浙江省中考数学总复习第四章基本图形一第21讲矩形讲解篇.docx
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浙江省中考数学总复习第四章基本图形一第21讲矩形讲解篇
第21讲 矩形、菱形与正方形
1.矩形
考试内容
考试
要求
矩形的定义
有一个角是的平行四边形叫做矩形.
b
矩形的性质
(1)矩形具有平行四边形所有的性质.
c
(2)矩形的四个角都是,对角线互相平分并且.
(3)矩形既是一个轴对称图形,它有两条对称轴;又是中心对称图形,它的对称中心就是.
矩形的判定
(1)定义法.
(2)有三个角是直角的四边形是矩形.
(3)的平行四边形是矩形.
2.菱形
考试内容
考试
要求
菱形的定义
有一组的平行四边形叫做菱形.
b
菱形的性质
(1)菱形具有平行四边形所有的性质.
c
(2)菱形的四条边,对角线互相,并且每条对角线平分一组对角.
(3)菱形既是一个轴对称图形,两条对角线所在的直线是它的对称轴;又是中心对称图形,它的对称中心就是.
(4)菱形的面积等于对角线乘积的.
菱形的判定
(1)定义法.
(2)四条边的四边形是菱形.
(3)对角线的平行四边形是菱形.
3.正方形
考试内容
考试
要求
正方形
的定义
有一组邻边,并且有一个角是_______________的平行四边形叫做正方形.
b
正方形
的性质
(1)正方形的四条边,四个角都是,对角线互相且,并且每一条对角线平分一组对角,具有矩形和菱形的所有性质.
c
(2)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形,对称轴有_____________条,对称中心是对角线的交点.
正方形
的判定
(1)有一组邻边相等的____________________是正方形.
(2)有一个角是直角的是正方形.
(3)对角线的四边形是正方形.
4.平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
考试内容
考试
要求
基本
方法
正方形的判定可简记为:
菱形+矩形=正方形,其证明思路有两个:
先证四边形是菱形,再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形);或先证四边形是矩形,再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形).
c
1.(2016·杭州)在菱形ABCD中,∠A=30°,在同一平面内,以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE,则∠EBC的度数为____________________.
2.(2016·衢州)如图,已知BD是矩形ABCD的对角线.
(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线,分别交AD、BC于E、F(保留作图痕迹,不写作法和证明).
(2)连结BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形?
请说明理由.
【问题】矩形、菱形、正方形都是平行四边形,但它们都是有特殊条件的平行四边形.正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是邻边相等的特殊矩形,也是有一个角是直角的特殊菱形.因此,我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题,回答下列问题:
(1)将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关系图中:
(2)要证明一个四边形是正方形,可以先证明四边形是矩形,再证明这个矩形的________相等;或者先证明四边形是菱形,再证明这个菱形有一角是________.
(3)如图菱形ABCD,某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是S=
a2,对此结论,你认为是否正确?
若正确,请给予证明;若不正确,举出一个反例来说明.
【归纳】通过开放式问题,归纳、疏理平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系,以及性质与判定.
类型一 矩形的性质与判定
(1)如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )
A.AB=CDB.AC=BDC.AB=BCD.AC⊥BD
(2)如图,在矩形ABCD中,有以下结论:
①△AOB是等腰三角形;②S△ABO=S△ADO;③AC=BD;④AC⊥BD;⑤当∠ABD=45°时,矩形ABCD会变成正方形;⑥AC所在直线为对称轴;⑦矩形ABCD的周长是28,点E是CD的中点,AC=10时,△DOE的周长是12.则正确结论的序号是________.
【解后感悟】
(1)结合图形,利用图形条件、已知条件综合判定;
(2)熟记各种特殊几何图形,利用性质、揭示图形的数量关系是解题关键.
1.
(1)(2015·南昌)如图,小贤为了检验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定,然后向右扭动框架,观察所得四边形的变化,下列判断错误的是( )
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B.BD的长度增大
C.四边形ABCD的面积不变
D.四边形ABCD的周长不变
(2)(2015·临沂)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连结EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A.AB=BEB.DE⊥DCC.∠ADB=90°D.CE⊥DE
2.(2017·南京模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,M,N分别是AB,CD的中点,P是AD上的点,且∠PNB=3∠CBN.
(1)求证:
∠PNM=2∠CBN;
(2)求线段AP的长.
类型二 菱形的性质与判定
(1)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E是AD的中点,连结OE,
①若菱形的边长是10,一条对角线长是12,则此菱形的另一条对角线长是______.
②若OE=3,则菱形的周长是________.
③若∠ABC=60°,周长是16,则菱形的面积是________.
(2)已知四边形ABCD是平行四边形,再从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中,选一个作为补充条件后,使得四边形ABCD是菱形,现有下列四种选法,其中都正确的是( )
A.①或②B.②或③C.③或④D.①或④
【解后感悟】
(1)熟记各种特殊几何图形,利用性质、揭示图形的数量关系是解题关键;
(2)结合图形,利用图形条件、已知条件综合判定.
