初三数学培优练习题.docx

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初三数学培优练习题

1、自然数4、5、5、x、y从小到大排列后，其中位数.为4，如果这组数据唯一.的众数是5

那么，所有满足条件的x、y中，xy的最大值是（）

（A）3（B）4（C）5（D）6

p：

1，而在另一个瓶

2、两个相同的瓶子装满酒精溶液，在一个瓶子中酒精与水的容积之比是

子中是q:

1，若把两瓶溶液混合在一起，混合液中的酒精与水的容积之比是（

A.

22

B.Pq

c.2pq

Dpq2pq

pq

pq

pq2

xya3

2xy5a

3•由得a>—3,则m的取值范围是（）

xy

am

（1）如果某圆锥的侧面展开图是半圆，则其轴截面一定是等边三角形；

（2）若点A在直线y=2x-3上，且点A到两坐标轴的距离相等，则点A在第一或第四象限;

（3）半径为5的圆中，弦AB=8则圆周上到直线AB的距离为2的点共有四个；

4

（4）若A（a,B（a-1,n）（a0）在反比例函数y—的图象上，贝ymn.

x

其中，正确命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.已知抛物线y=ax2+2ax+4（0

且X1+X2=1—玄，则（）

Ay1y2Dy1与y的大小不能确定

&小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C,

共用时30秒.他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程.设小翔跑步的时间

为t（单位：

秒），他与教练的距离为y（单位：

米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）

A.点MB.点NC.点PD.点Q

消费金额w（兀）的范围

200

400

500

700

获得奖券的金额（元）

30

60

100

130

根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。

例如，购买价为

400元的商

品，则消费金额为320元，获得的优惠为：

400X+30=110（元）。

（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？

（2）对于标价在500WWK800（元）的商品，顾客购买标价为多少元商品，可得到不小

1

于丄的优惠率。

3

O为坐标原点，矩形ABCD勺边AD与x轴的正半轴重合，另三边

A（1,0）,AB=2AD=3,点E为OD的中点，以AD为直径作OM

（1）求经过C、E两点的直线的解析式；

（2）如果点P同时在OM和矩形ABCD内部，求a的取值范围；

（3）过点B作OM的切线交边CD于F点，当PF//AD时，判断直线CE与y轴的交点是否在抛物线上，并说明理由。

17、把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与

角板ABC的斜边中点O重合，其中ABCDEF90°,CF45°,

ABDE4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点0旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q.

（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APDCDQ•此

时，AP-CQ•

（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点0沿逆时针方向旋转如图2,设旋转角为•其中0°90°，问AP-CQ的值是否改变？

说明你的理由.

18、如图，在直角坐标系中，矩形

OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A,C在坐标轴上,

OA80cm,OC60cm.动点P从点O出发，以5cm/s的速度沿y轴匀速向点A运

动，至U达点A即停止•设点P运动的时间为t（s）.

（1）过点P作对角线OB的垂线，垂足为点T•求OPT的面积y与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（2）在点P运动过程中，当点O关于直线CP的对称点O恰好落在对角线OB上时，求此时直线CP的函数解析式；

（3）探索：

以C，P，T三点为顶点的ACPT的面积能否达

图1

图2

图3

9

到矩形OABC面积的？

请说明理由.

80

参考答案

pq

1、C,2•答案：

D,由比例性质，1p1qpq2pq

11pq2

1p1q

3、C,4、C,5、D,6、B,7、A,

8、D

9•答案：

m<18,由绝对值的几何意义知，函数y|xa||xb||ab|（ab）当且仅当

axb时等号成立，

•••yx1x2x10x11（x1x11）（x2x10）

|111||210118，当且仅当2x10时等号成立.

故由方程x1x2x10x11m无解，得m18•

10、y4.3x55.、3,11、135或371293,12、①②③

解:

在Rt△DCH中,CD=4,CH=CB-BH=2

•••/DCH=60，即/BCD=60,

1

在四边形EHCF中，又CH=EF=2CH//EF,CF=一CD=2,

2

•四边形EHCF是菱形，

111

-Sabeh=—BHXEB=—X1xEB=—EB,

222

11

Saceh=—CH?

EB=—X2XEB=EB

22

1

…S^BEb=_S^CEH.

2

以AB的直径的圆的半径为J3，而EF=2，RKEF.

所以AB为直径的圆与CD不相切于点F.

24

13、分析：

作F关于ABBC的对称点F'、F"

5

F"是一个菱形对边上的关于中心

13、

，作AC关于ABBC的对称线段，可以发现F',

是菱形的高•根据菱形的性质即可求岀解答：

解：

作F关于ABBC的对称点

B对称的对称点.容易发现,

DE+EF+FD勺最小值.

F'F"的最短距离就是菱形对边的距离，也就

F'、F"

贝UFD=FD,FE=F'E.de+ef+fd=de+fd+F'E.

两点之间线段最短，可知当F固定时，值就是线段F'F〃的长.

于是问题转化：

F运动时，F'F"什么时候最短.F'，F"是关于B点对称的.

作AC关于ABBC的对称线段，可以发现F'，F"是一个菱形对边上的关于中心B对称的对称点.

很容易发现，

£

产;

”严"厅

rC

■iI—j■"

"~'^s

■l-

F'F"的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高.

4x3x4

-=5x.

2424

x=■，高是■，

A

DE+FD+F'E的最小

则①②③正确•故选B.

24

故DE+EF+FD勺最小值为，，

此时F在斜边上的高的垂足点，D、E在B点.

点评：

本题考查菱形的判定和性质及轴对称--最短路线问题的综合应用，有一定的难度.关键是确定F在斜

边上的高的垂足点，D、E在B点.

