人教版七年级数学培优班暑期讲义.docx
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人教版七年级数学培优班暑期讲义
七年级数学培优班
暑期讲义
第一章有理数
§1有理数的相关概念
整数和分数统称为有理数有理数又可分为正有理数0和负有理数
规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴在数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大正数都大于零负数都小于零正数大于负数
只有符号不同的两个数称互为相反数例如和互为相反数即是的相反数是的相反数
在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值记作例如在数轴上表示的点与原点的距离是5所以的绝对值是5记作一个正数的绝对值是它本身零的绝对值是零一个负数的绝对值是它的相反数
这些基本概念以及它们的性质是初中数学中常考的内容必须牢固掌握
例1最低气温为那么这天的最高气温比最低气温高
A4B8C12D16
例2下列说法正确的是
A一个有理数不是整数就是分数
B正整数和负整数统称整数
C正整数负整数正分数负分数统称有理数
D0不是有理数
例3．数在数轴上的位置如图下列判断正确的是
AB
CD
例4说出下列各数的相反数
16－300001
例5如图若数轴上的绝对值是的绝对值的3倍则数轴的原点在点填ABC或D
1．有如下四个命题①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数③两个符号相反的分数之间至少有一个整数④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数其中真命题的个数为
A1B2C3D4
2下列说服中正确的是
A正整数和负整数统称为整数
B正数和负数统称为有理数
C整数和分数统称为有理数
D自然数和负数统称为有理数
以下四个判断中不正确的是
A在数轴上关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数
B两个有理数互为相反数则他们在数轴上对应的两个点关于原点对称
C两个有理数不等则他们的绝对值不等
D两个有理数的绝对值不等则这两个有理数不等
A一切有理数的倒数还是有理数
B一切正有理数的相反数必是负有理数
C一切有理数的绝对值必是正有理数
D一切有理数的平方是正有理数
5在数轴上点A对应的数是－2006点B对应的数是＋17则AB两点的距离是
A1989B1999C7>2013D2023
6如图所示圆的周长为4个单位长度在圆的4等分点处标上数字0123先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数－1所对应的点重合再让数轴按逆时针方向绕在该圆上那么数轴上的数－2006将与圆周上的数字重合
下列说法中错误的是
A所有的有理数都可以用数轴上的点表示B数轴上原点表示数0C数轴上点表示从点出发沿数轴上移动2个单位长度到达点则点表示D在数轴上表示和的两点之间的距离是5下列说法正确的是
A有最大的整数B有最小的负数
C有最大的正数D有最小的正整数如果n是大于1的偶数那么n一定小于它的
A相反数B倒数C绝对值D平方Ifwehaveanda6Othenthepointsinrealnumberaxisgivenbyaandbcanberepresentedas
英汉词典point点．realnumberaxis实数轴．represent表示．3有理数abc大小关系如图则下列式子中一定成立的是
Aabc0Bcab
Ca-cacDb-cc-a
4如果abc0且abc则下列说法中可能成立的是
Aab是正数c0Bac是正数b0
Cbc是正数a0Dac是负数b0
如果那么下列不等式中成立的是
ABCD
6为有理数下列说法中正确的是
A为正数B为负数
C为正数D为正数
若ab0cd则以下四个结论中正确的是
Aabcd一定是正数．Bdc-a-b可能是负数．
Cd-c-b-a一定是正数．Dc-d-b-a一定是正数．
已知和互为相反数求的值
若与互为相反数到原点的距离为3求的值
已知求的值
其中均为整数且的数是有理数
这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数
3有理数可以用数轴上的点表示
4零是正数和负数的分界点零不是正数也不是负数
5如果两个数的和为0则称这两个数互为相反数如果两个数的积为1则称这两个数互为倒数
6有理数的运算法则
1加法两数相加同号的取原来的符号并把绝对值相加异号的取绝对值较大的加数的符号并用较大的绝对值减去较小的绝对值绝对值相等时和为0一个数与0相加仍得这个数