3.
(1)(2015·黔东南州)如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH=( )
A.
B.
C.12D.24
(2)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF.给出下列条件:
①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC;
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是____________________(只填写序号).
(3)(2016·梅州)如图,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心,大于
BF长为半径画弧,两弧交于一点P,连结AP并延长交BC于点E,连结EF.
①四边形ABEF是____________________;(选“矩形”、“菱形”、“正方形”或“无法确定”)(直接填写结果)
②AE,BF相交于点O,若四边形ABEF的周长为40,BF=10,则AE的长为____________________,∠ABC=____________________°.(直接填写结果)
4.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连结CF.
(1)求证:
四边形BCFE是菱形;
(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.
类型三 正方形的性质与判定
如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F分别在OD、OC上,且DE=CF,连结DF、AE,AE的延长线交DF于点M.求证:
AM⊥DF.
【解后感悟】正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形,特殊的菱形,因此正方形具有这些图形的所有性质.正方形的判定方法有两条道路:
(1)先判定四边形是矩形,再判定这个矩形是菱形;
(2)先判定四边形是菱形,再判定这个菱形是矩形.
5.
(1)(2015·日照)小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:
①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使▱ABCD为正方形(如图),现有下列四种选法,你认为其中错误的是( )
A.①②B.②③C.①③D.②④
(2)如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=( )
A.2B.3C.2
D.2
(3)(2015·黄冈)如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E.若∠CBF=20°,则∠AED等于____________________度.
6.(2017·绍兴模拟)如图,正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上,连结BF、DF.
(1)求证:
BF=DF;
(2)连结CF,请直接写出BE∶CF的值(不必写出计算过程).
类型四 特殊平行四边形的综合运用
(2016·临沂)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是边BC,AB上的点,且CE=BF.连结DE,过点E作EG⊥DE,使EG=DE,连结FG,FC.
(1)请判断:
FG与CE的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)如图2,若点E,F分别是边CB,BA延长线上的点,其他条件不变,
(1)中结论是否仍然成立?
请作出判断并给予证明;
(3)如图3,若点E,F分别是边BC,AB延长线上的点,其他条件不变,
(1)中结论是否仍然成立?
请直接写出你的判断.
【解后感悟】本题是三角形与四边形综合问题,涉及全等三角形、平行四边形、矩形、正方形的判定与性质.解题的关键是利用全等三角形的对应边相等进行线段的等量代换,从而求证出平行四边形.
7.如图,点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连结EF.给出下列五个结论:
①AP=EF;②AP⊥EF;③△APD一定是等腰三角形;④∠PFE=∠BAP;⑤PD=
EC.其中正确结论的序号是____________________.
8.(2016·荆州)如图,将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开,得到△ACD,再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置,若平移开始后点D′未到达点B时,A′C′交CD于E,D′C′交CB于点F,连结EF,当四边形EDD′F为菱形时,试探究△A′DE的形状,并判断△A′DE与△EFC′是否全等?
请说明理由.
【课本改变题】
教材母题--浙教版八下第147页,作业题第5题
(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF=90°.
求证:
BE=CF;
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°,EF=4.求GH的长;
(3)已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°,EF=4.直接写出下列两题的答案:
①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长;
②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).
【方法与对策】这题是从特殊到一般的规律探究题.从课本题出发逐步提出问题,解决问题,然后根据这些解题体验,领悟解题方法,再来解决一般性问题,这是中考命题热点之一,平时学习要重视一些典型的基本图形.
【由于思维定势,对问题考虑不全】
若正方形ABCD的边长为4,E为BC边上一点,BE=3,M为线段AE上一点,射线BM交正方形的一边于点F,且BF=AE,则BM的长为________.
参考答案
第21讲 矩形、菱形与正方形
【考点概要】
1.直角 直角 相等 对角线的交点 对角线相等 2.邻边相等 相等 垂直平分 对角线的交点 一半相等 互相垂直 3.相等 直角 相等 直角 垂直平分 相等 四 矩形 菱形 互相垂直平分且相等4.两组对边分别平行 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角
【考题体验】
1.105°或45°
2.
(1)如图,EF为所求直线;
(2)四边形BEDF为菱形,理由为:
证明:
∵EF垂直平分BD,∴BE=DE,∠DEF=∠BEF,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠BFE,∴∠BEF=∠BFE,∴BE=BF,∵BF=DF,∴BE=ED=DF=BF,∴四边形BEDF为菱形.
【知识引擎】
【解析】
(1)根据在平行四边形中,邻边相等的是菱形,邻边垂直的是矩形,而既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形,可根据此关系来画图.如图
(2)根据正方形的判定方法进行解答即可.即两种常见的方法:
①一组邻边相等的矩形是正方形.②一个角是直角的菱形是正方形.∴填:
一组邻边,直角.(3)本题的证明方法有多种,可根据正方形的对角线互相垂直平分且相等,将正方形分成四个直角三角形的面积和来求证,也可通过对角线求出正方形的边长来求证.∴结论正确.证明:
S正方形ABCD=S△AOB+S△AOD+S△COD+S△BOC=4×
×
a×
a=
a2.
