《函数的单调性一》教学设计docx.docx

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课例《函数的单调性

（一）》

抚顺十中郑世秋

一、教学设计与策略

（一）教学设计的指导思想及依据

函数的单调性是函数的重要性质之一，其探究过程中充分融合了“数形结合”、“分类讨论”、“从特殊到一般”的思想方法，指导学生合理运用数学语言科学表达客观规律,特别将运用集合语言尝试表述的要求贯彻始终.在内容中渗透了“用局部估计整体”的思想，为领会数学知识及思维方式的实用性、广泛性，培养学生的学以致用及创新意识，掌握数学的思想方法搭建有效平台.

（二）教学策略选择与设计

为引导学生充分体会研究函数的基本内容与方法，将函数自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起，突显利用构造直角三角形的方法解决问题，强化通性通法.设计中基于学生第一次用数学符号表示数学概念，注重强化“文字、图形、符号”三种语言准确表述与转换.通过利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性，实现对函数单调性概念的深层理解，明确“设元、作差、变形、判号、定论”的算法式论证过程.

（三）教学目标

1、知识与技能：

能从文字、图形与数值三方面解释说明增、减函数的概念及函数单调性的定义；初步学会利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法.

2、过程与方法：

结合生活实例及已学的特殊函数，通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法的运用；体会分类讨论思想及集合语言的运用，培养学生观察、归纳、抽象的能力；通过对函数单调性的应用，提高学生的推理论证能力.

3、情感、态度与价值观：

通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感受从具体到抽象，从特殊到一般，从局部到整体，从感性到理性的认知过程.

（四）教学内容

本节教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想，进而用推理证明猜想的思维体系.

（五）教学重点和难点

教学重点：

函数单调性的概念、判断及证明.

教学难点：

函数的单调性定义中对，，任意，，的理解和证明中准确运用符号进行推理论证.

（六）教学过程

1、创设情景、引入新课

通过大屏幕展示四季更迭,引入温度随时间变换的函数关系；并借助已有的函数知识，通过对实例图象性质的分析导入新课，以加深对增减性的“形”的理解.

设计意图：

通过多媒体的演示及对温度曲线图示的观察，借助学生已有知识基础及对形的认识来研究问题，使学生对所研究问题具有形的印象，并将分类讨论的思想融于实例中，为思维联系并转移到数的研究作好充分的准备.

2、初步探索、展示内涵

教师在设计中将问题层层递进，引导学生在探究中逐步经历知识点的自然呈现.

第一层：

归纳图象特征.

将定义的限定“在某区间上”与判断方法“图象法”的科学运用浅显化.

设计意图：

强化由图象观察增函数、减函数的方法，要从左至右进行观察.

第二层：

数学符号表示.

通过判断命题方式将定义中的关键词“区间”与“任意”明确，注重体现“增”的特点、用量变体现质变的方法、形成规律“同增异减”.

设计意图：

数形结合，扫清学生的思维障碍，更好地突破教学的难点，体验数学的简约美.

3、循序渐进、延伸拓展

仍采用分层深入的设计方式

第一层：

用教材中的例1强化图象法——从左至右.

设计意图：

从形的角度准确把握图象在判定函数的单调区间的运用.

第二层：

用教材上的例2归纳解题证明步骤——设元、作差、变形、断号、定论.

设计意图：

从学生熟悉的函数入手，学会借助图象和单调性定义两种方法对问题加以判断、推理论证，从交流、探索中尝试方法的有效性和通用性.

第三层：

题组训练

设计意图：

通过练习，反馈学生对新知识的理解程度，教师及时调控、讲评，帮助学生再次明确概念内涵，完善认知结构，科学使用数学符号表述.

4、归纳总结、内化知识

设计意图：

梳理知识体系，引导学生对所学的知识、思想方法、应用价值进行小结，提高学生的概括、归纳能力，使学生的认知结构更趋合理.

5、作业安排

分层布置作业，基础层次为课本作业，要求全体学生完成；提高层次要完成课外探究，要求中等以上水平的学生完成..

设计意图：

因材施教，通过分层作业使学生进一步巩固本节所学内容，为学有余力学生的充分发展提供机会，使其创造性得到进一步的发挥.

（七）教学媒介

基于学生的知识与思维基础，在教学中充分利用函数图像的直观性，发挥多媒体辅助教学的优势，将数形结合的思想方法贯穿于整个教学过程.

二、教学过程实录

（-）创设情境

师：

刚才通过大屏幕我们欣赏到了四季更迭的美景，应该说季节的变换让我们充分感受到自然界的美轮美奂，众所周知这种色彩的演变源于温度，今天就让我们从温度开始，进入今天的数学探索历程，让我们来看这样一个问题.