2减法减去一个数等于加上这个数的相反数
3乘法两数相乘同号得正异号得负并把绝对值相乘一个数与0相乘积为0
乘方求个相同因数的积的运算称为乘方记为
4除法除以一个数等于乘以这个数的倒数
整数的运算律对有理数的运算也适合
二例题与练习
例1____________
例2____________
实践练习
2计算
例3用简便方法计算__________
例4_________
实践练习__________
2计算
________
3计算________
例5若则是
A正数B非正数C负数D非负数
例6若是自然数并且有理数满足则必有
AB
CD
实践练习等于它的倒数有理数等于它的相反数则等于
A0B1C－1D2
练习三
1计算________
2计算_________
3计算
4______
5的值的整数部分是_______
6设是最小的自然数是最大负整数是绝对值最小的有理数则___
7数轴上对应是整数的点称为整点某数轴的单位长度是1厘米若在这个数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段则线段盖住的整点有______个
8电子跳蚤落在数轴上的某点第一步从向左跳1个单位到第二步从向右跳2个单位到第三步从向左跳3个单位到第四步从向右跳4个单位到按以上规律跳了100步时电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是2008则电子跳蚤的初始位置点所表示的数是多少
§3 有理数的巧算
知识要点
和分数统称为有理数有理数通常可以表示成分数的形式这里都是整数且
有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念法则的基础上能根据法则公式等正确迅速地进行运算．不仅如此还要善于根据题目条件将推理与计算相结合灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题从而提高运算能力发展思维的敏捷性与灵活性．四则运算对有理数是封闭的即任意两个有理数相加相减相乘相除除数不能为0其结果还是有理数有理数可以比较大小任意两个有理数之间都有无穷多个有理数
有理数计算中常用到的一些等式如下
123
45
6
例1计算
实践练习
1
2
3
例2计算计算实践练习
1计算
2－＋－＋－
3
例3计算
实践练习
1计算
2计算
3
练习四
1计算
2计算
3计算1－＋－＋－
4计算
5计算
计算计算再减去余下的再减去余下的依此类推一直减去余下的那么最后剩下的数是多少
第 2abc3b24－5ab25y6－xy27－5
2单项式系数和次数
单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的说出下列四个单项式a2h2πrabc－m的系数和次数
例1判断下列各代数式是否是单项式如不是请说明理由如是请指出它的系数和次数
①x＋1②③πr2④－a2b
例2下面各题的判断是否正确
①－7xy2的系数是7②－x2y3与x3没有系数③－ab3c2的次数是0＋3＋2
④－a3的系数是－1⑤－32x2y3的次数是7⑥πr2h的系数是
注意
①圆周率π是常数
②当一个单项式的系数是1或－1时1通常省略不写如x2－a2b等
§2．多项式
1．列代数式
1长方形的长与宽分别为ab则长方形的周长是
2某班有男生x人女生21人则这个班共有学生人_______
3图中阴影部分的面积为_________
4鸡兔同笼鸡a只兔b只则共有头个脚只
2．观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别
12a＋b221＋x3a＋b42a＋4b
几个单项式的和叫做多项式polynomial在多项式中每个单项式叫做多项式的项term其中不含字母的项叫做常数项constantterm例如多项式有三项它们是－2x5其中5是常数项
一个多项式含有几项就叫几项式多项式里次数最高项的次数就是这个多项式的次数例如多项式是一个二次三项式
单项式与多项式统称整式integralexpression
注意
1多项式的次数不是所有项的次数之和多项式的次数为最高次项的次数
2多项式的每一项都包括它前面的符号
例1判断
①多项式a3－a2ｂ＋ab2－b3的项为a3a2ｂab2b3次数为12
②多项式3n4－2n2＋1的次数为4常数项为1
例2指出下列多项式的项和次数
13x－1＋3x224x3＋2x－2y2
例3指出下列多项式是几次几项式
1x3－x＋12x3－2x2y2＋3y2
例4已知代数式3xn－m－1x＋1是关于x的三次二项式求mn的条件
课堂练习
①填空－a2b－ab＋1是次项式其中三次项系数是二次项为常数项为写出所有的项