14、①5:

2;②21

解;①如圉，根据圆和正方形的对称性可如：

G時

H为半圆附圆心，不坊愎&H二小则GF=2a-

在直角三雋形FGH中，由勾般定理可得HF={5a.由此可得，半圆的半径対苹:

a,正方形辿长曲注,所以半圜的半径与正方形边《的叱是怎益2a=J?

；2;

②国％芷士飛DEFG的面积分100，所以芷方样DEFG边竖対1D.

崖接丘氣AE,01.OJ,

VAC.EC^©0的切线，

ACJ=CI）Z0JC=Z0IC=90n,

VZACB=9O'I

二四边形OICJ昙正方器，且边恋是缶

设RD二瓷‘AD=y）则吕D二二工,AD=AJ=y»

在直角三角J^AEC中，由勺般定理得（zM）45+4〕2=（”护2Q；

在直悄三歸那中，

'/ZAEB=90i・,ED±AB（

仁AADE^iBDE^AABEi

千杲得?

I1EDZ=AD*3D,即107=s'y②.

解①式和②式，得K+y-2b

即半圆的直^AB=21.

（2）商品的标价为x元，则

500x

800，消费额：

400

0.8x

640，由已知得

0.2x

601

或

⑴）

0.2x

1001

（I）x

3

x

3

400

0.8x500

500

0.8x640

不等式（I）无解，不等式（H）的解为625x750

因此，当顾客购买标价在625x750元内的商品时，可得到不小于

-的优惠率。

3

（2）AP・CQ的值不会改变.

理由如下：

在△APD与△CDQ中，AC45°

APD180°45°（45°a）90°a,CDQ

即APDCDQ，•••△APDCDQ

.APCD

…ADCQ

2

21

•APCCQADgCDAD—AC8

2

（3）情形1：

当0°a45°时，2CQ4，即2x

DPBQ，过D作DG丄AP于G，

DN

N，•

DGDN

2

由

（2）知：

AP^Q8得AP-

x

于是y

1

ABgAC

11

CQgDNAPgDG

22

8x

角板重叠部分为四边形

8

-（2

x

4，

90°

情形2:

当45°

此时两三角板重叠部分为

8

△DMQ，由于AP，PB

x

-4，易证：

△PBMDNM，x

BMPB即BMPB解得BM2PB84x

MNDN2BM2

2PB4x

二MQ4BMCQ4x

84x

于是y1MQgDN4x84X（0x<2）

24x

OBAC602802100.1分

QPTOB,Rt△OPTsRt△OBA.

PTOP，即巴JL，二OT=4t.•••y=6t2……3分

ABOB60100

当点P运动到C点时即停止运动，此时t的最大值为80

5

所以，t的取值范围是0Wt<16.4分

（2）当o点关于直线AP的对称点O恰好在对角线OB上时，C,T,P三点应在一

条直线上（如答图2）.5分

CP

OB,OCP

OBC.

RtAOPCSRt△COB

OP

OC宀

OP

45.

点P的坐标为（0,45）

....6分

OC

BC

设直线CP的函数解析式为

ykx

b.将点C（60,0）和点P（0,

45）代入解析式，得

450k

060k

b解这个方程组，得k

3

一?

4

5.

b.

b

4；

此时直线

CP的函数解析式是

y

3

x45.

4

45

t9时，A,

（3）由

（2）知，

当

T,

P三点在一条直线上，此时点

5

三角形.

故分两种情况：

••8分

C,T,P不构成

（i）当0t9时，点T位于△AOP的内部

（如图3）•过C点作CEOB，垂足为点E,

S^CPT

Sacop

Sacto

Saotp

160

15t4t

481

4t

3t

6t2

54t.

……10分

2

2

2

若S

Sacpt

9s,

S矩形OABC

则应有

6t2

54t

540,

2

即t

9t900

由BC^EOCgBC可得CE48.

此时，（9）241900,所以该方程无实数根.

所以，当

（ii）当

9

0t9时，以A,P,T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的

80

9t<16时，点T位于△COP的外部.（如图4）

S^cptcto

otpcop

6t2

54t.（12分）

若$△apt80S矩形OABC，则应有GF

80

54t

540,

即t29t90

0.

解这个方程，得

t115,t26

0

（舍去）.

所以，当

15时，以C,

综上所述，当t15时，以C,P，T为顶点的

13、分析：

作F关于ABBC的对称点F'、F",作菱形对边上的关于中心B对称的对称点.容易发现，高•根据菱形的性质即可求出DE+EF+FD勺最小值.解答：

解：

作F关于ABBC的对称点F'、F"贝UFD=FD,FE=F'E.

de+ef+fd=de+fd+F'E.

两点之间线段最短，可知当F固定时，DE+FD+F'小值就是线段F'F〃的长.

于是问题转化：

F运动时，F'F"什么时候最短.

F',F"是关于B点对称的.

作AC关于ABBC的对称线段，可以发现F',F"是一个菱形对边上的关于中心B对称的对称点.

9

P,T为顶点的△APT的面积能达到矩形OABC面积的.

80

9

△APT的面积能达到矩形OABC面积的.

80

AC关于ABBC的对称线段，可以发现F',F"是一个

E的最

F'F"的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的

很容易发现，F'F〃的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高.

4x3^4242424

—=5X,x=T,高是■，故DE+EF+FD勺最小值为T,

此时F在斜边上的高的垂足点，D、E在B点.

点评：

本题考查菱形的判定和性质及轴对称--最短路线问题的综合应用，有一定的难度•关键是确定

边上的高的垂足点，D、E在B点.

F在斜