g)上恒成立.令g(x)=xeX—ex+2,「.g'(x)=xeX>0,「.g(x)在[i,+g)上为增函数,
g(x)>g(i)=2,•••aw2.•••a的取值范围是(一g,2].故选D.
解决本题的关键(难点)是构造合适的函数,易错点有两个方面:
一是对原不等式变形不
到位,构造不出新函数;二是不能把题干信息合理转化为所构造新函数的相关性质进而解决
问题.
热点4利用导数解决与方程的解有关的问题
利用导数研究方程的解(或曲线公共点)的个数问题:
(1)将问题转化为函数的零点问题,进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区
间上的交点问题;
(2)利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其
图象;
(3)结合图象,根据零点的个数,寻找函数在给定区间的极值及区间端点值的函数值与
0的关系,从而求得参数的取值范围.
1.若f(x)=ax3—3x2+1存在唯一的零点xo,且xo>0,则a的取值范围为()
A.(2,+^)B.(—a,—2)
C.(1,+a)D.(—a,—1)
答案B
22解析解法一:
由题意得a^0,f'(x)=3ax—6x,令f'(x)=0,得x=0或x=-,
a
22
当a>0时,x€(—a,0),f'(x)>0;x€0,,f'(x)<0;x€,+a,f'(x)>0;且
aa
22
f(0)=1>0,f(x)有小于零的零点,不符合题意.当a<0时,x€—a-,f'(x)<0;x€,0,aa
22f'(x)>0;x€(0,+a),f'(x)<0.要使f(x)有唯一的零点X0且X0>0,只需f;>0,即a2>4,aa<—2.故选B.
3211
解法二:
由题意得a*0,f(x)=ax—3x+1有唯一的正零点,等价于a=3•-—-3有xx
1
唯一的正根,令t=-,则问题又等价于a=—t3+3t有唯一的正根,即y=a与y=—t3+3t
x
有唯一的交点且交点在y轴右侧.记f(t)=—t3+3t,则f'(t)=—3t2+3,由f'(t)=0,
得t=±1,当t€(—a,—1)时,f'(t)<0;当t€(—1,1)时,f'(t)>0;当t€(1,+a)时,f'()<0.要使a=—t3+3t有唯一的正根,只需a32..
2.若函数f(x)=2x—9x+12x—a恰好有两个不同的零点,则a可能的值为()
A.4B.6C.7D.8
答案A
解析由题意得f'(x)=6x2—18x+12=6(x—1)(x—2),由f'(x)>0,得x<1或x>2,
由f'(x)<0,得1递减,从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f
(1),f
(2).若函数f(x)恰好有两个不同的零
点,贝Uf
(1)=0或f
(2)=0,解得a=5或a=4,故选A.
题不能转化为极值或最值与0的大小关系导致无从下手.第2题关于零点问题易在与0的临
界值上辨析不清
真题自检感悟
IIx
1.(2019•全国卷川)已知曲线y=ae+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()
A.a=e,b=—1B.a=e,b=1
—1—1
C.a=e,b=1D.a=e,b=—1
答案D
解析y'=aex+Inx+1,k=y'|x=1=ae+1,
•••切线方程为y—ae=(ae+1)(x—1),即y=(ae+1)x—1.
又切线方程为y=2x+b,
ae+1=2,—.
•即a=e,b=—1.故选D.
b=—1,
2.(2018•全国卷川)函数y=—x4+x2+2的图象大致为()
答案D
解析当x=0时,y=2,排除A,B.y'=—4x3+2x=—2x(2x2—1),当x€0,#时,y'>0,排除C.故选D.
3.(2019•全国卷I)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.
答案y=3x
解析y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=ex(3x2+9x+3),•斜率k=e°x3=3,•切线方程为y=3x.
4.(2019•江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点
A处的切线经过点(一e,—1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.
答案(e,1)
1
解析设A(mn),则曲线y=lnx在点A处的切线方程为y—n=mjx—m.又切线过
1
点(一e,—1),所以有n+1=_(e).
m
再由n=lnm解得m=e,n=1.
故点A的坐标为(e,1).
专题作业
、选择题
2
x
1.(2019•郑州质量检测)已知曲线y=2—3lnX的一条切线的斜率为2,则切点的横坐
标为()
1
A.3B.2C.1D.2
答案A
一33
解析设切点坐标为(xo,yo),且xo>O,由y'=x—-,得k=xo—=2,「.xo=3.
XXo
2.(2019•全国卷n)曲线y=2sinx+cosx在点(n,—1)处的切线方程为()
A.x—y—n—1=oB.2x—y—2n—1=o
C.2x+y—2n+1=oD.x+y—n+1=o
答案C
解析设f(x)=y=2sinx+cosx,则f'(x)=2cosx—sinx,二f'(n)=—2,「.曲线
在点(n,—1)处的切线方程为y—(—1)=—2(x—n),即2x+y—2n+1=0.故选C.
3.(2017•浙江高考)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,贝U函数y=f(x)的图象可能是()
答案D
解析观察导函数f'(x)的图象可知,f'(x)的函数值从左到右依次为小于0,大于0,
小于0,大于0,二对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增.观察选项可知,排除A,C.如图所示,f'(x)有3个零点,从左到右依次设为X1,X2,X3,且X1,X3是极小值点,X2是极大值点,且X2>0,故选项D正确.故选D.