②已知代数式2x2－mnx2＋y2是关于字母xy的三次三项式求mn的条件
§3．多项式的升降幂排列
请运用加法交换律任意交换多项式x2＋x＋1中各项的位置可以得到几种不同的排列方式在众多的排列方式中你认为那几种比较整齐
1．升幂排列与降幂排列
有两种排列x的指数是逐渐变大或变小的我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列
例如把多项式5x2＋3x－2x3－1按x的指数从大到小的顺序排列可以写成－2x3＋5x2＋3x－1这叫做这个多项式按字母x的降幂排列
若按x的指数从小到大的顺序排列则写成－1＋3x＋5x2－2x3这叫做这个多项式按字母x的升幂排列
例1五个学生上前自己选一张卡片根据老师要求排成一列并把排列正确的式子写下来
例如
按x降幂排列
例2把多项式2πr－1＋3πr3－π2r2按r升幂排列
例3把多项式a3－b3－3a2b＋3ab2重新排列
1按a升幂排列2按a降幂排列
想一想
观察上面两个排列从字母b的角度看它们又有何特点
例4把多项式－1＋2πx2－x－x3y用适当的方式排列
例5把多项式x4－y4＋3x3y－2xy2－5x2y3用适当的方式排列
1按字母x的升幂排列得
2按字母y的升幂排列得
小结
对一个多项式进行排列这样的写法除了美观之外还会为今后的计算带来方便在排列时我们要注意
1重新排列多项式时每一项一定要连同它的符号一起移动原首项省略的＋号交换到后面时要添上
2含有两个或两个以上字母的多项式常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列
§4同类项
创设问题情境
⑴5个人8个人
⑵5只羊8只羊
⑶5个人8只羊
观察下列各单项式把你认为相同类型的式子归为一类
8x2y－mn25a－x2y7mn29a－004mn22xy2
我们常常把具有相同特征的事物归为一类8x2y与－x2y可以归为一类2xy2与－可以归为一类－mn27mn2与04mn2可以归为一类5a与9a可以归为一类还有0与也可以归为一类8x2y与－x2y只有系数不同各自所含的字母都是xy并且x的指数都是2y的指数都是1同样地2xy2与－也只有系数不同各自所含的字母都是xy并且x的指数都是1y的指数都是2
像这样所含字母相同并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项similarterms另外所有的常数项都是同类项比如前面提到的0与也是同类项
例1判断下列说法是否正确正确地在括号内打√错误的打×
13x与3mx是同类项22ab与－5ab是同类项
33x2y与－yx2是同类项45ab2与－2ab2c是同类项
523与32是同类项
例2指出下列多项式中的同类项
13x－2y＋1＋3y－2x－523x2y－2xy2＋xy2－yx2
例3k取何值时3xky与－x2y是同类项
例4若把s＋ts－t分别看作一个整体指出下面式子中的同类项
1s＋t－s－t－＋
22s－t＋2－5s－t－2＋s－t
课堂练习
1请写出2ab2c3的一个同类项．你能写出多少个它本身是自己的同类项吗若2amb2m3n与a2n－3b8的和仍是一个单项式则m与n的值分别是______
为了搞好班会活动李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品他们首先购买了15本软面抄和20支水笔经过预算发现这么多奖品不够用然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔问
①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔
②若设软面抄的单价为每本x元水笔的单价为每支y元则这次活动他们支出的总金额是多少元
可根据购买的时间次序列出代数式也可根据购买物品的种类列出代数式再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起将它们合并起来化简整个多项式所的结果都为21x＋25y元
由此可得把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项
合并同类项的法则
把同类项的系数相加所得的结果作为系数字母和字母指数保持不变
例1找出多项式3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5种的同类项并合并同类项
例2下列各题合并同类项的结果对不对若不对请改正
12x2＋3x25x423x＋2y5xy37x2－3x2449a2b－9ba20
例3合并下列多项式中的同类项
12a2b－3a2b＋05a2b2a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3
