高考一轮复习 统计概率专题.docx

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高考一轮复习统计概率专题

2017高考一轮复习统计概率专题

一．解答题（共16小题）

1．（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：

（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．

2．（2016•天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．

（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．

3．（2016•河北区三模）集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．

（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；

（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．

4．（2016•唐山一模）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，

方案一：

每满200元减50元：

方案二：

每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：

（注：

所有小球仅颜色有区别）

红球个数

3

2

1

0

实际付款

半价

7折

8折

原价

（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；

（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算

5．（2016•武汉校级模拟）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．

（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数；

（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，

年级名次

是否近视

1～50

951～1000

近视

41

32

不近视

9

18

能否在犯错的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系

（3）在

（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．

附：

P（K2≥k）

k

．

6．（2016•海南校级模拟）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为k，当k≥85时，产品为一级品；当75≤k＜85时，产品为二级品；当70≤k＜75时，产品为三级品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

（以下均视频率为概率）

A配方的频数分布表B配方的频数分布表

指标值分组

[75，80）

[80，85）

[85，90）

[90，95）

指标值分组

[75，80）

[80，85）

[85，90）

[90，95）

[75，80）

频数

10

30

40

20

频数

5

10

15

40

30

（1）若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C的概率P（C）；

（2）若两种新产品的利润率与质量指标值k满足如下关系：

y=（其中＜t＜），从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大

7．（2016•兴庆区校级二模）袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．

（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；

（2）求甲取到白球的概率．

8．（2016•海口模拟）汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：

A型车

出租天数

1

2

3

4

5

6

7

车辆数

5

10

30

35

15

3

2

B型车

出租天数

1

2

3

4

5

6

7

车辆数

14

20

20

16

15

10

5

（I）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；

（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；

（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．

9．（2016•大连二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，如果比赛采用“五局三胜制”（先胜三局者获胜，比赛结束）．

（1）求甲获得比赛胜利的概率；

（2）设比赛结束时的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

10．（2016•泰安二模）某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：

分钟）进行调查，将收集到的数据分成[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图）．将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．

（1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“课外体育达标”与性别有关

课外体育不达标

课外体育达标

合计

男

60

______

______

女

______

______

110

合计

______

______

______

（2）现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取12人，再从这12名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育达标”的人数为ξ，求ξ得分布列和数学期望．

附参考公式与数据：

K2=

P（K2≥k0）

k0

11．（2016•辽宁校级模拟）语文成绩服从正态分布N（100，），数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于135的则认为特别优秀．

（1）这500名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人

（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，

从

（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有x人，求x的分布列和数学期望．（附公式及表）

若x～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜x≤μ+σ）=，P（μ﹣2σ＜x≤μ+2σ）=．

12．（2016•潮南区模拟）某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：

指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如表：

测试指标

[70，76）

[76，82）

[82，88）

[88，94）

[94，100]

芯片甲

8

12

40

32

8

芯片乙

7

18

40

29

6

（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；

（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，

（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；

（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．

13．（2016•石嘴山校级一模）在一次考试中，5名同学数学、物理成绩如表所示：

学生

A

B

C

D

E

数学（x分）

89

91

93

95

97

物理（y分）

87

89

89

92

93

（1）根据表中数据，求物理分y对数学分x的回归方程：

（2）要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．（附：

回归方程中，，）

14．（2016•重庆模拟）某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y（单位：

千元）与该地当日最低气温x（单位：

℃）的数据，如表：

x

2

5

8

9

11

y

12

10

8

8

7

（Ⅰ）求y关于x的回归方程=x+；

（Ⅱ）判定y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．

（Ⅲ）设该地1月份的日最低气温X～N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2，求P（＜X＜）

附：

①回归方程=x+中，=，=﹣b．

②≈，≈．若X～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜X＜μ+δ）=，P（μ﹣2δ＜X＜μ+2δ）=．

15．（2016春•抚州校级月考）西安世园会志愿者招骋正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为．

（1）乙、丙两人各自能被录用的概率；

（2）求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率．

16．（2016•东城区模拟）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为

ξ

1

2

3

4

5

P

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．

（Ⅰ）求事件A：

“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；

（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．

2017高考一轮复习统计概率专题

参考答案与试题解析

一．解答题（共16小题）

1．（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：

（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．

【分析】（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；

（II）由已知可得：

“星队”两轮得分之和为X可能为：

0，1，2，3，4，6，进而得到X的分布列和数学期望．

【解答】解：

（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，

故概率P=++=++=，

（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：

0，1，2，3，4，6，

则P（X=0）==，

P（X=1）=2×[+]=，

P（X=2）=+++=，

P（X=3）=2×=，

P（X=4）=2×[+]=

P（X=6）==

故X的分布列如下图所示：

X

0

1

2

3

4

6

P

∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．

2．（2016•天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．

（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．

【分析】

（1）选出的2人参加义工活动次数之和为4为事件A，求出选出的2人参加义工活动次数之和的所有结果，即可求解概率．则P（A）．

（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，由此能求出X的分布列和EX．

【解答】解：

（1）从10人中选出2人的选法共有=45种，

事件A：

参加次数的和为4，情况有：

①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2次；

共有+=15种，

∴事件A发生概率：

P==．

（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．

P（X=0）==

P（X=1）==，

P（X=2）==，

∴X的分布列为：

X

0

1

2

P

∴EX=0×+1×+2×=1．

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年的高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意古典概型的灵活运用．