4.已知f(x)=x3—ax在[1,+^)上是增函数,则a的最大值是()
A.0B.1C.2D.3
答案D
22
解析由题知f'(x)=3x—a》0在[1,)上恒成立,即a<3x在[1,)上恒成
立,而(3X)min=3X1=3.所以aW3,故amax=3.故选D.
23
5.函数f(x)=(X—1)+2的极值点是()
A.x=1B.x=—1
C.x=1或—1或0D.x=0
答案D
解析因为f(x)=(x2—1)3+2,所以f'(x)=6x(x2—1)2.由f'(x)>0得x>0,由
f'(x)<0得x<0,所以f(x)在(—g,0)上单调递减,在(0,+^)上单调递增.于是f(x)=
(X2—1)3+2的极值点是x=0.故选D.
6.设函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)为偶函数,且在(0,1)上存在极大值点,则
f'(x)的图象可能为()
答案C
解析因为f(x)是偶函数,所以其导函数f'(x)是奇函数,可排除B,D;又因为f(x)在(0,1)上存在极大值点,故f'(x)在(0,1)必有变号零点,且零点左侧函数值大于0,右侧
小于0,排除A,故选C.
2x一1
7.(2017•全国卷n)若x=—2是函数f(x)=(x+ax—1)e的极值点,则f(x)的极小
值为()
一3
A.—1B.—2e
一3
C.5eD.1
答案A
解析函数f(x)=(x2+ax—1)ex—,
则f'(x)=(2x+a)ex—1+(x2+ax—1)•ex—1
=ex—1•[+(a+2)x+a—1].
由x=—2是函数f(x)的极值点得
f'(—2)=e—3•(4—2a—4+a—1)=(—a—1)e一3=0,
所以a=—1.
所以f(x)=(x2—x—1)ex—1,f'(x)=ex—1•(x2+x—2).
由ex—1>0恒成立,得x=—2或x=1时,f'(x)=0,
且x<—2时,f'(x)>0;—2x>1时,f'(x)>0.
所以x=1是函数f(x)的极小值点.
所以函数f(x)的极小值为f
(1)=—1.故选A.
8.设定义在(0,+^)上的单调函数f(x),对任意的x€(0,+^)都有f(f(x)—log2x)
=3.若方程f(x)+f'(x)=a有两个不同的实数根,则实数a的取值范围是()
1
A.(1,+g)B.2+jny,+m
1
t,则f(t)—log2t=t,得log2t=3-t,解得t=2,故f(x)=log次+2,f'(x)=xn亍,构
造函数g(x)=f(x)+f'(x)—a=log2X+x|n2—a+2,^方程f(x)+f'(x)=a有两个不同
111x—1
的实数根,•••g(x)有两个不同的零点.g'(x)=xn2~—x^T=用亍•一厂,当xc(。
⑴
时,g'(x)<0;当x€(1,+8)时,g'(x)>0,.・.g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+^)上
111
单调递增,•g(x)min=g
(1)=—a+2,由一a+2<0,得a>2+,故实数a的取值
ln2ln2ln2
1
范围是2+,+m.
ln2
x
9.(2019-青岛二模)已知函数f(x)=2ef'(e)lnx—-(e是自然对数的底数),贝Uf(x)
e
的极大值为()
1
A.2e—1B.—-C.1D.2ln2e
答案D
2ef'e111
解析由题意知,f'(x)=x—,•f'(e)=2f'(e)—,则f'(e)=.因xeee
21
此f'(x)=x—-,令f'(x)=0,得x=2e.•f(x)在(0,2e)上单调递增,在(2e,+^)上单x—
调递减.•••f(x)在x=2e处取极大值f(2e)=2ln(2e)—2=2ln2.
10.(2019•济南调研)已知a为常数,函数f(x)=x(lnx—ax)有两个极值点X1,
X2(X11
A.f(X1)>0,f(X2)>—
1
B.f(X1)<0,f(X2)<—
1
C.f(X1)>0,f(X2)<—
1
D.f(X1)<0,f(X2)>—
答案D
解析f'(x)=lnx—2ax+1,依题意知f'(x)=0有两个不等实根X1,X2,即曲线y
=1+lnx与直线y=2ax有两个不同交点,如图.
由直线y=x是曲线y=1+lnx的切线可知:
0<2a<1,01
•••a€0,2.
由0•/当Xi0,
i
•f(x2)>f(i)=—a>—2故选D.
ii.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),对任意实数x均有(i—x)•f(x)+xf'(x)>0成立,且y=f(x+i)—e是奇函数,则不等式xf(x)—e>0的解集是()
A.(—g,e)B.(e,+◎
C.(—g,i)D.(i,+g)
答案D
xfxxfx
解析原不等式等价于M>i,令g(x)=e,则g'(x)=
xx
范围为(
答案
[xfx]e—xfxe
b=2,
则f(0)=—b=—a,f'(0)=a=2,则
即f(x)=—3x3—2x2+2x—2,
f'(x)=—x2—x+2=—(x—1)(x+2),
当x<—2时,f'(x)<0;当一2f'(x)>0;
x>i时,f'(x)<0.
所以函数f(x)在(一2,i)上单调递增,在
(—g,—2),
(i,+g)上单调递减,
2
又因为关于X的方程f(x)=m有四个不同的实数解,等价于函数f(x)的图象与直线y
5
=m在x€(0,+^)上有两个交点,因为f(0)=—2,f
(1)=—6,
5
所以—26
二、填空题
13.(2019•陕西四校联考)已知函