c>, , , },S={, , , , },求 R◦S,S–1◦R–1
17、A={1, 2, 3, 4, 5, 6},D 是整除关系,画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极
大元。
18、设集合 A={a,b,c},A 上的关系 R={, , },求 R 的自反、对称、传递闭包。
19、求下图中顶点 v0 与 v5 之间的最短路径。
v1
1
v02
7
5
v3
3
2
v5
4
v2
1
v4
6
20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。
四、证明题(每题 10 分,共 20 分)
1、若 R 和 S 都是非空集 A 上的等价关系,证明 R ⋂ S 是 A 上的等价关系。
2、证明苏格拉底论证:
凡人要死。
苏格拉底是人,苏格拉底要死。
3、P→Q,┐Q ∨ R,┐R,┐S ∨ P⇒┐S
4、在群中,除单位元 e 外,不可能有别的幂等元。
5、设 R 和 S 是二元关系,证明:
(R ⋂ S)-1=R-1 ⋂ S-1
6、证明:
((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R)) = (S∧(P→Q))→R.
7、设 I 是整数集合,k 是正整数,I 上的关系 R={|x, y ∈ I,且 x-y 可被 k 整除},
证明 R 是等价关系。
8、证明((p→q)→r)⇔ ((┐q∧p)∨r)
9、证明(P∨Q) ∧(P→R) ∧(Q→S)⇒S∨R
10、证明 P→ ┐Q,Q∨┐R,R∧┐S⇒ ┐P
11、证 (∀x)(P(x)∨Q(x)) ⇒┐(∀x)P(x) →(∃x)Q(x)
12、证明定理:
设是群,对于任意 a, b∈G,则方程 a x=b 与 y◦a=b ,在群内有唯一
解。
《离散数学》复习题参考答案
一、填空题(每空 1 分,共 20 分)
1、集合 A 上的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传递性。
2、一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合。
3、集合 A={b,c},B={a,b,c,d,e},则 A⋃B={a,b,c,d,e}。
4、集合 A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9},则 A⋂B={1,3}。
5、若 A 是 2 元集合, 则 2A 有4个元素。
6、集合 A={1,2,3},A 上的二元运算定义为:
a* b = a 和 b 两者的最大值,则 2*3=3。
7、设 A={a, b,c,d}, 则∣A∣= 4 。
8、对实数的普通加法和乘法, 0 是加法的幂等元, 1 是乘法的幂等元。
9、设 a,b,c 是阿贝尔群的元素,则-(a+b+c)=(-a)+( -b)+( -c)。
10、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路。
11、不能再分解的命题称为原子命题,至少包含一个联结词的命题称为复合命题。
12、命题是能够表达判断(分辩其真假)的陈述语句。
13、如果 p 表示王强是一名大学生,则┐p 表示王强不是一名大学生。
14、与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。
15、量词分两种:
全称量词和存在量词。
16、设 A、B 为集合,如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的子集。
17、集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元。
18、设 A={a, b},则 ρ(A) 的四个元素分别是:
空集,{a},{b},{a, b}。
19、代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统。
20、设是代数系统,其中是* ,* 二元运算符,如果* ,* 都满足交换律、结合律,并
121212
且* 和* 满足吸收律,则称是格。
1212
21、集合 A={a,b,c,d},B={b },则 A \ B={ a, c,d }。
22、设 A={1, 2}, 则∣A∣= 2 。
23、在有向图中,结点 v 的出度 deg+(v)表示以 v 为起点的边的条数,入度 deg-(v)表示以 v
为终点的边的条数。
24、一个图的欧拉回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路。
25、不含回路的连通图是树。
26、不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。
27、推理理论中的四个推理规则是全称指定规则 (US 规则)、全称推广规则 (UG 规则)、存
在指定规则 (ES 规则) 、存在推广规则 (EG 规则)。
二、判断题(每题 2 分,共 20 分)
1、√。
2、√。
3、×。
4、√。
5、√。
6、×。
7、√。
8、√。
9、×。
10、√。
11、×。
12、√。
13、×。
14、√。
15、√。
16、×。
17、√。
18、√。
19、×。
20、×。
21、√。
22、√。
23、×。
24、√。
25、√。
26、×。
27、√。
28、√。
1、空集是唯一的。
2、对任意的集合 A,A 包含 A。
3、恒等关系不是对称的,也不是反对称的。
4、集合{1,2,3,3}和{1,2,2,3}是同一集合。
