勾股弦定理.docx

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勾股弦定理

勾股定理:

勾股定理：

在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。

这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。

目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图。

勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国周朝由商高发现。

据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

勾股定理指出：

直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。

也就是说，

设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么

a的平方+b的平方=c的平方aA2+bA2=cA2

勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。

我国古代著名数学家商高说：

“若勾三，股四，则弦五。

”它被记录在了《九章算术》中。

在直角三角形里，垂直的两条边叫做勾和股，斜边叫做弦，他们有如下关系:

勾的平方加上股的平方等于弦的平方！

常见的就是勾3股4弦5.

勾股逆定理：

如果直角三角形两直角边分别为A，B,斜边为C，那么AA2+BA2=CA2;;

即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。

古埃及人用这样的方法画直角

如果三角形的三条边A，B，C满足AA2+BA2=CA2;，还有变形公式：

AB=

根号（AC²+BC²）口：

一条直角边是a,另一条直角边是b，

如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。

（称勾股定理的逆定理）

勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法，其中c

为最长边：

如果AXA+BXB=CX。

，则厶ABC是直角三角形。

如果AXA+BXB>CX。

，则厶ABC是锐角三角形。

如果AXA+BXBvCXC,则厶ABC是钝角三角形。

勾股定理逆定理的证明：

1、反证法

令角C不是直角，

则aA2+bA2=cA2不成立，

所以矛盾，

所以角C是直角。

2、勾股定理逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足条件aA2+bA2=cA2，

那么C边所对的角是直角。

3、三角函数Cos90

如图：

已知ABA2+BCA2=ACA2，

而任一三角形的边之间均满足，

ACA2=ABA2+BCA2-2AB*BA*COSB，

比较两式得，

COSB=0，

B=90度。

勾股定理逆定理的证明：

1、反证法

令角C不是直角，

则&八2+匕八2丸八2不成立，

所以矛盾，

所以角C是直角。

2、勾股定理逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足条件aA2+bA2=cA2，

那么C边所对的角是直角。

3、三角函数Cos90

如图：

已知ABA2+BCA2=ACA2，

而任一三角形的边之间均满足，

ACA2=ABA2+BCA2-2AB*BA*COSB，

比较两式得，

COSB=0，

B=90度。

【例】女口图，已知四边形ABCD中，/B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积.

分析：

根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC,可实现四边形向三

角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD是直角三角形.

解：

连接AC，在Rt△ABC中，

AC2=AB2+BC2=32+42=25，二AC=5.

在厶ACD中AC2+CD2=25+122=169，

而AB2=132=169，

•••AC2+CD2=AB2，二/ACD=90.

故S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=ABBC+AC-CD=<3M+

>5X12=6+30=36.

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*仔细读题，一定要选择最佳答案哟！

1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：

（1）3，4，5；

（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（）

A.4组B.3组C.2组D.1组

2.三角形的三边长分别为a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定

3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原

来的（）

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

4.下列各命题的逆命题不成立的是（）

A.两直线平行，同旁内角互补B.若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等

C.对顶角相等D.如果a=b,那么a2=b2

5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）

ABCD

综合运用

*认真解答，一定要细心哟！

6.如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD丄DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积.

7.—个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中/A和/DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？

8.如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？

请说明理由.

参考答案

1.B2.A3.B4.C5.C6.24m27.符合8.由勾股定理得AE2=25,EF2=5,AF2=20,•••AE2=EF2+AF2，:

•△AEF是直角三角形

勾股定理逆定理习题

【驻足“双基”】

1•请完成以下未完成的勾股数:

（1）8、15、;

（2）10、26、.

2.△ABC中,a2+b2=25,a2-b2=7,又c=5，则最大边上的高是

3•以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）.

B.7,24,25

.3.5,4.5,5.5

15,20,25,那么它的最长边上的高是（

（题6图）

【提升“学力”】

7.在四边形ABCD中,AB=3BC=4,CD=12,AD=13/B=90°,求四边形ABCD的面积.

8.一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口

以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？

【聚焦“中考”】

9.（2004年山东省中考题）如下图中的

（1）?

是用硬纸板做成的形状大小完全相同的

直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c;下图中

（2）是以c为直角边的等腰

直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明出勾股定理的图形.

（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形.

（2）用这个图形推出a2+b2=c2（勾股定理）.

（3）假设图中的

（1）中的直角三角有若干个，你能运用图中的

（1）所给的直角三角

222

形拼出另一种能推出a+b=c的图形吗？

请画出拼后的示意图.（无需证明）

（2）

（题9图）

答案

1.17,242.略3.D4.B5.3、、6

6•提示：

TAB丄AC,AB=4,DA=3二BD=5又bc=12cd=13二cD=bC+b&,

•••/DBC=90,•••BC丄BD

7.36,提示：

连结AC得两个直角三角形8.50千米

112

9.

（2）S梯形=（a+b）（a+b）=—（a+b）,

22

。

_1八12_x12

S梯形=abx+—c=ab+c

222

1212222

•—（a+b）=ab+c,得a+b=c.

22

勾股定理的应用专题测试题

一、选择题（每小题5分，共25分）

1.直角三角形两条直角边的长分别是3和4,则斜边上的高是（）.

A.5B.1C.1.2D.2.4

2•如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）.

A.12米B.13米C.14米D.15米

3.AABC中，AD是高，AB=17,BD=15,CD=6，则AC的长是（）.

A.8B.10C.12D.13

4.一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的

数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（）组.

A.13,12,12B.12,12,8C.13,10,12D.5,8,4

5.如果直角三角形有一直角边是11,另外两边长是连续自然数，那么它的周长是（）.

A.121B.132C.120D.110

二、填空题（每小题5分，共40分）

6.求下列直角三角形中未知边的长度：

b=c=.

!

.△ABC中，/C=90°,c+a=9.8,c-a=5，贝Ub=.

&如图1，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸减去了一角，量得AB=3cm,CD=4cm,则剪去的直角三角形的斜边长为.

9•王师傅在操场上安装一副单杠，要求单杠与地面平行，杠与两撑脚垂直，如图2所示,

撑脚长AB、DC为3m,两撑脚间的距离BC为4m,则AC=m就符合要求.

10•如图2,一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离

地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动米.

11•如图4是一长方形公园，如果某人从•景点A走到景点C,则至少要走米.

12.一个等腰直角三角形的面积是8,则它的直角边长为.

13.如图5，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积3、S2、S3之间

的关系是.

三、解答题（14题7分，15题8分，16、17各10分）

14.如图6,某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米，.（即BC=140米），其结果是他在水中实际游了500米（即AC=500米），求

该河AB处的宽度.

图6

15.如图7,根据图上条件，求矩形ABCD的面积.

16.如图8,—艘轮船以16海里/时的速度离开港口0,向东南方向航行，另一艘船在同样同时同地以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口半小时分别到达A、B，求A、

B两点的距离？

17.

某社区在如图9所示AB所在的直线上建一

为了丰富少年儿童的业余文化生活，图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点C和D处.CA丄AB于A,DB丄AB于B,

已知AB=25km,CA=15km,DB=10km，试问：

阅览室E应建在距A多少畑处，才能使它到C、D两所学校的距离相等？

参考答案：

一、1.D2.A3.B4.C5.B

二、6.12,26;7.7;8.20cm（提示：

延长AB,DC构成直角三角形）;9.5;10.2;11.370;

12.4;13.S什S3=S2.

三、14.解：

在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2,

所以AB2+1402=5002,

解得AB=480.

15.解：

在Rt△ADE中，

222222

AD=AE+DE=8