高考数学一轮复习必备第八章 圆锥曲线方程圆锥曲线的应用1.docx
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高考数学一轮复习必备第八章圆锥曲线方程圆锥曲线的应用1
高考数学一轮复习必备（第68课时）：
第八章圆锥曲线方程-圆锥曲线的应用
（1）
高考数学一轮复习必备（第68课时）：
第八章圆锥曲线方程-圆锥曲线的应用
（1）
一、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
1．（5分）点P是双曲线
上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右两焦点，∠F1PF2=90°，则|PF1|•|PF2|等于（ ）
A．
48
B．
32
C．
16
D．
24
2．（5分）双曲线x2﹣y2=1的左焦点为F，P为双曲线在第三象限内的任一点，则直线PF的斜率的取值范围是（ ）
A．
k≤0或k＞1
B．
k＜0或k＞1
C．
k≤﹣1或k≥1
D．
k＜﹣1或k＞1
3．（5分）AB为过椭圆
（a＞b＞0）中心的弦，F（c，0）是椭圆的右焦点，则△ABF面积的最大值是（ ）
A．
bc
B．
ac
C．
ab
D．
b2
4．（5分）若抛物线y=x2+m与椭圆
有四个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．
m＞﹣2
B．
C．
﹣2＜m＜﹣1
D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
5．（4分）椭圆中a，c是关于x的方程x2﹣2ax+3ac=0中的参数，已知该方程无解，则其离心率的取值范围为 _________ ．
6．（4分）已知P（x，y）是椭圆
（a＞b＞0）上的动点，F1，F2是焦点，则|PF1|•|PF2|的取值范围是 _________ ．
7．（4分）抛物线y2=4x上的点P到直线l：
y=x+10的距离最小，则点P坐标是 _________ ．
8．（4分）椭圆
的短轴为B1B2，点M是椭圆上除B1，B2外的任意一点，直线MB1，MB2在x轴上的截距分别为x1，x2，则x1•x2= _________ ．
9．（4分）已知椭圆长轴、短轴及焦距之和为8，则长半轴长的最小值是 _________ ．
10．（4分）已知a，b，c分别是双曲线的实半轴、虚半轴和半焦距，若方程ax2+bx+c=0无实数根，则此双曲线的离心率e的取值范围是 _________ ．
三、解答题（共6小题，满分0分）
11．过抛物线y2=4x（a＞0）的焦点F，作相互垂直的两条焦点弦AB和CD，求|AB|+|CD|的最小值．
12．已知椭圆的焦点F1（﹣3，0）、F2（3，0），且与直线x﹣y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程．
13．直线y=kx+1与双曲线x2﹣y2=1的左支交于A，B两点，直线l经过点（﹣2，0）及AB中点，求直线l在y轴上截距b的取值范围．
14．由椭圆
（a＞b＞0）的顶点B（0，﹣b）引弦BP，求BP长的最大值．
15．过点M（0，4）且斜率为﹣1的直线l交抛物线y2=2px（p＞0）于A，B两点，若AO⊥BO，求抛物线方程．
16．已知椭圆的两个焦点分别是
，离心率
．
（1）求椭圆的方程；
（2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN中点的横坐标为
，求直线l的倾斜角的范围．
高考数学一轮复习必备（第68课时）：
第八章圆锥曲线方程-圆锥曲线的应用
（1）
参考答案与试题解析
一、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
1．（5分）点P是双曲线
上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右两焦点，∠F1PF2=90°，则|PF1|•|PF2|等于（ ）
A．
48
B．
32
C．
16
D．
24
考点：
双曲线的简单性质；双曲线的应用．730977
专题：
计算题．
分析：
依题意可知a2=4，b2=12，进而求得c，求得F1F2，令PF1=p，PF2=q，由勾股定理得p2+q2=|F1F2|2，求得p2+q2的值，由双曲线定义：
|p﹣q|=2a两边平方，把p2+q2代入即可求得pq即|PF1|•|PF2|的值．
解答：
解：
依题意可知a2=4，b2=12
所以c2=16
F1F2=2c=8
令PF1=p，PF2=q
由双曲线定义：
|p﹣q|=2a=4
平方得：
p2﹣2pq+q2=16
∠F1PF2=90°，由勾股定理得：
p2+q2=|F1F2|2=64