5、图 G 中,与顶点 v 关联的边数称为点 v 的度数,记作 deg(v)。
6、在实数集上,普通加法和普通乘法不是可结合运算。
7、对于任何一命题公式,都存在与其等价的析取范式和合取范式。
8、设(A,*)是代数系统,a∈A,如果 a*a=a,则称 a 为(A,*)的等幂元。
9、设 f:
A→B, g:
B→C。
若 f,g 都是双射,则 gf 不是双射。
10、无向图的邻接矩阵是对称阵。
11、一个集合不可以是另一个集合的元素。
12、映射也可以称为函数,是一种特殊的二元关系。
13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。
14、<{0,1,2,3,4},MAX,MIN>是格。
15、树一定是连通图。
16、单位元不是可逆的。
17、一个命题可赋予一个值,称为真值。
18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。
19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。
20、设 f:
A→B, g:
B→C。
若 f,g 都是满射,则 g f 不是满射。
21、集合{1,2,3,3}和{1,2,3}是同一集合。
22、零元是不可逆的。
23、一般的,把与 n 个个体相关联的谓词叫做一元谓词。
24、“我正在说谎。
”不是命题。
25、用 A 表示“是个大学生”,c 表示“张三”,则 A(c):
张三是个大学生。
26、设 F={<3,3>,<6,2>},则 F-1 ={<6,3>,<2,6>}。
27、欧拉图是有欧拉回路的图。
28、设 f:
A→B, g:
B→C。
若 f,g 都是单射,则 g◦f 也是单射。
三、计算题(每题 10 分,共 40 分)
1、设 A={c,d}, B={0,1,2},则 A×B={,,,,,},B×A=
{<0,c>,<0,d>,<1,c>,<1,d>,<2,c>,<2,d>}。
2、A = {a,b,c},B = {1,2},A×B = {a,b,c} ×{1,2} = {,,,,,}。
3、A = {a,b,c},A×A = {a,b,c} ×{a,b,c} =
{,,,,,,,,}。
4、符号化命题“如果 2 大于 3,则 2 大于 4。
”。
设 L(x,y):
x 大于 y, a:
2, b:
3, c:
4,则命题符号化为 L(a,b)→L(a,c)。
5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。
设 F(x):
x 是兔子。
G(x):
x 是乌龟。
H(x,y):
x 比 y 跑得快。
该命题符号化为:
¬∀x∀y(F(x)
∧G(y)→H(x,y))。
6、符号化命题“2 是素数且是偶数”。
设 F(x):
x 是素数。
G(x):
x 是偶数。
a:
2,则命题符号化为 F(a)∧G(a)。
7、设 A={a,b,c,d},R 是 A 的二元关系,定义为:
R={,,,,
,,, },写出 A 上二元关系 R 的关系矩阵。
解:
R 的关系矩阵为:
⎛1
ç1
ç1
⎝
ç1
1
0
1
1
0
0
0
1
0 ⎫
0 ⎪
0 ⎪
0 ⎪⎭
8、设 A={1,2,3,4},R 是 A 的二元关系,定义为:
R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<3,2>,
<3,1>,<4,3>,<4,2>, <4,1>},写出 A 上二元关系 R 的关系矩阵。
解:
R 的关系矩阵为:
⎛1
ç1
ç1
⎝
ç1
1
0
1
1
0
0
0
1
0 ⎫
0 ⎪
0 ⎪
0 ⎪⎭
9、设有向图 G 如下所示,求各个结点的出度、入度和度数。
deg(v1)=3,deg+(v1)=1,deg-(v1)=2;
deg(v2)=deg+(v4)=deg-(v2)=0;
deg(v3)=3,deg+(v3)=2,deg-(v3)=1;
deg(v4)=2,deg+(v4)=1,deg-(v4)=1;
10、设有向图 G 如下所示,求各个结点的出度、入度和度数。
答:
deg(v1)=3,deg+(v1)=2,deg-(v1)=1;
deg(v2)=3,deg+(v2)=2,deg-(v2)=1;
deg(v3)=5,deg+(v3)=2,deg-(v3)=3;
deg(v4)=deg+(v4)=deg-(v4)=0;
deg(v5)=1,deg+(v5)=0,deg-(v5)=1;
11、设无向图 G 如下所示,求它的邻接矩阵。
⎛ 0
ç
A(G) = ç
ç 0
ç
1 0 1 ⎫
⎪
1 0 1 ⎪
⎪
12、求命题公式┐(p∧┐q)的真值表。
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
┐q
1
0
1
0
p∧┐q
0
0
1
0
┐ (p∧┐q)
1
1
0
1
⎩ x - 3 y = 5
13、设<2x+y, 5>=<10, x-3y>,求 x,y。
解:
由定理列出如下方程组:
⎧2x + y = 10
⎨
求解得 x=5,y=0。
14、R1、R2 是从{1, 2, 3, 4, 5}到{2, 4, 6}的关系,若 R1={<1, 2>, <3, 4>, <5, 6>},R2={<1, 4>,
<2, 6>},计算 domR1,ranR1,fldR1,domR2,ranR2,fldR2。
解:
domR1={1, 3, 5},ranR1={2, 4, 6},fldR1=dom R1∪ran R1={1, 2, 3, 4, 5, 6};