师：

呈现问题1：

2111（987654321

生：

从零时至3时温度下降，从3时至14时温度上升，从14时至24时温度下降,（同时演

示学生的表述）

师：

很好，在这位同学描述某时间段内温度变化趋势时，提到了两个关键词：

上升与下降.（升高、降低）

师：

在我们学过的具体函数中，有没有类似这样具有既上升又下降（升高、降低）或仅上升、仅下降的例子，谁能举出？

生：

一次函数的整体上是上升或是下降的,二次函数在对称轴左右的升降是相反的.

生：

反比例函数.

教师：

演示学生提出的实例，在生动活泼的氛围中，了解“上升与下降”图形特征.

师：

如此多（实例）熟知的函数，都具有这种特征，为了更好描述这种共性，教材用了两个字来形容，即“增、减”.若与函数相结合，我们就将这种具有“升高”或“降低”的特征函数，取名为“增函数”与“减函数”一统称函数的单调性.这就是我们这节要研究的主要内容，同时板书：

增函数、减函数及本节课题.

（二）初步探索、展示内涵

第一层：

归纳（图象特征）

师：

由刚才温度函数曲线，可迅速的观察出在某时间段上函数的“增、减”.若现在换个角度观察（向从右到左），能否说此时因函数图象呈上升趋势就在这个时间段上是增函数，呈下降趋势就在这个时间段内是减函数？

生：

不行.

师：

一旦改换观察方向结果就大相径延，为此，在这里我们以观察的方向作以统一规定，并板书：

函数单调性的判断方法：

1、图象法：

“从左至右”.

第二层：

数学符号表示

师：

有了这个规定，由图象观察增、减函数简单易行，但是受我们的视线等实际条件的约束，通过观察的方法判断函数的增、减性的科学性是不充分的，所以必须寻找一种更为严格、通用、可行的方法来刻划增、减函数，形难以完美体现的，数学中我们就用数来形容，今天我们就一同来尝试用数的方式来体现图形的增减，进而来定义增、减函数.

师：

如何将数与形联系在一起呢？

如何用数体现形的增、减，现在我们借助以下的问题作以分析，从中你会有什么发现？

师：

判断1、

尹j断：

1、因为当iv8vi【vz5■时，.

所以曲线在区间［O,24］上为增函奏t.

生：

错.

师：

为什么？

生：

在[3,14]±为增函数，1与15不在这个区间内.

师：

很好，所以我们在表述增减时必须指明在同一区间内才可以研究.（板书：

区间）

生：

错.

生：

对.（出现意见上的分歧，分组讨论，派代表发言、演示）

师：

生：

错.

师：

可以解释么？

（学生代表演示）

师：

如何形容[3,14]±为增函数更准确？

两点不行、多个有限点也不行？

那应该多少个点？

生：

任意点.

师：

哪上的任意点？

生：

区间上的任意点.（教师板书：

任意）

师：

如何实现任取？

由上取定点、定值是不可行了，必须取变点，需要取几个变点呢？

（引导学生舍弃具体问题的实际意义，抽象得到函数单调性定义，帮助学生完成思维的飞跃.）

生：

两点.

师：

如何实现任取?

看图象，为方便我们从呈增的函数图象中截取一段进行研究.

生：

函数在区间上任意两点y随x的增大而增大为增函数，函数在区间上任意两点y随x的增大而减小为减函数.（学生可借助已有的认知基础很容易答出这样的表述.在表述中让各组畅所欲言，在对比中寻出更合理科学的表达方式）

生：

函数在某区间上任意两点y随x的增大而增大；则函数在该区间上为增函数;函数在某区间上任意两点y随x的增大而减小；则函数在该区间上为减函数.

（老师将有代表性的几种定义方式用展示屏台演示）

师：

所有的定义方式都有哪些公共关键词？

生：

区间，任意，增大，减少

师：

现在我们以这里面公认最优的这一定义表述为基础，如何用数学符号来表达？

生：

对于函数f（x）的某个区间M上的任意两个自变量的值知s，

（1）当羽<了2时，都有f（*）

师：

1到1.5如何去形容它们间的增，反之如何形容它们的减?

（引入增量）

生：

作差比较，差为正值时为增，差为负值时为减.

师：

改变量定义：

Ax=%2-Xi,Ax表示自变量x的改变量；^y=f（X2）—f（xx）,颂表

示因变量y的改变量.（板书、动画演示改变量与增和减的关系）

师：

板书概念：

设函数y=f（x）的定义域为A,区间McA,如果取区间M中的

任意两个值知切，

1、当改变量Ax=x2-%!

