正确结论的序号是_____________.
三、双空题
15.已知抛物线:
的焦点为,点在抛物线上,,则点的横坐标是________,△(为坐标原点)的面积为_________.
四、解答题
16.如图,在三棱柱中,是边长为的正方形,平面平面,,,点为棱的中点.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
17.已知数列的前项和为,,.是否存在正整数(),使得成等比数列?
若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
从①,②,③这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
18.“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期,为了引导游客有序游园,该公园每天分别在时,时,时,时公布实时在园人数.下表记录了月日至日的实时在园人数:
日
日
日
日
日
日
日
时在园人数
时在园人数
时在园人数
时在园人数
通常用公园实时在园人数与公园的最大承载量(同一时段在园人数的饱和量)之比来表示游园舒适度,以下称为“舒适”,已知该公园的最大承载量是万人.
(Ⅰ)甲同学从月日至日中随机选天的下午时去该公园游览,求他遇上“舒适”的概率;
(Ⅱ)从月日至日中任选两天,记这两天中这个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为,求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)根据月日至日每天时的在园人数,判断从哪天开始连续三天时的在园人数的方差最大?
(只需写出结论)
19.已知椭圆的两个顶点分别为,,焦点在轴上,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设为原点,点在椭圆上,点和点关于轴对称,直线与直线交于点,求证:
,两点的横坐标之积等于,并求的取值范围.
20.已知函数.
(1)求函数的定义域;
(2)求曲线在点处的切线方程;
(3)求证:
当时,.
21.已知集合的元素个数为且元素均为正整数,若能够将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合,,,即,,,,其中,,,且满足,,,则称集合为“完美集合”.
(Ⅰ)若集合,,判断集合和集合是否为“完美集合”?
并说明理由;
(Ⅱ)已知集合为“完美集合”,求正整数的值;
(Ⅲ)设集合,证明:
集合为“完美集合”的一个必要条件是或.
参考答案
1.D
【分析】
先解不等式求出集合A,再求补集即可.
【详解】
由得:
或,
所以或,
所以,
故选:
D
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算,涉及解一元二次不等式,属于基础题.
2.B
【分析】
直接利用正弦定理计算得到答案.
【详解】
根据正弦定理:
,故,解得.
故选:
B.
【点睛】
本题考查了正弦定理,意在考查学生的计算能力.
3.A
【分析】
化简得到,利用周期公式得到答案.
【详解】
,故周期.
故选:
A.
【点睛】
本题考查了二倍角公式,三角函数周期,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
4.C
【分析】
利用双曲线的渐近线过点,可以求得的值,再利用即可求出离心率.
【详解】
双曲线的一条渐近线为,
因为渐近线过点,所以,所以,
所以,
故选:
C
【点睛】
本题主要考查了求双曲线的离心率,考查了双曲线的渐近线方程,属于中档题.
5.B
【分析】
由,得到.分别画出和的图象可知当时,函数和有一个交点.当时,利用导数研究函数的单调性和最值即可得到零点个数,再综合和的情况即可得到函数的零点个数.
【详解】
令,得:
,
分别画出和的图象,如图所示:
当时,函数和有一个交点.
当时,,
令,,,.
当,,为减函数,
当,,为增函数.
所以,
所以在为增函数,
又因为,所以,.
故在无零点.
综上:
函数的零点个数为.
故选:
B
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的零点,同时考查了数形结合的思想,属于中档题.
6.A
【分析】
根据三角函数运算依次判断充分性和必要性得到答案.
【详解】
若,则,则若,则,故是充分条件;
若,取,则,故不是必要条件.
故“”是“”的充分而不必要条件.
故选:
A.
【点睛】
本题考查了充分不必要条件,意在考查学生的计算能力和推断能力.
7.C
【分析】
利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性,再利用复合函数单调性法则判断单调性,结合选项可得结果.
【详解】
,
是偶函数;
当时,,
设,则在上单增,
又为增函数,所以在上单增,
是偶函数,且在上是增函数.
故选:
C.
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断,属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称,如果不对称,既不是奇函数又不是偶函数,如果对称常见方法有:
(1)直接法,(正为偶函数,负为减函数);
(2)和差法,(和为零奇函数,差为零偶函数);(3)作商法,(为偶函数,为奇函数).