domR2={1, 2},ranR2={4, 6},fldR2=dom R2∪ran R2={1, 2, 4, 6}。
15、例:
设 A={1, 2, 3, 4, 5},B={3, 4, 5}, C={1, 2, 3},A 到 B 的关系 R={|x+y=6},B
到 C 的关系 S={|y-z=2},求 R◦S。
解:
R={<1, 5>, <2, 4>, <3, 3>}, S={<3, 1>, <4, 2>, <5, 3>},从而 R◦S={<1, 3>, <2, 2>, <3, 1>}
或者因<1, 5>∈R,<5, 3>∈S,所以<1, 3>∈ R◦S;因<2, 4>∈R,<4, 2>∈S,所以<2, 2> ∈
R◦S;因<3, 3>∈R,<3, 1>∈S,所以<3, 1> ∈R◦S;从而 R◦S={<1, 3>, <2, 2>, <3, 1>}
S
16、集合 A={a, b, c},B={1, 2, 3, 4, 5},R 是 A 上的关系, 是 A 到 B 的关系。
R={, c>, , , },S={, , , , },求 R◦S,S–1◦R–1
R◦S={, , , , , , }
(R◦S)-1={<1, a>, <4, a>, <5, a>, <2, b>, <2, c>, <4, c>, <5, c>}
1
R–={, , , , },
S–1={<1, a>, <4, a>, <2, b>, <4, c>, <5, c>}
S–1◦R–1={<1, a>, <2, b>, <2, c>, <4, a>, <4, c>, <5, a>, <5, c>}。
17、A={1, 2, 3, 4, 5, 6},D 是整除关系,画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极
大元。
解:
4 6
5
2
3
1
1 是 A 的最小元,没有最大元,1 是极小元,4、5、6 都是 A 的极大元。
18、设集合 A={a,b,c},A 上的关系 R={, , },求 R 的自反、对称、传递闭包。
r(R)={,,,,}
s(R)={,,,,}
t(R)={,,,}
19、求下图中顶点 v0 与 v5 之间的最短路径。
v1
1
v02
7
5
v3
3
2
v5
4
v2
1
v4
6
解:
如下图所示 v0 与 v5 之间的最短路径为:
v0, v1, v2, v4 , v3, v5
最短路径值为 1+2+1+3+2=9
20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。
先根遍历:
ABDEHCFIJGK 中根遍历:
DBHEAIFJCGK后根遍历:
DHEBIJFKGCA
四、证明题(每题 10 分,共 20 分)
1、若 R 和 S 都是非空集 A 上的等价关系,证明 RS 是 A 上的等价关系。
证明:
∀ a∈A,因为 R 和 S 都是 A 上的等价关系,所以 xRx 且 xSx。
故 x R ⋂ S x。
从而 R ⋂ S
是自反的。
∀ a,b∈A,aR ⋂ Sb,即 aRb 且 aSb。
因为 R 和 S 都是 A 上的等价关系,所以 bRa 且 bSa。
故
b R ⋂ S a。
从而 R ⋂ S 是对称的。
∀ a,b,c∈A,a R ⋂ S b 且 b R ⋂ S c,即 aRb,aSb,bRc 且 bSc。
因为 R 和 S 都是 A 上的等价
关系,所以 aRc 且 aSc。
故 a R ⋂ S c。
从而 R ⋂ S 是传递的。
故 R ⋂ S 是 A 上的等价关系。
2、证明苏格拉底论证:
凡人要死。
苏格拉底是人,苏格拉底要死。
设:
H(x):
x 是人。
M(x):
x 是要死的。
s:
苏格拉底。
本题要证明:
(∀x)(H(x)→M(x))∧H(s)⇒M(s)
证明:
⑴ (∀x)(H(x)→M(x))
⑵ H(s)→M(s)
⑶ H(s)
⑷ M(s)
P
US⑴
P
⑵、⑶
3、P→Q,┐Q ∨ R,┐R,┐S ∨ P⇒┐S
证明:
(1)┐R前提
(2)┐Q ∨ R前提
(3)┐Q
(1),
(2)
(4)P→Q前提
(5)┐P(3),(4)
(6) ┐S ∨ P前提
(7)┐S(5),(6)
4、在群中,除单位元 e 外,不可能有别的幂等元。
因为 e∗e=e,所以 e 是幂等元。
设 a∈G 且 a∗a=a,则有 a=e∗a=(a –1 ∗a)∗a=a –1∗(a∗a)=a–1 ∗a=e,
即 a=e。
5、设 R 和 S 是二元关系,证明:
(R ⋂ S)-1=R-1 ⋂ S-1
证明:
.
所以.
6、证明:
((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R)) = (S∧(P→Q))→R.
证明:
左边:
((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R))
=(┐(Q∧S)∨R)∧(┐S∨(P∨R))
=(┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R)
=(┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R)
右边:
(S∧(P→Q))→R
= ┐(S∧(┐P∨Q))∨R
= (┐S∨(P∧┐Q))∨R
= (┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R)
所以 ((Q∧S) → R)∧(S→ (P∨R)) = (S∧(P→Q))→R.
7、设 I 是整数集合,k 是正整数,I 上的关系 R={|x, y ∈ I,且 x-y 可被 k 整除},
证明 R 是等价关系。
证