〉0时，有△）=/（x2）-/（x1）>0,那么就称函数y=f（x）在区

间M上是增函数.

2、当改变量Ax=切-也>0时，有Av=/（x2）-/（%[）<0,那么就称函数y=/（x）在区

间M上是减函数.

3、单调性与单调区间

若函数,亍。

）在某个区间M上是增函数或减函数，则就说函数-3）在这一区间M上具有单调性，这一区间M叫做函数/（X）的单调区间.

师：

以上我们得到了关于增、减函数较为科学的定义，在定义中有哪些关键词,有何特征？

生：

小结：

“定义域、区间、任意”；“同号则增，异号则减”即“同增异减”.

（3）循序渐进、延伸拓展

师：

例1、如图,定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f（x）的图象，根据图象说出y=Rx）的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=/（x）是增函数还是减函数.

生：

函数y=f（x）的单调区间有[-5,-2）,[-2,1）,[1,3）,[3,5],其中y=f（x）在区间[-5,-2）,[1,3）上是减函数，在区间[-2,1）,[3,5]上是增函数.（小结判断函数单调区间的方法：

从左至右）

师：

例2、判断以下函数在定义域上的单调性，并加以证明.

（1）f（x）=3x+2；

（学生独立思考，交流讨论；教师巡视，并注意个别指导；通过实物投影仪，展

示学生解题过程，注意规范解题步骤.）

生：

解：

在R上为增函数；

证明：

设知了2是R上的任意两个实数，且了1<了2，设元

（或:

任取X],x2GR,且X]

则Ax=%[-x2>0,Ay=/（x2）—/（%[）=（3x2+2）-（3+2）作差

=3（x2—%；）,变形

由Ax>0.LAy>0判号

...f（x）=3x+2在R上是增函数.——定论

归纳解题证明步骤：

设元、作差、变形、断号、定论.

师：

（2）/（%）=?

生：

解：

在（-a）,0]±为减函数，（0,+8）上为增函数

（两组证明（-00,0],两组证明[0,+oo）,以竞争机制提高效率）

生：

证明：

①任取X],了26（0,+°°），且%!

<%2则笏=工2一了1〉0，

Ay=/（.X2）-f（*）=A-；-A-f=（,r2-X]）（心+X]）>o，

：

.f（x）=x2在区间（0,+8）上是增函数.

②任取X],x2G（-oo,0],且X]0,

△>=—■/（%）=对一对=（心-+a-J<0,

：

.f（x）=x2在区间（-8,0]上是增函数.

师：

你在证明中出现了哪些疑难？

同学是如何将你的疑难解决的么？

生：

（1）出现X22-X12如何去解释：

有理有据,不能评经验.

（2）单调区间的表示，不要写成范围,应写成区间.

师：

练习：

1、判断题：

1已知f（x）=1,因为f（-1）

（2）,所以函数y=f（%）为增函数.

2因为f（X）=-函数在区间（-00,0）和（0,+oo）上都是减函数，所以/（.r）=-L在

xx

（-°o,0）U（0,+oo）上是减函数.

③若函数f（x）在区间（1,2］和（2,3）上均为增函数，则函数f（x）在区间（1,3）上为增函数.

（学生独立思考、练习；教师巡视，对个别学生指导；学生做点评，教师完善）

生：

小结：

1、函数的单调性是定义在函数定义域的子区间上的性质，它是一个“局部”的概念；2、函数单调性的定义中，实际上含有两层意思：

①对于任意的由，x2eM,若Ax=%2-^1>0时，有Ay=/（%2）-/（%!

）>0,则称/（%）在M上是增函数②若f（x）在M上是增函数，则当利勺2时，就有/（xi）

师：

例3、（例2的变式，依据课堂实际教学情况作以选择）

（1）试判断函数f（x）=fcc+2（*尹0）的单调性；并判断f（l）与f

（2）的大小关系.

（2）将f（x）=U变式为一般的二次函数f（x）=a^+bx+c（a#0）试判断其单调性.

C3）将f（x）=-变式为一般的反比例函数/（x）=-（k>0）试判断其单调性.

XX

师：

练习2：

思考：

（1）引例中为沈阳市一季中一天的气温变化，哪一刻达到温度的峰值?

哪一刻达到温度的谷底？

（2）你能否依据这天的气温曲线，估测出当天零点之前温度是怎样的?

能否估测第二天凌晨之后温度的状况？

（3）联系生活中一支股票涨幅的波动情况，或水位的涨落，你又会有怎样的思考？

（4）归纳总结、内化知识

由学生自己总结，再由师生共同归纳完善.

生：

课堂总结：

1、知识点：

（1）定义；

（2）判断单调性的方法；（3）证明单调性的方法.