35x＋y3－2x－y4－2x＋y3＋y－x4
例4求多项式3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1的值其中x－3
试一试把x＝－3直接代入例4这个多项式可以求出它的值吗与上面的解法比较一下哪个解法更简便
例1．化简下列各式
8a2b5a－b25a－3b－3a2－2b．
2计算5xy2－[3xy2－4xy2－2x2y]2x2y－xy2．[5xy2]
小结
去括号是代数式变形中的一种常用方法去括号时特别是括号前面是－号时括号连同括号前面的－号去掉括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为－变＋不变要变全都变．当括号前带有数字因数时这个数字要乘以括号内的每一项切勿漏乘某些项．
学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则并能根据法则进行去括号运算去括号法则顺口溜去括号看符号是号不变号是―号全变号
x2―7x―2与―2x24x―1的差
练习一个多项式加上―5x2―4x―3与―x2―3x求这个多项式
例2计算―2y33xy2―x2y―2xy2―y3
例3化简求值2x3―xyz―2x3―y3xyzxyz―2y3其中x1y2z―3
复习题
1找出下列代数式中的单项式多项式和整式4xyx2x0m―201×105
2指出下列单项式的系数次数abx2xy5
3指出多项式a3a2b―ab2b3―1是几次几项式最高次项常数项各是什么4化简并将结果按x的降幂排列
12x45x2―4x1―3x3―5x2―3x2―〔―x〕x―13―3x2―2xyy22x2―xy―2y2
5化简求值5ab―2〔3ab4ab2ab〕5ab2其中ab
6一个多项式加上2x34x2y5y3后得x3x2y3y3求这个多项式并求当xy时这个多项式的值的两个多项式与的次数相同求的值
第三章一元一次方程
§1一元一次方程
1定义
方程含有未知数的等式称为方程
一元一次方程方程中只含一个未知数元并且未知数的指数是1次未知数的系数不等于0这样的方程叫做一元一次方程如
解解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值这个值就是方程的解
2等式的性质
性质1等式两边加或减同一个不为0的数结果仍相等
如果那么
性质2等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数结果仍相等
如果那么如果那么
3同解方程和方程的同解原理
1如果方程Ⅰ的解都是方程Ⅱ解并且方程Ⅱ的解也都是方程Ⅰ的解那么这两个方程是同解方程
2方程同解原理Ⅰ方程两边同时加上或减去同一个数或同一个整式所得的方程与原方程是同解方程
方程同解原理Ⅱ方程两边同时乘以或除以同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程
方程同解原理Ⅲ方程与或是同解方程
4解一元一次方程的一般步骤
1去分母2去括号3移项4合并同类项化为最简形式5方程两边同除以未知数的系数
解一元一次方程没有固定的步骤去分母与去括号要因题而异灵活掌握但是不管采取什么顺序都要保证正确地运用各种运算法则以及同解原理使得到的方程与原方程同解
5一元一次方程的解由的值确定
1当时方程有唯一的解
2当时方程的解可为任意的有理数
3当且时方程无解
例1利用等式的性质解一元一次方程
1234
例2检验下列各数是不是方程的解
123
实践练习
1解方程123
2解方程
列简易方程解决问题
例3根据下列条件列方程
1的5倍比的2倍大122某数的比它的相反数小5
实践练习
1根据下列问题列出方程不必求解
1把若干本书发给学生如果每人发4本还剩下2本如果每人发5本还差5本问共有多少学生
2某班50名学生准备集体去看电影电影票中有15元的和2元的买电影票共花88元问这两种电影票应各买多少
练习一
1解方程12
2假设关于的方程有无穷多个解求的值
3若关于的方程的解是2求的值
4若关于的方程的解是4求的值
5某地电话拨号上网有两种收费方式用户可以任选其一
1计时制005元分
2包月制50元月
此外每一种上网方式都得加收通信费002元分问用户每月上网多少小时这两种收费方式所收费用一样请列出方程
6小李去商店买练习本回来后告诉同学店主跟我说如果多买一些就给我8折优惠我就买了20本结果总共便宜了160元你猜原来每本价格是多少你能列出方程吗
例4某大型商场三个季度共销售DVD2800台第一个季度销售量是第二个季度的2倍第三个季度销售量是第一个季度的2倍第一个季度这家商场销售DVD多少台
例5某校高中一年级434名师生外出春游已有3辆校车可乘坐84人还需租用50座的客车多少辆