【例题精析】
例1
(1)B;
(2)①②③⑤⑦ 例2
(1)①16 ②24 ③8
(2)D
例3 证明:
∵四边形ABCD是正方形,∴OD=OC.又∵DE=CF,∴OD-DE=OC-CF,即OF=OE,在Rt△AOE和Rt△DOF中,
∴△AOE≌△DOF,∴∠OAE=∠ODF.∵∠OAE+∠AEO=90°,∠AEO=∠DEM,∴∠ODF+∠DEM=90°,即可得AM⊥DF.
例4
(1)FG=CE,FG∥CE;
(2)过点G作GH⊥CB的延长线于点H,∵EG⊥DE,∴∠GEH+∠DEC=90°,∵∠GEH+∠HGE=90°,∴∠DEC=∠HGE,在△HGE与△CED中,
,∴△HGE≌△CED(AAS),∴GH=CE,HE=CD,∵CE=BF,∴GH=BF,∵GH∥BF,∴四边形GHBF是矩形,∴GF=BH,FG∥CH,∴FG∥CE,∵四边形ABCD是正方形,∴CD=BC,∴HE=BC,∴HE+EB=BC+EB,∴BH=EC,∴FG=EC. (3)成立.∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠FBC=∠ECD=90°,在△CBF与△DCE中,
,∴△CBF≌△DCE(SAS),∴∠BCF=∠CDE,CF=DE,∵EG=DE,∴CF=EG,∵DE⊥EG,∴∠DEC+∠CEG=90°,∵∠CDE+∠DEC=90°,∴∠CDE=∠CEG,∴∠BCF=∠CEG,∴CF∥EG,∴四边形CEGF是平行四边形,∴FG∥CE,FG=CE.
【变式拓展】
1.
(1)C
(2)B
2.
(1)∵四边形ABCD是矩形,M,N分别是AB,CD的中点,∴MN∥BC,∴∠CBN=∠MNB,∵∠PNB=3∠CBN,∴∠PNM=2∠CBN;
(2)连结AN,根据矩形的轴对称性,可知∠PAN=∠CBN,∵MN∥AD,∴∠PAN=∠ANM,由
(1)知∠PNM=2∠CBN,∴∠PAN=∠PNA,∴AP=PN,∵AB=CD=4,M,N分别为AB,CD的中点,∴DN=2,设AP=x,则PD=6-x,在Rt△PDN中,PD2+DN2=PN2,∴(6-x)2+22=x2,解得:
x=
,所以AP=
.
3.
(1)A
(2)③ (3)①菱形 ②10
120
4.
(1)略;
(2)∵∠BCF=120°,∴∠EBC=60°,∴△EBC是等边三角形,∴菱形的边长为4,高为2
,∴菱形的面积为4×2
=8
.
5.
(1)B
(2)C(3)65
6.
(1)只要证明△BEF≌△DGF(SAS),∴BF=DF;
(2)∵BF=DF,∴点F在对角线AC上,∵AD∥EF∥BC,∴BE∶CF=AE∶AF=AE∶
AE=
,∴BE∶CF=
.
7.①②④⑤
8.当四边形EDD′F为菱形时,△A′DE是等腰三角形,△A′DE≌△EFC′.理由:
∵△BCA是直角三角形,∠ACB=90°,AD=DB,∴CD=DA=DB,∴∠DAC=∠DCA,∵A′C′∥AC,∴∠DA′E=∠A,∠DEA′=∠DCA,∴∠DA′E=∠DEA′,∴DA′=DE,∴△A′DE是等腰三角形,∵四边形DEFD′是菱形,∴EF=DE=DA′,EF∥DD′,∴∠C′EF=∠DA′E,∠EFC′=∠C′D′A′,∵CD∥C′D′,∴∠A′DE=∠A′D′C′=∠EFC′,在△A′DE和△EFC′中
∴△A′DE≌△EFC′.
【热点题型】
【分析与解】
(1)证明:
如图1,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,∴∠EAB+∠AEB=90°.∵∠EOB=∠AOF=90°,∴∠FBC+∠AEB=90°,∴∠EAB=∠FBC,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF.
(2)如图,过点A作AM∥GH交BC于M,过点B作BN∥EF交CD于N,AM与BN交于点O′,则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形,∴EF=BN,GH=AM,∵∠FOH=90°,AM∥GH,EF∥BN,∴∠NO′A=90°,故由
(1)得,△ABM≌△BCN,∴AM=BN,∴GH=EF=4. (3)①8 ②4n.
【错误警示】由题中射线BM交正方形的一边于点F知有如下两种情形:
∴BM=
或