乘公交看奥运大学生数学模型.docx

乘公交看奥运大学生数学模型.docx

《乘公交看奥运大学生数学模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《乘公交看奥运大学生数学模型.docx（35页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

乘公交看奥运大学生数学模型

高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

B

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

重庆大学

参赛队员（打印并签名）：

1.

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

日期：

年月日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

摘要

本文建立了乘公交看奥运最佳线路的选择模型。

在仅就满足公众对乘车耗时最少和花费最低的两种需求，对三个情形：

⑴仅考虑公汽的单一线路，⑵同时考虑公汽与地铁两种线路，⑶兼顾步行公汽地铁三种线路，分别建立了任意两站点之间线路选择问题的数学模型，依托matlab软件编程给出相应的的算法。

并利用所建立的模型与算法，求出给定的6对起始站→终到站之间的最佳路线，并做出了清晰的评价说明。

最后，本文还对模型作出了进一步分析、评价和推广。

针对问题一中仅考虑乘坐公汽，我们在对问题分析的基础上，运用matlab软件编程并搜索，就乘客的耗时最少需求，建立了模型Ⅰ（耗时最少的线路选择模型），给出了相应的算法步骤及程序框图，并针对六组得到如下结果：

①S3359→S1828，换乘一次有两条线路，都经过了32个站点，所花费的时间均为101分钟；②S1557→S0481：

至少需换乘两次，线路有两条，也经过32个站点，耗时101分钟；③S0971→S0485：

换乘一次，通过41站，耗时128分钟；④S0008→S0073：

换乘一次，有14种不同线路，经过26站，耗时83分钟；⑤S0148→S0485：

至少需换乘两次，线路有6条，且都经过32个站点，耗时101分钟；⑥S0087→S3676：

换乘一次，经过20站，耗时65分钟。

同样，就乘客的费用最低需求，建立了模型Ⅱ（费用最低的线路选择模型），给出了相应的算法步骤，得到结果详见正文第12页至第13页。

针对问题二，同时考虑公汽与地铁两种线路，我们建立了模型Ⅲ（分步规划模型），通过设计算法步骤，再运用Matlab编程可求出以上完成，我们可求出以上六组点的结果，详见正文第15页至第18页。

针对问题三，兼顾步行公汽地铁三种线路，我们建立了模型Ⅳ（线路综合评价模型），第三题是在前面问题的基础上，加入了步行这一较为自主化的“交通工具”，使得原本的选择最优线路模型不再适用，于是我们这里建立了一个线路综合评价模型，通过分类讨论的方式，提供适合各种情况的线路选择方案，从而解决在三种交通工具并行时的路线选择问题。

本文最后还对这一自主查询系统进行了推广，将自主查询系统推广到手机彩信或短信，给出了系统结构设计和网络拓扑结构图；同时，将这一自主查询系统应用到旅游线路选择上，并绘制了旅游线路选择系统结构图。

关键词：

线路选择；换乘；分步规划；自主查询系统；Matlab

§1、问题的重述

一、问题背景

1、看奥运要出行

2008年8月8日至8月24日，我国人民翘首企盼的第29届奥运会将在北京举行，届时将会有大量观众从不同地点到达比赛现场去观看奥运盛况，其中大部分人将会乘坐公共交通工具（简称公交，包括公汽、地铁等）出行。

2、乘公交需择线

这些年来，随着科技进步、政府投资及市政部门对城市道路的不断完善，我国城市的公交系统有了很大发展，作为我国首都——北京市，它的公交线路已多达800条以上，这使得广大市民的出行更加通畅、便利。

但是，同时也因线路的众多，为广大市民的出行带来一个新的问题，乘车从一个地方到另一个地方，如果都在同一条公交线路上，市民则不存在选择；如果需要换乘，特别是二次以上的换乘，市民则面临着多种选择，可分别从选最短线路、花最少时间、用最少换乘、节省票价等各个方面进行决策，以实现出行任务的完成。

3、做系统先建模

针对市场需求，某公司准备研制开发一个解决公交线路选择问题的自主查询计算机系统。

为了设计这样一个系统，其核心是线路选择的模型与算法，应该从实际情况出发考虑，满足查询者的各种不同需求。

二、有关数据

1、基本参数设定

⑴相邻公汽站平均行驶时间（包括停站时间）：

3分钟；

⑵相邻地铁站平均行驶时间（包括停站时间）：

2.5分钟；

⑶公汽换乘公汽平均耗时：

5分钟（其中步行时间2分钟）；

⑷地铁换乘地铁平均耗时：

4分钟（其中步行时间2分钟）；

⑸地铁换乘公汽平均耗时：

7分钟（其中步行时间4分钟）；

⑹公汽换乘地铁平均耗时：

6分钟（其中步行时间4分钟）；

⑺公汽票价：

分为单一票价与分段计价两种，标记于线路后；其中分段计价的票价为：

0～20站：

1元；21～40站：

2元；40站以上：

3元；

⑻地铁票价：

3元（无论地铁线路间是否换乘）。

注：

以上参数均为简化问题而作的假设，未必与实际数据完全吻合。

2、公交线路及相关信息（详见附件2中文本文档1、1.1、1.2及2、2.1、2.2）。

三、问题提出

1、问题一：

⑴仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法。

⑵并根据附录数据，利用你们的模型与算法，求出以下6对起始站→终到站之间的最佳路线（要有清晰的评价说明）。

①S3359→S1828；②S1557→S0481；③S0971→S0485；

④S0008→S0073；⑤S0148→S0485；⑥S0087→S3676。

2、问题二：

同时考虑公汽与地铁线路，解决问题一中两个问题。

3、问题三：

假设又知道所有站点之间的步行时间，请你给出任意两站点之间线路选择问题的数学模型。

§2、问题的分析

一、问题的总体分析与相关量的明确

1、问题的总体分析

乘公交看奥运公交线路选择问题涉及到数百条公汽线路与两条地铁公交线路、数千个公汽站点与几十个地铁站点、三类不同乘车票价信息、上行下行单行环形四种车行方向等多个因素，且出行查询者的通常需求分别有选最短线路、花最少时间、用最少换乘以及用最低票价，当然这些需求在小城市道路比较单一时可能是相一致的，但对拥有众多车辆及线路且道路如网的首都北京而言，这些需求则不尽然。