实践练习
1某工厂八月十五中秋节给工人发苹果如果每人分两箱则剩余20箱如果每人分3箱则还缺20箱这个工厂有工人多少人
2据某《城市晚报》报道20XX年2月16日中国著名篮球明星姚明与麦当劳公司正式签约姚明作为麦当劳的形象代言人三年共获酬金1400万美元若后一年的酬金是前一年的两倍并且不考虑税金那么姚明第一年应得酬金为多少万美元
例6男女生有若干人男生与女生数之比为43后来走了12名女生这时男生人数恰好是女生的2倍求原来的男生和女生人数
实践练习
1已知求的值
2一个三位数的三个数字和是15十位数字是百位数字的2倍个位数字比十位数字的2倍还多1求这个三位数
例7甲乙两人骑自行车同时从相距45千米的两地相向而行2小时相遇甲比乙每小时多走25千米求甲乙每小时各走多少千米
实践练习
1一轮船在AB两港口之间航行顺水航行用3小时逆水航行比顺水航行多用30分钟轮船在静水中的速度是36千米小时问水流的速度是多少
例8宋宋班上有40位同学他想在生日时请客因此到超市花了175元买果冻和巧克力共40个若果冻每20个15元巧克力每30个10元求他买了多少个果冻
实践练习
1一个人用540卢布买了两种布料共138俄尺其中蓝布料每俄尺3卢布黑布料每俄尺5卢布两种布料各买了多少俄尺
2某单位开展植树活动由一人植树要80小时完成现由一部分人先植树5小时由于单位有紧急事情再增加2人且必须在4小时之内完成植树任务这些人的工作效率相同那么先安排了多少人植树
练习二
1甲乙两站间的距离为365千米一列慢车从甲站开往乙站每小时行驶65千米慢车行驶1小时后另有一列快车从乙站开往甲站每小时行驶85千米快车行驶了几小时后与慢车相遇
2某种商品因换季准备打折出售如果按定价的七五折出售将赔25元而按定价的九折出售将赚20元问这种商品的定价是多少
3聪聪到希望书店帮同学们买书售货员主动告诉他如果用20元钱办希望书店会员卡将享受八折优惠请问在这次买书中聪聪在什么情况下办会员卡与不办会员卡一样当聪聪买标价共计200元的书时怎么做合算办会员卡还是不办会员卡
4有一列数为147它的第个数是多少在这列数中取出三个连续数其和为48问这三个数分别是多少
5若是关于的方程的解解关于的方程
6当取什么整数时关于的方程的解是正整数
7某制衣厂接受一批服装订货任务按计划天数进行生产如果每天平均生产20套服装就比订货任务少生产100套如果每天生产23套衣服就可以超过订货任务20套问这批服装的订货任务是多少套原计划多少天完成
8这里有一杯水第一次倒出一半后又倒出10毫升第二次倒出剩下的一半后又倒出10毫升这时杯子空了问杯子里原来有多少毫升水
§2一元一次方程复习
代数方程在初中代数中占有很重要的地位而一元一次方程是代数方程中最基础的部分高次方程及方程组往往化为一元一次方程组来求解因此掌握好这部分内容有助于我们学习一些复杂的方程234
56是常数7
89
______________________是方程____________________是一元一次方程
例21已知是一元一次方程则_______________
2已知是一元一次方程则_______________
3若关于的方程是一元一次方程则________________________________
思考1已知是关于的一元一次方程则_______________
思考2在关于的方程中解的情况当________时方程有唯一解当________时方程无解当________________时方程有无数个解
例3已知则代数式______________
思考3下列说法正确的是____________
1如果那么2如果那么
3如果那么4如果那么
二解一元一次方程
去括号→去分母→移项→合并同类项→系数化1
例4解下列一元一次方程
1
23
45
6
例5有四个数其中三个数之和分别为求此四个数
例6已知则__________
例7若关于的方程的解是整数则___________________
1解方程
解方程
解方程
解关于的方程
解关于的方程
解关于的方程
已知关于的方程有无数多个解试求的值
已知关于的方程有无数多个解试求的值
已知方程有两个不同的解试求的值
的方程的根是求的值
11已知关于的方程的解是求的值
12若关于的方程的解为正整数求的值
13关于的方程和是同解方程求的值
14已知关于的方程和是同解方程求的值
15已知关于的方程仅有正整数解并且和关于的方程是同解方程若求出这个方程可能的解
161解方程2解方程解方程解方程解关于的方程解关于的方程已知关于的方程无解试求的值关于的方程分别求当为何值时方程1有唯一解2有无数多个解3无解是关于的方程的解解关于的方程
20当取什么整数时关于的方程的解是正整数
2
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