所以pq=24
即|PF1|•|PF2|=24
故选D．
点评：
本题主要考查了双曲线的性质．要利用好双曲线的定义．
2．（5分）双曲线x2﹣y2=1的左焦点为F，P为双曲线在第三象限内的任一点，则直线PF的斜率的取值范围是（ ）
A．
k≤0或k＞1
B．
k＜0或k＞1
C．
k≤﹣1或k≥1
D．
k＜﹣1或k＞1
考点：
直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的应用．730977
专题：
计算题．
分析：
先根据双曲线方程求得一渐近线的斜率，进而看当点P向双曲线右下方无限移动时，确定倾斜角的范围，求得k的范围；再看点P逐渐靠近顶点时，倾斜角逐渐增大求得求得倾斜角的范围，求得k的范围，最后综合可得答案．
解答：
解：
依题意可知双曲线的渐近线倾斜角为45°，
1．当点P向双曲线右下方无限移动时，直线PF逐渐与渐近线平行，但是永不平行，所以倾斜角大于45°，∴直线PF的斜率k＞1
2．当点P逐渐靠近顶点时，倾斜角逐渐增大，但是小于180°∴所以直线PF的斜率k＜0
综合得k＜0或k＞1
故选B
点评：
本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．适合用数形结合的方法来解决．
3．（5分）AB为过椭圆
（a＞b＞0）中心的弦，F（c，0）是椭圆的右焦点，则△ABF面积的最大值是（ ）
A．
bc
B．
ac
C．
ab
D．
b2
考点：
椭圆的简单性质．730977
专题：
计算题．
分析：
△ABF面积等于△AOF和△BOF的面积之和，△AOF和△BOF的面积相等，A到x轴的距离h应最大，又h的最大值为b，从而得到△ABF面积的最大值．
解答：
解：
△ABF面积等于△AOF和△BOF的面积之和，
设A到x轴的距离为h，由AB为过椭圆中心的弦，则B到x轴的距离也为h，
∴△AOF和△BOF的面积相等，故：
△ABF面积等于
×c×2h=ch，又h的最大值为b，
∴△ABF面积的最大值是bc，
故选A．
点评：
本题考查椭圆的简单性质，用分割法求△ABF的面积，利用△AOF和△BOF是同底等高的两个三角形．
4．（5分）若抛物线y=x2+m与椭圆
有四个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．
m＞﹣2
B．
C．
﹣2＜m＜﹣1
D．
考点：
直线与圆锥曲线的综合问题．730977
专题：
计算题．
分析：
根据题意，抛物线y=x2+m的开口方向向上，顶点坐标为（0，m），作出两个曲线的图象，由图象判断出参数m所满足的条件
解答：
解：
根据题意，抛物线y=x2+m与椭圆
有四个不同的交点，
则有
解得﹣2＜m＜﹣1
故选C．
点评：
本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
5．（4分）椭圆中a，c是关于x的方程x2﹣2ax+3ac=0中的参数，已知该方程无解，则其离心率的取值范围为 （
，1） ．
考点：
椭圆的简单性质．730977
专题：
计算题．
分析：
先据题意知△=4a2﹣12ac＜0，不等式两边同除以4ac得
，进而可解得e的范围．
解答：
解：
△=4a2﹣12ac＜0，
∵a＞0，c＞0∴不等式两边同除以4ac得，
即
0，解得e＞
又e＜1
∴e的范围是（
，1）
故答案为：
（
，1）
点评：
本题主要考查了椭圆的性质．属基础题．
6．（4分）已知P（x，y）是椭圆
（a＞b＞0）上的动点，F1，F2是焦点，则|PF1|•|PF2|的取值范围是 [b2，a2] ．
考点：
椭圆的简单性质．730977
分析：
先根据椭圆的定义得到|PF1|+|PF2|=2a，然后用|PF1|表示出|PF2|后代入到|PF1|•|PF2|中，最后根据二次函数的图象和性质可确定答案．
解答：
解：
由题意可知|PF1|+|PF2|=2a
∴|PF2|=2a﹣|PF1|（a﹣c≤|PF1|≤a+c）
∴|PF1|•|PF2|=|PF1|（2a﹣|PF1|）=﹣|PF1|2+2a|PF1|=﹣（|PF1|﹣a）2+a2∵a﹣c≤|PF1|≤a+c
∴|PF1|•|PF2|=﹣（|PF1|﹣a）2+a2∈[b2，a2]
故答案为：
[b2，a2]
点评：
本题主要考查椭圆的定义，即椭圆上点到两焦点的距离的和等于2a．
7．（4分）抛物线y2=4x上的点P到直线l：
y=x+10的距离最小，则点P坐标是 （1，2） ．
考点：
抛物线的应用；两点间距离公式的应用．730977
专题：
计算题．
分析：
先设直线y=x+t是抛物线的切线，最小距离是两直线之间的距离，于抛物线方程联立消去y，再根据判别式等于0求得t，代入方程求得x，进而求得y，答案可得．
解答：
解：
设直线y=x+t是抛物线的切线，最小距离是两直线之间的距离，
