整理微分方程的例题分析与解法.docx
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整理微分方程的例题分析与解法
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微分方程的例题分析及解法
本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。
一、常微分方程的概念
本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基
本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。
二、一阶常微分方程的解法
本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：
变量可分离型，齐次型，线性方程。
对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；
对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，
再用常数变易法求解
非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：
pxdx
q（x）e
pxdx
ye
dxC
齐次型微分方程
y
yf（）
y
x
令u
u与自变量x的变量可分离的微分方程。
，则方程化为关于未知数
x
三、二阶微分方程的解法
1．特殊类型的二阶常微分方程
本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：
（1）y
f（x），直接积分；
（2）y
f（x,y），令y
p，
（3）y
f（y,y），令y
p，则y
dpp
dy
这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。
2．二阶线性常系数微分方程
二阶线性常系数微分方程求解的关键是：
（1）特征方程
对于相应的齐次方程，利用特征方程
2
pq0
求通解：
（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点
f（x）
exPm（x）
和
f（x）e
ax
Pl
（
~
x
x）cosxpn（x）sin
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设置特解y的形式，然后使用待定系数法。
四、微分方程的应用
求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。
一、疑难解析
（一）一阶微分方程
1．关于可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如
f1（x）g1（y）dxf2（x）g2（y）dy0
（1）
的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若
f2（x）g1（y）0，则方程
（1）可化为变量已分离的方程
g2
（y）dy
f1
（x）dx
g1
（y）
f2
（x）
两端积分，即得
（1）的通解：
G（y）F（x）C
（2）
（2）式是方程
（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求
出其通解为ysin（xc），但显然y1也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例
子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。
有些看上去不能分离变量的微分方程，通过变量代换可以化为可分离变量的方程来求解。
如齐次型微分方程。
y
f（y）或dy
f（y）
（3）
x
dx
x
可用代换yux化为
dudx
f（u）ux
两端同时积分即可求解。
（2）关于一阶线性微分方程。
一阶线性微分方程是指形如
yp（x）yq（x）（4）
的方程，其中p（x）、q（x）是已知函数，其特点是y，y都以一次幂的形式出现在方
程中，求它的通解时，即可以用公式
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p（x）dx
p（x）dx
（5）
ye
（q（x）e
dxC）
来求，也可以用常数变易法来求，即通过分离变量法先求出齐次线性方程
y
p（x）y0
p（x）dx
，再令C来未知函数C（x），将yC（x）e
p（x）dx
的通解yCe
代入
方程（4），求出C（x），最后得到所求通解
y
p（x）dx
C（x）e
。
有的方程把x看作未知函数，
y看作自变量时成为一阶线性微分方程，如方程
ylnxdx
（x
lny）dy
0
可变形为关于xx（y）的一阶线性非齐次方程
dx
x
1
dy
ylny
y
如同一些方程用适当的变量代换可化成可分离变量方程求解一样，
有些方程用变量代换
可以化成一阶线性非齐次方程，如伯努利方程。
y
p（x）y
q（x）yn，（n
0,1）
用代换z
y1n则化为z
（1
n）p（x）z
（1
n）q（x）
（二）关于常数变易法
所谓常数变易法就是将相应的线性齐次微分方程通解中的常数
C变为待定函数C（x），
然后代入线性非齐次微分方程中，求出
C（x），从而得到线性非齐次微分方程通解的方法。
C（x），由于y
p（x）y
