三角函数ysinx的图象与性质.docx
《三角函数ysinx的图象与性质.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《三角函数ysinx的图象与性质.docx(37页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
三角函数ysinx的图象与性质
.
三角函数的图象与性质
函数y=sinxy=cosxy=tanx
图象
{x|x∈R,且x≠
定义域
R
R
π
k∈Z
kπ+,
2
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
2π-
π
,2
k
π+
π
为
k
2
2
[2
k
π,2π+π]为减;
单调性
π
3π
k
kπ-
π
,kπ+
π为增
增;2π+
,2π+
2
2
k
k
[2
k
π-π,2
π]为增
2
2
k
为减
对称中心
(kπ,0)
π
kπ
kπ+,0
,0
2
2
对称轴
π
x=kπ
无
x=kπ+
2
与三角函数有关的定义域和值域问题
【例1】?
(1)函数y=sin
x-cos
x的定义域为________.
f
x
π
3π
(2)函数
(
)=2cos
(sin
-cos
)+1在∈
,
上的最大值为________,最小值为________.
x
x
x
x
8
4
解析
(1)sin
x-cos
x=2sin
x-π
≥0,
4
所以定义域为
x2k
π
5π
.
π+≤x≤2kπ+
4
,k∈Z
4
(2)f(x)=2cos
xsin
2
2x-
π
x-2cosx+1=sin2x-cos2x=2sin
4
,
π
3π
π
5π
π
2
∵x∈8,4
,∴2x-4
∈0,4
,∴sin2x-4
∈-2,1
,
故f(x)max=2,f(x)min=-1.
答案
(1)
x
2
kπ+
π
≤x
≤2kπ+
5π
,k∈Z
(2)2
-1
4
4
1
【训练1】
(1)
函数y=tan
x-1的定义域为________;
(2)当x∈
π
,
7π时,函数y=3-sinx-2cos2x的最小值为________,最大值为________.
6
6
解析
(1)
由题意知:
tanx≠1,即x
π
,
x≠+kπ,k∈Z
4
..
.
又x
π
k∈Z
,
x≠+kπ,
2
故函数的定义域为:
x
π
π
+kπ,k∈Z
.
x≠
+kπ且x≠
4
2
(2)
=3-sin
-2cos
2
=3-sin
-2(1-sin
2
)=2sin
2
-sin
+1=2sin
-
1
2
7
y
x
x
x
x
x
x
+.
x
4
8
又x∈
π
7π
,∴sin
x∈
1
6
,
6
-,1,
2
∴当sin
1
7
;当sin
x
1
ymax=2.
x=时,ymin=
8
=-时,
4
2
答案
(1)
x
x≠
π
+kπ且x≠
π
+kπ,k∈Z
(2)
7
2
4
2
8
三角函数的单调性
sin
-cos
x
sin2
x
【例2】?
(2012·北京)已知函数f(x)=
x
.
sin
x
(1)求f(x)的定义域及最小正周期;
(2)求f(x)的单调递增区间.
解
(1)
由sin
x
≠0,得
≠π(∈Z),故
f
(
)的定义域为{
∈R|
x
≠
π,
k
∈Z},
x
kk
x
x
k
因为f(x)=
sin
x-cos
x
sin2
x=2cos
x(sinx-cos
x)=sin2
x-cos2x-1=2sin
2x-
π
4
sin
x
-1,
所以
f
(
x
)的最小正周期
=
2π=π.
T
2
(2)函数y=sin
x的单调递增区间为
2kπ-
π
,2kπ+
π
(k∈Z).
2
2
由2
k
π-π≤2-
π≤2π+π,
x
≠
π(∈Z),得
k
π-
π≤
≤π+3π,
≠
π(∈Z).
2
x
4
k
2
k
k
8
x
k
8
x
k
k
所以f(x)的单调递增区间为
kπ-
π
,kπ
和kπ,kπ+
3π
(k∈Z).
8
8
【训练2】求下列函数的单调递增区间:
π
;
(2)
y=3sin
π
-x.
(1)y=cos2x+
6
3
2
解
(1)
将2x+
π
看做一个整体,根据
y=cosx的单调递增区间列不等式求解.函数
y=cosx的单调
6
递增区间为[2
k
π-π,2
π],
k
∈Z.由2
k
π-π≤2
+π
≤2π,
k
∈Z,得
k
π-
7π
≤
≤π-π
,
k
x
6
k
12
x
k
12
k∈Z.
故
y
=cos
2+
π
的单调递增区间为
k
π-
7π
,
k
π-
π(
k
∈Z).
x
6
12
12
(2)
y
=3sin
π
-
x
=-3sin
x
π
π
+2
x
π
≤2
k
3π
,得4π+
5π
≤4π+
-
,∴由
π≤-
π+
≤
3
2
2
3
2
k
2
3
2
k
3
x
k
..
.
11π
3,k∈Z.
故y=3sin
π
-x
的单调递增区间为
4π+
5π
,4π+11π
3
2
k
3
k
3(k∈Z).三角函数的奇偶性、周期性
及对称性
π
2+
π
+
【例3】?
(1)若0<
<
,(
)=sin
是偶函数,则
的值为________.
α
x
α
α
2
gx
4
(2)函数y=2sin(3
x+φ)
π
的一条对称轴为
π
|φ|<
x=
,则φ=________.
2
12
解析
(1)
要使g(x)=sin
2x+
π
+α=kπ+π,α=kπ+
π
,k∈Z,∵
+α为偶函数,则需π
4
4
2
4
ππ
0<α<2,∴α=4.
π
(2)由y=sinx的对称轴为x=kπ+2(k∈Z),
π
π
π
π
π
即3×12+φ=kπ+2(k∈Z),得φ=kπ+4(k∈Z),又|φ|<2,∴k=0,故φ=4.
π
π
答案
(1)
4
(2)
4
函数
f
(
x
)=sin(
+
)(
≠0),
(1)函数
f
(
x
)为奇函数的充要条件为
φ
=
π(∈Z);
A
ωxφω
k
k
为偶函数的充要条件为
φ
=
π+
π(
∈Z).
(2)求
f
()=sin(
+
)(
ω
≠0)的对称轴,只需令
ωx
k
2
k
x
A
ωxφ
π
+φ=2+kπ(k∈Z),求x;如要求f(x)的对称中心的横坐标,只需令
ωx+φ=kπ(k∈Z)即可.
【训练3】(2013·银川联考)已知函数f(x)=sin
3π
(x∈R),下面结论错误的是(
).
2x+
2
A.函数f(x)的最小正周期为π
B
.函数f(x)是偶函数
C.函数
(
)的图象关于直线
π
D
.函数
(
)在区间
π
上是增函数
f
=
对称
f
x
0,
x
x
4
2
解析f(