代入化简得x2+（2t﹣4）x+t2=0
由△=0得t=1
代入方程得x=1，y=1+1=2
∴P为（1，2）
故答案为（1，2）
点评：
本题主要考查抛物线的应用和抛物线与直线的关系．考查了学生综合分析和解决问题的能力．
8．（4分）椭圆
的短轴为B1B2，点M是椭圆上除B1，B2外的任意一点，直线MB1，MB2在x轴上的截距分别为x1，x2，则x1•x2= 4 ．
考点：
椭圆的应用．730977
专题：
计算题．
分析：
解法一：
运用特值法，取M为椭圆右顶点（2，0），则x1=2，x2=2，由此可求出x1•x2的值．
解法二：
设M（2cosθ，sinθ），直线B1M的方程为：
，令y=0，得
，直线B2M的方程为：
，令y=0，得
，由此可求出x1•x2的值．
解答：
解法一：
取M为椭圆右顶点（2，0），则x1=2，x2=2，∴x1•x2=4．
解法二：
由椭圆
得
，θ为参数，设M（2cosθ，sinθ），
直线B1M的方程为：
，令y=0，得
，
直线B2M的方程为：
，令y=0，得
，
∴x1•x2=
．
答案：
4．
点评：
特值法是求解选择题和填空题的有效方法．
9．（4分）已知椭圆长轴、短轴及焦距之和为8，则长半轴长的最小值是
．
考点：
椭圆的简单性质．730977
专题：
计算题．
分析：
设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2b+2c=8，整理后两边平方根据均值不等式可得（4﹣a）2≤2a2，进而求得a的范围．
解答：
解：
设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2b+2c=8，即a+b+c=4
∴（b+c）2=（4﹣a）2≤2（b2+c2）=2a2，即可得等式
（4﹣a）2≤2a2，即a2+8a﹣16≥0
解之得a≤﹣4﹣4
（舍）或a≥4
﹣4
故a的最小值为4
﹣4
故答案为：
4
﹣4
点评：
本题主要考查了椭圆性质．属基础题．
10．（4分）已知a，b，c分别是双曲线的实半轴、虚半轴和半焦距，若方程ax2+bx+c=0无实数根，则此双曲线的离心率e的取值范围是
．
考点：
双曲线的简单性质；双曲线的应用．730977
专题：
计算题．
分析：
由方程ax2+bx+c=0无实数根可知b2﹣4ac＜0，再根据双曲线的性质推导此双曲线的离心率e的取值范围．
解答：
解：
由题意可知b2﹣4ac＜0，
∵b2=c2﹣a2，∴c2﹣a2﹣4ac＜0，
∴e2﹣4e﹣1＜0，
解得
．
∵e＞1，∴
．
故双曲线的离心率e的取值范围是（1，2+
）．
答案：
（1，2+
）．
点评：
本题主要考查双曲线的简单性质，解题时要注意双曲线的离心率大于1．
三、解答题（共6小题，满分0分）
11．过抛物线y2=4x（a＞0）的焦点F，作相互垂直的两条焦点弦AB和CD，求|AB|+|CD|的最小值．
考点：
抛物线的应用．730977
专题：
计算题．
分析：
根据抛物线方程求得焦点坐标，设直线AB方程为y=k（x﹣a），则CD方程可得，分别代入抛物线方程，根据抛物线定义可知|AB|=xA+xB+p，|CD|=xC+xD+p进而可求得|AB|+|CD|的表达式，根据均值不等式求得|AB|+|CD|的最小值为16a．
解答：
解：
抛物线的焦点F坐标为（a，0），设直线AB方程为y=k（x﹣a），
则CD方程为
，
分别代入y2=4x得：
k2x2﹣（2ak2+4a）x+k2a2=0及
，
∵
，|CD|=xC+xD+p=2a+4ak2+2a，
∴
，当且仅当k2=1时取等号，
所以，|AB|+|CD|的最小值为16a．
点评：
本题主要考查了抛物线的应用．涉及了直线与抛物线的关系及抛物线的定义．
12．已知椭圆的焦点F1（﹣3，0）、F2（3，0），且与直线x﹣y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程．
考点：
椭圆的标准方程．730977
分析：
先设椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，再根据该方程组有解即可求出a的最小值，则问题解决．
解答：
解：
设椭圆方程为
（a2＞9），
由
得（2a2﹣9）x2+18a2x+90a2﹣a4=0，
由题意，a有解，∴△=（18a2）2﹣4（2a2﹣9）（90a2﹣a4）≥0，
∴a4﹣54a2+405≥0，∴a2≥45或a2≤9（舍），
∴a2min=45，此时椭圆方程是
．
点评：
本题主要考查由代数方法解决直线与椭圆交点问题．
13．直线y=kx+1与双曲线x2﹣y2=1的左支交于A，B两点，直线l经过点（﹣2，0）及AB中点，求直线l在y轴上截距b的取值范围．
考点：
直线与圆锥曲线的综合问题．730977