0的通解为yCe
p（x）dx
常数变易法的关键是如何确定
（1），
将常数C用C（x）代换，设y
p（x）dx
p（x）yq（x）的通解，将其代入
C（x）e
为方程y
方程中，就得到关于待定函数
C（x）的导数C（x）应满足的方程，即
（
p（x）dx
（）
）
（*）
C
xe
qx
（*）式是求C（x）过程中重要的一步，应记住这个表达式，事实上，它的左端是将通
解yC（x）e
p（x）dx
*）式
中的C（x）换成C（x），右端是原方程中右端顶（非齐次项）将（
变形，再求积分就得到C（x）。
p（x）dx
D
C（x）q（x）e
dx
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例
求y
y
21nx的通解。
x
x
1
2lnx
y
解
这是一阶线性方程，
，q（x）
p（x）
。
相应的齐次方程y
0的
x
x
x
通解为y
Cx。
设非齐次方程的通解为y
C（x）x，代入原方程，得
C（x）x
2lnx
x
2lnx
2lnxd
（1）
C（x）
x2
x
2
2
2
2
C
lnx
x
2dx
lnx
x
x
x
所求通解为面y
（2lnx
2
C）x
2xlnx
2Cx
x
x
（三）可降阶的特殊
本章所研究的二阶微分方程主要有两类：
一是可降价的二阶微分方程，它的形式及相应的解法见表8-1：
表8-1可降阶的二阶微分方程及求解方法
方程形式
求解方法
y
f（x）
积分得y
f（x）dx
C，再积分，得通解。
y
f（x,y）
设y
p，则yp
，方程化为pf（x,p）
设y
p,则
y
p
dp，方程化为
dy
y
f（y,y）
dp
p
dy
f（y,p）
（四）二阶线性常系数微分方程
y
py
qyf（x）
（
其中p,q为常数）
当f（x）
0时称为齐次的，此时通解依特征方程
2
pq0的特征根1,
2而定
（见教材表
8-6-1），当f（x）0
时，称为非齐次的。
它的通解可写成
y
y
y
其中y是该方程对应的齐次方程
ypyqy0
的通解，而y是该方程的一个特解。
一般说来，求特解y并不是件容易的事情，但当右端项f（x）为某些特殊形式函数时，
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特解y具有相应的特殊形式，如表8-2所示。
这时可用特定系数法来求出y。
表8-2
非齐次项f（x）的形式
特征方程的根
特解y
的形式
0不是特征根（即q
0时）
y
（x）,（x）是与f（x）同次的多项式
f（x）是n次多项式
0是特征方程的单根（即
q
0
时
y
x
（x）
0是特征重根，（即p
q
0
时）
y
x2（x）
f（x）eaxP（x）
a不是特征根
y
Qm（x）ex
m
Qm（x）是与Pm（x）同次的多项式
即f（x）是指数函数
a是单特征根
y
xQm（x）ex
与多项式乘积
a是重特征根
y
x2Qm（x）ex
i
不是特征根
y
Al（x）cos
x
Bl
（x）sin
x
f（x）Pn（x）cosx
l
maxm,n
Qm（x）sinx
i
是特征根
y
xAl
（x）cos
x
Bl（x）sin
x
Al
（x）、Bl（x）都是l
次多项式
ax
a
i
不是特征根
ax
l
l
f（x）e[pn（x）cosx
y
e
（x）sin
x
A（x）cosx
B
Qm（x）sin
x]
a
i
是特征根
y
xeax
Al（x）cos
x
Bl（x）sin
x
从表8-2
可以看出，特解y的设法与非齐次项
f（x）的形式基本是相同的，
只不过依a
不是特征根、是单根、是重根时，依次再分别乘以一个
xk因子（k0,1,2）。
解题时首先应设定特解
y的形式，注意其中的未知多项式
（x）或Qm（x）或Al（x），
Bl（x）的次数的确定方法；设定未知多项式的系数后，将
y
代入原方程，用待定系数法确
定未知系数。
（五）关于特征根法
特征根法不仅可用于二阶线性常系数齐次微分方程通解，也可用于求高阶线性常系数齐次微分方程通解，即
（1）若
是单实根，则通解中含加C1ex
（2）若
是m重实根，则通解中含加项（C1
C2x
Cmxm1）ex
（3）若
ai是共轭复根，则有通解中含加项
eax（c1cosxC2sinx）
根据上述这些加项，就可写出方程的通解形式。
例如求方程y（4）
2y2y2y
6y
0的通解。
其求特征方程是
4
2
3
2
2
2
1
0
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分解因式为
（
1）2（
2
1）
0_
特征根为
1
2
1,
3,4
i
因为
1是二重根，所以通解中含加项
（C1
C2x）ex；因为3,4
i是一对共轭复根，
所以通解中含加项C3cosx
_C4sinx,从而得到原方程的通解为
yC1ex
C2xex
C3cosxC4sinx
二、例题分析
例1为下列各题选择正确答案：
（1）下列微分方程中，是二阶线性微分方程的为（）
A．（y）2yyx
B．（y）22ycosx
C．yy2yD．xy5y3x2yln2x
（2）下列微分方程中，（）所给的函数是通解。
A．y
x,yx；
B
．y
x,x2
y2C2；
y
y
C．y
x,y
C；
D
．y
x,x2
y2
1；
y
x
y
（3）下列微分方程中为可分离变量方程的是（
）
A．dx
xt
t；
B
．xdx
extsint；
dt
dt
C．dx
xtt2；
D
．dx
x2
t2；
dt
dt
（4）微分方程y
2y
yexcosx的特解形式应设为