故问题这是一类多因素多数据计算机查询信息处理及多目标决策问题，核心是算法。

2、几个重要的量

为了便于解决问题，下面我们先明确问题涉及到的几个重要相关量。

运用相关的统计方法，从竞赛B题所给的压缩文本文档中，我们不难得到以下几个量的准确信息：

⑴公交线路：

520条公汽线路，编号：

L001~L520；两条地铁线路T1与T2。

⑵公交站点：

3957个公汽站点，编号：

S0001~S3957；

 39个地铁站点，编号：

D01~D39。

⑶公汽线路与站点：

文本文档1.1具体地给出了520条公汽线路编号，票价信息，车行线信息（详见2007年竞赛B题压缩文本文档1.1）。

⑷地铁线路与站点：

文本文档1.2具体地给出了北京地铁线路T1与T2，我们通过上网搜索[1]很易获取相关的地铁图片（图1）与北京地铁T1、T2线路图（图2）。

结合文档1.2所给北京地铁线路T1与T2的信息，我们不难发现，地铁T1的23个站与地铁T2的16个站相吻合，且图2中的复兴门为D12与建国门为D18是可以换乘的两个站。

图1 地铁图片                   图2 北京地铁T1、T2线路图

二、对具体问题的分析

1、对问题一的分析

⑴问题：

仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法。

并根据附录数据，利用所给出的模型与算法，求出6对起始站→终到站之间的最佳路线，且要有清晰的评价说明。

⑵分析：

要寻找两站之间的最佳公交线路，就是要满足不同乘客乘坐公交的一定要求，比如选最短线路、花最少时间、用最少换乘或花最低票价等等。

为了简化对问题的解决，我们不妨假定求最佳路线，仅在乘车耗时最少、花费最低两种条件下确定最佳公交线路。

对于在同一线路上的任意两个站点，若通过两个站点的线路仅一条（如图3左），显然这一条也就是最佳路线；若通过两个站点的线路有两条及两条以上的线路，按基本参数设定⑴知，最佳路线是中间站点数最少的线路，如图3右图中蓝色的直线即最佳路线。

图3 两站间通过的线路仅一条与两站间通过的线路有两条线路图

对于不在任何一条公交线路上的两个站点，即没有直达的公交线路，则要考虑换乘，若通过起始站的所有线路和通过终到站的所有线路有且仅有一个公共站点，如图4左可知，则相交站点的线路ACB即为最佳路线；若通过起始站的所有线路和通过终到站的所有线路多于一个公共站点，如图4右C站和D站均为换乘站点，显然同样换乘次数时换乘线路所经过的站数较少的ACB线要优于ADB，从而ACB线为最佳路线。

同样换乘次数时多于两条换乘线的，则换乘线路所经过站数最少的为最佳路线。

图4 两站间换乘一次线路仅有一条与换乘一次线路有两条线以上的线路图

如果对进行一次换乘不能完成出行任务的，我们要进行两次换行计划。

类似上述的分析，我们可以得到两次的换乘情形下的最佳路线。

显然这要比前两类情形复杂得多，但运用计算机进行编程一般是可以实现的。

如果对进行两次换乘仍不能完成出行任务的，我们要进行三次或三次以上的换乘。

但考虑到换乘三次及三次以上研究的技术处理和实际操作太复杂且实际意义不大，故在最初建模时可不予考虑，在对建模进行改进时，可酌情考虑。

当然，对于基于最低价格的最佳模型求解，除了要考虑以上的分析外，我们还要考虑各类票价信息。

首先我们要搜索出所有需要分段计价的公汽线路，然后根据题目中的分段计价要求建立一个价格矩阵，再由前述换乘法求出的结果进行价格计算，看是否满足价格最小的条件，对不满足的利用排序求出最小价格，并得到相对应的线路信息。

2、对问题二的分析

⑴问题：

同时考虑公汽与地铁线路时，解决问题一的建模、算法和6条最佳路线。

⑵分析：

问题二是在问题一只有公共汽车单一交通工具的基础上，通过引入地铁这一交通工具，使得转乘不仅仅是公汽转公汽，还包括公汽转地铁，地铁转地铁，地铁转公汽，使得转乘问题复杂化。

为了得到用时最少的线路，我们可考虑建立了分步规划模型进行求解，将总用时最少这一规划问题，分成在每次搭乘都用时最少的分布规划问题。

从而在综合考虑公汽与地铁的情况下确定了最佳线路。

3、对问题三的分析

⑴问题：

假设又知道所有站点之间的步行时间，请你给出任意两站点之间线路选择问题的数学模型。

⑵分析：

第三题是在前面两个问题的基础上，加入了步行这一较为自主化的“交通工具”，使得原本的选择最优线路模型不再使用，于是我们这里建立了一个线路综合评价模型，通过分类讨论的方式，提供适合各种情况的线路选择方案，从而解决在三种交通工具并行时的路线选择问题。

§3、模型的假设

1、为便于研究问题，规定每条线路起点站的位标为1，从起点站至终点站的其余各站的位标依次为2、3