专题：
计算题．
分析：
直线与双曲线方程联立消去y，设A（x1，y1）、B（x2，y2），进而根据判别大于0及x1和x2的范围求得k的范围，表示出AB中点的坐标，进而表示出直线l的方程，令x=0求得b关于k的表达式，根据k的范围求得b的范围．
解答：
解：
由
得（1﹣k2）x2﹣2kx﹣2=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），
则
，
AB中点为
，
∴l方程为
，令x=0，
得
，
∵
，
∴
，
所以，b的范围是
．
点评：
本题主要考查了直线与圆锥曲线综合问题．用k表示b的过程即是建立目标函数的过程，本题要注意k的取值范围．
14．由椭圆
（a＞b＞0）的顶点B（0，﹣b）引弦BP，求BP长的最大值．
考点：
椭圆的应用．730977
专题：
计算题．
分析：
设椭圆
（a＞b＞0）在x轴上的顶点分别为E（﹣a，0）、F（a，0），结合图形可知BP长的最大值是BE和BF的长，用两点间距离公式能够推导出BP长的最大值．
解答：
解：
设椭圆
（a＞b＞0），
在x轴上的顶点分别为E（﹣a，0）、F（a，0），
结合图形可知BP长的最大值是BE和BF的长，其最大值为|BE|=
．
答案：
．
点评：
本题考查椭圆的性质，作出图形数形结合事半功倍．
15．过点M（0，4）且斜率为﹣1的直线l交抛物线y2=2px（p＞0）于A，B两点，若AO⊥BO，求抛物线方程．
考点：
抛物线的简单性质．730977
专题：
计算题．
分析：
根据题意可求得直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可表示出x1x2和x1+x2，进而利用直线方程表示出y1y2，进而根据AO⊥BO，推断出x1x2+y1y2=0，则p的值可得，进而求得抛物线的方程．
解答：
解：
依题意可求得直线l的方程为y+x﹣4，
代入抛物线方程得x2﹣（8+2p）x+16=0，
由韦达定理得x1x2=16，x1+x2=2p+8
∴y1y2=（﹣x1+4）（﹣x2+4）=﹣8p．
∵AO⊥BO，
∴x1x2+y1y2=0，
∴p=2，
∴抛物线C为：
y2=4x．
点评：
本题主要考查了抛物线的简单性质．直线与圆锥曲线的综合问题．考查了基本的分析问题的能力和基础的运算能力．
16．已知椭圆的两个焦点分别是
，离心率
．
（1）求椭圆的方程；
（2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN中点的横坐标为
，求直线l的倾斜角的范围．
考点：
直线与圆锥曲线的关系．730977
专题：
计算题；综合题；转化思想．
分析：
（1）根据焦距，求得a和b的关系，利用离心率求得a和b的另一公式联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
（2）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立消去y，利用判别式大于0大于k和b的不等式关系，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，根据MN的中点的横坐标求得k和b的关系，进而求得b的范围，分别看b≥3和b≤﹣3两种情况，求得k的范围，则直线的倾斜角的范围可得．
解答：
解：
（1）依题意可知
求得a=3，b=1
∴椭圆的方程为：
=1
（2）直线l不与坐标轴平行，设为y=kx+b（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）
联立方程：
则（9+k2）x2+2kbx+b2﹣9=0
△=（2kb）2﹣4（9+k2）（b2﹣9）＞0，k2﹣b2+9＞0
x1+x2=﹣
，x1x2=
MN的中点的横坐标=
（x1+x2）=﹣
所以x1+x2=﹣1
所以9+k2=2kb＞b2
（k﹣b）2=b2﹣9≥0，b2≥9
b≥3或b≤﹣3
b（b﹣2k）＜0
所以b≥3＞0时，b﹣2k＜0，k＞
≥
b≤﹣3＜0时，b﹣2k＞0，k＜
≤﹣
所以k的取值范围为（﹣∞，﹣
）∪（
，+∞）
直线l的倾斜角的取值范围为：
（arctan
，
）∪（
，π﹣arctan
）
点评：
本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：
一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系．
参与本试卷答题和审题的老师有：
zlzhan；wsj1012；zhwsd；wzj123；caoqz（排名不分先后）
菁优网
2013年1月3日
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