2、注意事项：

（1）定义中的关键词语；

（2）单调性内涵的理解.

3、思想方法：

4、实际应用：

（5）作业安排

1、教材46练习A：

4、5；教材52习题2—1：

5、6；教材54计算机上的练习.

2、课后思考题：

（1）设e［a,b］,若有

①/（^i）~/（^2）>0,则有f（x）在［a,。

］上是函数.

xx—x2

②/（.r,）-f（-r2）

力］上是函数.

x}-x2

（2）函数f（x）=x+Z在定义域上的单调性.

3、课堂延伸，课外探究

（1）若函数/3）是定义在（0,+oo）上的增函数，且/（%,）

（2）若函数/（x）=x2+2ax+3在（3,+oo）上单调递增，试讨论a的取值范围.

C3）（选做）试判断函数在（-1,1）上的单调性.

1—JT

三、教学反思

在教学设计之初充分研读了教材、课标，并深入了解了学生的情况.教学过程中，在学生原有认知和能力的基础上，通过创设生活情境，激活学生的问题意识，让学生从中感受数学就在身边，强化学生的感性认识.以图形、直观认识入手，通过层层置疑，引导学生动手、动口、动脑，展开提出问题、分析问题、解决问题的学习活动，引导学生积极讨论和交流，充分发挥学生的主体作用，培养学生的合作精神.例题选择更是依托具体函数，实现对单调性定义的理解与再认，初步构建解题模式，同时学生通过对练习及思考题的探究，消化新知、学会反思、学会总结，强化科学规范的表达，提高推理论证能力.作业的布置，学生通过自我独立思考、新知的运用，提高对知识的把握和运用数学思想方法的水平，也让教师从不同层面全面了解学生在认识过程中的体验与感悟.整堂课学生反应积极、主动，会通过函数图象来准确判断函数单调性；对定义的理解可抓住关键词语；证明过程算法化，可形成思维的模式，较好的达成了本节预期的教学目标.

诚然，本节课中还存在一些需探讨的问题，譬如学生探究活动的时间受教学内容制约较大，无法将更多同学的思想及表达方式一一体现；在多媒体的运用中，注重学生直观感知的同时，也要与传统的板书更好的紧密结合，形成彼此互补.

课例《函数单调性》点评

抚顺十中刘彦敏

一、对教学设计与教学策略的评析：

本课例从生活中常见的温度随时间的变化的关系这一学生具有切身感受的实例出发，结合学生的自主活动和思维发展过程，激发学生的自主活动和思维活动.沿着“问题提出——问题解决——数学表达”的轨迹，逐步揭示函数在区间上单调递增的本质,逐步完善了函数在区间上单调递增的概念，为数学地刻画函数的单调性铺平了道路，充分体现了学生在学习过程中的主体地位.

通过多媒体可使抽象函数形象化、动态化、可控化，让学生经历观察、探索、归纳等数学发现活动，体现数形结合的价值，直接参与函数单调性概念的建构，是教学媒体与数学内容的有效整合，而不只是代替板书.

二、课标要求与本课例对课标要求的把握与落实：

课例从观察现实情景到观察函数图像，对观察的目的性、持久性、精确性和概括性都提出了要求.课例查明了高一学生的原有知识结构，具有一定数量的具体函数储备.另外本课例教师为学生着想，站在学生的角度去思考，了解学生会有哪些障碍，运用巧妙的对策将它们逐一化解.

三、本课例的主要特点如下：

重视函数单调性的概念形成.

教材是通过三个特例y=2x,y=-2x,y=f+i,启发学生观察图像，发现函数的增减性，由此给出增函数减函数的定义，而本课例则对教材进行了开发，设计了四个阶段的概念形成过程.

第一阶段：

感性认识阶段

师生通过图像和数据分化各种属性，首先从几何图形上辨别找出共同属性.

第二阶段：

分化本质属性阶段.

舍弃非本质属性，从共同属性中抽象出本质属性.

第三阶段：

概括形成定义阶段.

根据从共同属性中抽象出来本质属性，给概念下定义.

第四阶段：

应用与强化阶段.

通过例题、练习对概念进行多角度、深层次的理解，巩固增减函数的概念，感悟概念的外延.

四、本课例的价值和启示：

本节课教学程序结构与思路科学合理，条理性、逻辑性强，对教材的理解深入、透彻，驾驭调控能力强，教学基本功过硬，课堂气氛活跃，创新意识强，有鲜明的教学特色，充分调动学生的积极性，很好地达到多元化的教学目标.

五、建议：

在多媒体的运用中，注重直观的同时，也要与传统的板书更好的紧密结合，形成彼此互补.