y
（
）
A．Cexcosx；
B
．ex（C1cosx
C2sinx）；
C．
xe
x（
C1
cos
xC2
sin
）；
D
．
2
e
x（
C1
cos
xC2
sin
x
）；
x
x
（5）微分方程y
y
0的通解为（
）
A．yC1ex
C2ex
B
．y（C1
C2x）ex；
C．y
C1cosx
C2sinx；
D
．y
（C1
C2x）ex；
解
（1）微分方程的“阶”是指方程中未知函数的导数的最高阶数，
“线性”是指未知
函数及其导数均以线性
（一次）形式出现在方程中，由于，A、C中分别含有（y）2
和yy项，
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都呈非线性形式，B中（y）2是一阶导数，方程为一阶方程，故只有选择D正确，事实上，D
中方程可化成二阶线性方程的标准形式为y
5
1
y3xy
lnx。
x
x
（2）微分方程的通解是指所含独立任意常数的个数与微分方程的阶相等的解。
经验证，
所给四个答案中，A、B、C是方程的解，但
A、D中不含任意常数，说明它们是特解，不是
通解，故选项
B正确。
（3）将方程进行变量分离，可知
dx
t（x1）是可分离变量方程。
A为
dt
B、C、D均不能分离变量，故正确选择是
A。
（4）二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式与右端项的形式密切相关，此方程中
右端项f（x）
excosx，因此特解
y
应设为y
xkex（C1cosxC2sinx）,其中
k由
ai不是特征方程的根，是单根或是重根而分别设为
0，1，2此题中a
1,
1,a
i
不是特征根，因此特解应设为
y
x（
C1
cos
xC2
sin）,故正确的选项为B。
e
x
（5）二阶常系数线性齐次方程的通解与特征方程的根的形式密切相关。
y
y
0的
特征根为
i，是共轭复根，通解为三角函数形式
yC1cosxC2sinx，故选项
C正
确。
例2
在下列各题的空白处填写正确答案：
（1）通过点（
1，1）处，且斜率处处为
x的典线方程是
。
（2）二阶微分方程
y
ex的通解是
。
（3）微分方程y
y
0满足初始条件y（0）
1,y（0）
1的特解为
。
（4）齐次方程y
y
1的通解是
。
x
x的曲线方程应满足
解
（1）斜率处处为
y
x
积分得
y
1x2
C，代入条件y
（1）1，得C
1
，故所求曲线方程是
y
1x2
1
。
2
2
2
2
（2）对y
ex两次积分，得yex
C1,y
ex
C1x
C2，此为所求通解。
（3）微分方程
y
y
0的特征方程为
2
0，特征根为1
1,2
0，通解
为
y
C1ex
C2
将初始条件y（0）
1,y（0）1代入，得C1
1,C22，故所求特解为
y
ex
2。
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（4）设u
y,则dyudx
xdu,代入原方程中，得xdudx,u
lnCx，故所求通
x
解为y
xlnCx
例3
判断下列微分方程属于哪种类型，并求出它们的通解或特解。
（1）（exy
ex）dx（exy
ey）dy0；
（2）y（x
2y）dxx2dy
0；
（3）（y
x2
y2）dxxdy0,y
（1）0
（4）y
4xxy2,y（0）1
y
x2y
分析这几个方程都是一阶微分方程，通过适当变形来判断它们的类型。
解
（1）将方程变形，得
ex（ey
1）dx
ey（ex
1）dy
0
这是变量可分离型方程，分离变量得
ey
dy
ex
dx
ey
ex
1
1
d（ey
1）
d（ex
1）
ey
1
ex
1
两端积分得：
ln（ey
1）
ln（ex
1）
C1
整理后得方程的通解为
（ex
1）（ey1）
C
（2）观察方程中dx、dy的系数，都是二次函数，故原方程为齐次方程。
当x0时，各项除以x2，得
y（12y）dxdy0
xx
令u
y
，则yux
x
dyudxxdu
代入方程中，得
u（12u）dx（udxxdu）0
2u2dxxdu0
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du
2dx
u2
x
两端积分得：
1
2lnxC1
u
再将u
y
x
代回，得
2lnxC1
x
y
于是方程的通解为
x
y
2lnCx
（3）观察方程中dx、dy的系数，都是一次函数（x2y2可看作是一次函数），因此
方程为齐次方程。
当x
0时，将各项除以
x，得
[y
1
（y）2]dxdy0
x
x
令u
y
，则yux
x
dy
udxxdu
代入齐次方程中，得
（u1u2）dx
（udxxdu）0
du
dx
1u2
x
两端积分，得
lnu1u2lnCx
u1u2Cx
将u
y
代回，得
x
yx2y2Cx2
将初始条件y
（1）0代入，得10C,C1。
故满足方程初始条件的特解为
yx2y2x2
移项，两端平方x2y2（x2y）2
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整理后得
y
1（x21）
2
此即为所求特解。
（4）将方程变形，得
dy
x（4
y2）
dx
y（1
x2）
此为变量可分离方程。
分离变量，得
ydy
xdx
d（4y2）
d（1x2）
4y2
1x2
4y2
1x2
两端积分得
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