8.C
【分析】
根据三视图可得直观图四棱锥,结合图形,即可得到最长的侧棱为,根据勾股定理即可求出的长.
【详解】
根据三视图可得直观图四棱锥,如图:
底面是一个直角梯形,,,,,且
底面,所以,
,
∴该四棱锥最长侧棱长为.
故选:
C
【点睛】
本题考查三视图的问题,关键是画出直观图,结合图形即可得到答案,考查学生的直观想象和运算求解能力.
9.D
【分析】
℃的物体,放在℃的空气中冷却,4分钟以后物体的温度是℃,则,从而,由此能求出的值.
【详解】
由题知,℃的物体,放在℃的空气中冷却,4分钟以后物体的温度是℃,则,从而,
,得.
故选:
D
【点睛】
本题主要考查指数与对数的运算,考查了学生的阅读理解能力和运算求解能力.
10.B
【分析】
由题意将剩余天数编号,转化条件得李明每逢编号为3、4、6、7的倍数时要去配送,利用分类加法即可得解.
【详解】
将月剩余的30天依次编号为1,2,330,
因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔天、天、天、天去配送一次,且月日李明分别去了这四家超市配送,
所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送,每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送,每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送,每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送,
则李明去甲超市的天数编号为:
3、6、9、12、15、18、21、24、27、30,共10天;
李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为:
4、8、16、20、28,共5天;
李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在,共0天;
李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为:
7、14,共2天;
所以李明需要配送的天数为,
所以整个月李明不用去配送的天数是.
故选:
B.
【点睛】
本题考查了计数原理的应用,考查了逻辑推理能力、转化化归思想与分类讨论思想,关键是对于题目条件的转化与合理分类,属于中档题.
11.
【分析】
由题意结合复数的乘法法则可得,由复数相等的条件即可得解.
【详解】
由题意,
由可得,解得.
故答案为:
.
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘法运算,考查了复数相等的条件与运算求解能力,属于基础题.
12.
【分析】
由题意结合圆的方程可得该圆圆心为,半径为,再利用圆心到直线的距离等于半径即可得解.
【详解】
由题意圆的方程可转化为,
所以该圆圆心为,半径为,
所以圆心到直线的距离,解得.
故答案为:
.
【点睛】
本题考查了圆的方程的应用,考查了直线与圆的位置关系的应用以及运算求解能力,属于基础题.
13.
【分析】
建立平面直角坐标系,求得点P的坐标,进而得到的坐标,再利用数量积的坐标运算求解.
【详解】
如图所示建立平面直角坐标系:
则,
设,
,
因为,
,
解得,
所以,
所以,
所以,
故答案为:
【点睛】
本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
14.①③
【分析】
由得,,
对于①,由得,,由绝对值三角不等式即可判断;(另解:
举例说明,取;)
对于②,,再根据辅助角公式和三角函数的性质即可判断;
对于③,由得,,解出即可判断.
【详解】
解:
由得,,
对于①,由得,,即,
由绝对值三角不等式可得,,
当且仅当时,等号成立,
故①对;
(另解:
取,则,则成立;)
对于②,,
故②错;
对于③,由得,,即,
∴,解得,
故③对;
故答案为:
①③.
【点睛】
本题主要考查新定义问题,解题的关键在于理解新运算的含义,属于中档题.
15.
【分析】
设出焦点坐标,根据抛物线定义即可求出点的横坐标,得到点坐标,继而可求△(为坐标原点)的面积.
【详解】
因为,所以焦点,
设点,
所以根据抛物线的定义由:
,
又,
所以,解得:
,
即点的横坐标是.
因为,
又,所以,,
所以,
故△(为坐标原点)的面积为.
故答案为:
;.
【点睛】
本题考查抛物线定义的应用,解题关键根据抛物线定义用抛物线上点的横坐标表示焦半径的长,属于基础题.
16.(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【分析】
(Ⅰ)由题意,利用平面与平面垂直的性质可得平面,得到平面,得,由是正方形,得,再由直线与平面垂直的判定可得平面;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面,又,故以为坐标原点,分别以,,所在直线为,,轴建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量与的坐标,由两向量所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
(Ⅰ)证:
平面平面,平面平面,
平面,且,
平面,
在三棱柱中,有,
平面,得,
是正方形,
,而