山东科技大学概率论卓相来岳嵘第六章习题解答.docx
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山东科技大学概率论卓相来岳嵘第六章习题解答
山东科技大学概率论卓相来岳蝶第六章习题解答
习题六
1.设总体X〜N（,6），从中抽取容量为25的一个样
本，求样本方差s2小于9.1的概率.
解X〜N（,6）,由（n1）S2〜2（n1）,于是
2（n1）S22519.122
PS29.1Pp22436.41p22436,
66
10.050.95.
2.设X1,X2丄，X10是取自正态总体N（0,0.32）的样本，试求
10
PXj21.44
i1'
n2
解：
由—〜2（n）,于是
10
3.设总体X〜N（a,4）,X1，X2,，Xn是取自总体X的一个
样本,X为样本均值，试问样本容量n分别为多大时
才能使以下各式成立，
一2一一
1EXa0.1;2EXa0.1;3P{Xa1}0.95.
解
（1）因为X〜N（a,》,所以X4a〜N（0,1）,从而h
因为X4a
X2
所以
0.975,而
1.96
=0.975，从而
1.96,
n15.37,故n16.
e2dx
解
（1）〜N0,1
n1S2
2
4.已知总体x〜N（10,2）,为未知，X!
X2,X3,X4总体X的一个样本，XS2分别为样本均值和样本方差
X10
—22X102
P{
X10}PWT1汽n1°95,
0.025,n4,3.1824,S1.92,
S
5.为了估计总体均值,抽取足够大的样本,以95%的概率使样本均值偏离总体均值不超过总体标准差的25%，试求样本容量.
PXu0.25
Xu
.n
、、n
4
Xu
P0.25
5
4
解
6.从总体X〜n^22）中抽取容量为5的样本
X「X2，,X5,试求
（1）样本的极小值小于10的概率;
（2）样本的极大值大于15的概率.
解
（1）
PminX「X2丄，X§101Pmin丄，X§10
5
1PXi10
i1
5
1110.5785.
i1
PXi12
1012
2
PmaxX1,X2,L,X5
PXi12
1512
2
151PmaxX1,X2,L,X515
5
5
11.510.93320.2923.
i1
7.从两个正态总体中分别抽取容量为25和20
的两个独立样本，算得样本方差依次为S262.7,S225.6,
若两总体方差相等,求随机抽取的两个样本的样
本方差之比S大于空的概率是多少?
S2^25.6
22
gS〜Fn1,n21F24,19，所以P第P|皿25
12/2
8.设X1,X2,,Xn是总体X~N（,2）的一个样本,样本方差
S2七"（Xi
n1i1
c4
X）2,证明D（S2）=
n1
2
证因为丄竽~"n1）,而
D（2（n1））2（n1）,
224
所以D（S2）D—r2（n
n1（n1）
9.设X1,x;分别是取自正态总体
1）
N（,2）的容量均为n的相互独立的两个样本的样本均值，试确定得两个样本均值之差超过的概率大于0.01
22
解X；〜N（u,—）,元〜N（u,—）,X1<2〜N（O,1）,
nn
",使
PX1X2
XiX2
P——F=
2
XiX2
2
；O.01,
；0.995,
；2.575,n13.
10.设总体X~（）,X„X2,,Xn为总体X的一个样本.X,S2分别为样本均值和样本方差，试求
（1）
⑵
解
（X1,X2,L,Xn
E（X）,D（X）,E（S2）
的分布律;
PXi
Xi
丄XnXn
（2）EXi
所以EX1ni
ES2E丄
n
PXi
i1
DXi
n
Xi
i1n
e
X
X!
x2!
Lxn!
1,2,L,n
PXi
Xi
EXi,DX
1
""2
n1i
Xi2X
n1
DXi1,
1n
1n
E—X；
n1i1
—2
nX
—Ex2nX2
n1i1
的样本,如要求其
11.从总体N（3.4,62）中抽取容量为
样本均值位于区间（1.4,5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？
36X3.4
X〜N（3.4,）,〜N（0,1）,
n6丁n
PX_3.4p
33
12.设样本观察值X1,X2,,Xn的平均值为X,样本方
差为S；,作变换y
X）2,由s2
由定理2得冷
（Xi
i1
X）2得Y
n
4%
n1i1
2
n1S2
2〜n1,
n1S2,
得yi,y2，,yn的样本平均值为y,样本方差为Syy，试证xacy,S2C2S；.
故当cX时，
n
（X
i1
c）2达到最小.
的定义知
（X1X2）2（X3X4X5）2〜22
23'
11
b，自由度m2m1.
23
16.设总体X服从标准正态分布，X1,X2,•…，
Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试问统
计量
5
G1）Xi2
Y—,n>5
„2
服从何种分布？
5n
解:
12Xi2~2（5）,2Xi2~X2（n5）,且2与2相互独
立.所以
Y21/55~F（5,n5）.
2/n5
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