3．（2016•河北区三模）集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．

（Ⅰ）求集成电路E需要维修的概率；

（Ⅱ）若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．

【分析】（Ⅰ）由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得3个元件都不能正常工作的概率P1的值，3个元件中的2个不能正常工作的概率P2的值，再把P1和P2相加，即得所求．

（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），求得P（X=100ξ）=P（ξ=k）的值，可得X的分布列，从而求得X的期望．

【解答】解：

（Ⅰ）三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=．

依题意，集成电路E需要维修有两种情形：

①3个元件都不能正常工作，概率为P1=P（）=P（）P（）P（）=××=．

②3个元件中的2个不能正常工作，概率为P2=P（A）+P（B）+P（C）

=++×=．

所以，集成电路E需要维修的概率为P1+P2=+=．

（Ⅱ）设ξ为维修集成电路的个数，则ξ服从B（2，），而X=100ξ，

P（X=100ξ）=P（ξ=k）=••，k=0，1，2．

X的分布列为：

X

0

100

200

P

∴EX=0×+100×+200×=．

【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量的分布列，属于中档题．

4．（2016•唐山一模）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，

方案一：

每满200元减50元：

方案二：

每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：

（注：

所有小球仅颜色有区别）

红球个数

3

2

1

0

实际付款

半价

7折

8折

原价

（Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；

（Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算

【分析】（Ⅰ）先求出顾客获得半价优惠的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率．

（Ⅱ）分别求出方案一和方案二和付款金额，由此能比较哪一种方案更划算．

【解答】解：

（Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件A，则P（A）==，

两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率：

P=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣）2=．…（5分）

（Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为320﹣50=270元．

若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取160，224，256，320．

P（X=160）=，

P（X=224）==，

P（X=256）==，

P（X=320）==，

则E（X）=160×+224×+256×+320×=240．

∵270＞240，

∴第二种方案比较划算．…（12分）

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．

5．（2016•武汉校级模拟）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．

（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数；

（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，

年级名次

是否近视

1～50

951～1000

近视

41

32

不近视

9

18

能否在犯错的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系

（3）在

（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．

附：

P（K2≥k）

k

．

【分析】

（1）设各组的频率为fi（i=1，2，3，4，5，6），由已知得后四组频数依次为27，24，21，18，由此能求出估计全年级视力在以下的人数．

（2）求出K2，由此能求出在犯错误的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系．

（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．

【解答】解：

（1）设各组的频率为fi（i=1，2，3，4，5，6），

由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，…（1分）

因为后四组的频数成等差数列，

所以后四组频数依次为27，24，21，18…（2分）

所以视力在以下的频率为：

=，

故全年级视力在以下的人数约为…（3分）

（2）

因此在犯错误的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系．…（6分）

（Ⅲ）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，…（7分）

，

，

，

，

∴X的分布列为：

X

0

1

2

3

P

…（11分）

X的数学期望…（12分）

【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型机随机变量概率分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用．

6．（2016•海南校级模拟）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为k，当k≥85时，产品为一级品；当75≤k＜85时，产品为二级品；当70≤k＜75时，产品为三级品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

（以下均视频率为概率）

A配方的频数分布表B配方的频数分布表

指标值分组

[75，80）

[80，85）

[85，90）

[90，95）

指标值分组

[75，80）

[80，85）

[85，90）

[90，95）

[75，80）

频数

10

30

40

20

频数

5

10

15

40

30

（1）若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C的概率P（C）；

（2）若两种新产品的利润率与质量指标值k满足如下关系：

y=（其中＜t＜），从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大

【分析】

（1）先求出P（抽中二级品）=，由此能求出事件C的概率P（C）．

（2）分别求出A的分布列，E（A）和B的分布列E（B），由此能求出从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大．

【解答】解：

（1）P（抽中二级品）=，P（没抽中二级品）=，

P（C）=1﹣（）3=．

（3）A的分布列为：

y

t

5t2

P

∴E（A）=+2t2

B的分布列为：

y

t

5t2

t2

P

∴E（B）=+

∵＜t＜，

∴E（A）﹣E（B）=t（t﹣）＞0，

∴E（A）较大，投资A．

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．

7．（2016•兴庆区校级二模）袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为．现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子．甲先摸，乙后取，然后甲再取，…，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止．每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示取棋子终止时所需的取棋子的次数．

（1）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；

（2）求甲取到白球的概率．

【分析】

（1）由已知先出白子个数，进而可得随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）；

（2）记事件A=“甲取到白球”，则事件A包括以下三个互斥事件：

A1=“甲第1次取球时取出白球”；A2=“甲第2次取球时取出白球”；A3=“甲第3次取球时取出白球”．利用互斥事件概率加法公式，可得：

甲取到白球的概率．

【解答】解：

设袋中白球共有x个，则依题意知：

=，即=，

即x2﹣x﹣6=0，解之得x=3，（x=﹣2舍去）．…（1分）

（1）袋中的7枚棋子3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，5．

P（x=1）==，

P（x=2）==，

P（x=3）==，

P（x=4）==，

P（x=5）==，…（5分）

（注：

此段（4分）的分配是每错1个扣（1分），错到4个即不得分．）

随机变量X的概率分布列为：

X

1

2

3

4

5

P

所以E（X）=