第4章个体集合分布函数运算统计量.docx
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第4章个体集合分布函数运算统计量
第4章个体集合、分布函数、运算、统计量
--同类个体们之二
2010-9-27立，2010-12-16完成
第4章个体集合、分布函数、运算、统计量1
--同类个体们之二1
4.1.个体集合概念2010-11-291
4.2个体集合的表示2
4.3个体集合的分布函数2010-11-13
4.4个体集合分布函数的例子2010-11-25
4.5分布函数的字符多项式表示5
4.6个体集合的运算2010-11-11-6
4.7个体集合的某些特征量（参数）11
4.8本章小结13
第4章习题14
4.1.个体集合概念2010-11-29
我们从同类个体概念出发，在第3章讨论了“个体们”的“量化表示”问题。
本章则对同类个体们做更细致的描述。
我们把一批（一般认为是数量有限的、确定的）同类个体们合称为个体集合。
个体集合定义：
若干个同类个体，如果就某一，或者多个标志，在某时刻其每个个体具有确定的标志值，就把这些个体们合称为个体集合。
有时，明确了不同标志值的同类个体各有确定的数量，也认为这是一个明确的个体集合。
例如有8个苹果，我们知道某时刻（实际也包含了该时刻附近的小时间段）每个苹果的重量（每个苹果有唯一值，各个个体的值可以不同），它们就是一个明确的个体集合。
这里苹果重量是“标志”的名称，每个苹果的重量的数值就是“标志值”（含重量的计量单位，如克）。
与此类似，全班同学（已知每个同学的体重时）、全国公民（已知每个公民的年龄、出生地时）、全岛上的生物个体（已知体重时）、太阳系的全部行星（已知公转一周需要的周期时）、所有的湖泊（已知面积、蓄水量时）等等都是个体集合的具体例子。
独立个体们的确实存在、这些个体属于同类（相对而言）、在某确定的时刻（附近），每个个体至少就某标志（至少是1个标志，也可能不止一个标志，如学生的体重、身高）都具有确定的标志值（不能一个个体在同时有两个或者多个标志值,这就是确切性），就是一个确切存在的个体集合。
同类个体与个体集合的含义似乎差不多。
但确定的个体集合里所包括的个体的数量是确定的。
同类个体概念里没有这种限定。
另外，同类个体不关心每个个体的标志值是多少。
但是个体集合则要求所有的个体就某一（或者多个）标志对象的各个标志值是确定（一般情况是确知的）的。
《组成论》[]里把“个体集合”称为“广义集合”。
其实，两者的含义是相同的。
那里给出了大量的个体集合的事例。
由于个体集合的定义中包括了（确定了）有关的标志是什么，以及每个个体就该标志的具体取值是什么的信息，有时也把这种明确了个体及其标志值的集合称为个体-标志值-集合，或者为了简单，就简称为“个体集”。
这些词在本书里通用。
个体集合不正面过问集合内各个个体的相互关系，也允许在另外的时刻，各个个体具有另外的标志值。
化学研究原子、分子的特征，生物学研究有生命的个体的特征，现代科学分类就是以研究对象（个体）的类似性而划分的。
非同类个体是科学分科的标界。
数学里有集合概念。
这里的“个体集合”类似集合的概念，又突出了以个体为元素的这个物理特点，它还涉及了标志-标志值概念，它是数学的集合概念向物理内容的靠拢。
4.2个体集合的表示
同类个体们组成的集体称为个体集合。
而与此相伴，也需要对它和它的内容有一些形式化的规定，以利于随后的表示与运算。
4.2.1个体集本身的符号表示
对于每个具体的个体集合本身，我们需要给它取一个名称，以便说明它是具有特定内容的个体集合。
而在需要符号化表示时，我们把取的名称用被方括弧“[]”，包起来的大写粗斜体的字母表示表示它（这与集合的表示类似）。
如用[A]表示有9个水果：
3个苹果，2个梨，4个香蕉这样一个个体集合。
显然，[B]、[C]、[甲]等等符号都可以表示某特定的个体集合。
4.2.2个体集合的原始列表
一个个体集合内一般包括着多个独立存在的个体。
如何对这个个体集合的内容做完备描述？
个体集合的原始列表就是对这个集体的完备描述方式（自然所谓“完备”也仅是相对完备）。
所谓个体集合的原始列表，就是一个表格，这个表里列出了该个体集合内每个个体的具体名称和有关的标志、标志值。
例如有3口之家组成的个体集合，就可以用原始列表表示为表4.1。
这里给出了每个人的两个标志（体重、年龄）的具体的标志值。
表4.1个体集合的原始列表的例子
编号（不能重叠）
个体名称（不能重叠）
共同的标志名称和具体的标志值
号码
名称
体重（公斤）
年龄（年）
1
女儿
5
1
2
父亲
66
30
3
母亲
62
30
在这个简单的个体集合里只有3个个体。
在表中它们有不重复的名称，还附加了不重复的编号。
它们有着共同的标志名称：
体重和年龄，但是每个人的具体体重的值是可以不相同的（也允许相同）。
需要说明，这个表的第1行是说明性的，正式原始列表并不需要它，第2行才是其正式的所谓表头。
很显然，如果个体集合内的个体数量增加了，仅需要在原始列表上再加1行就可以了。
所以这种表使用方便。
但是需要注意，表格内的个体名称（或者简化为编号的号码）必须不重叠（两两相异）。
各个个体的标志名称必需相同，不能对这个个体仅知道体重是多少，对那个个体仅知道年龄是多少。
表4.1的第一行里特别提示个体名称是不能重叠的。
即一个个体集合的原始列表里，同一个独立存在的个体，不需要，也不允许列两次或者多次。
所以表里的个体名称都是彼此不同的、没有重叠的唯一的名称。
表中附加的编号，也具有相同要求，即各个编号的值也是不能重复的。
这些特征在涉及到个体集合运算时都成为必须遵守的规则。
我们经常与表格打交道，其中很多表格就是个体集合的原始列表。
哪里有不只一个个体的名称以及就某（或者某些）标志具体给出每个个体的标志值。
所以您不仅早就与“个体”概念打交道了而且早就与个体集合打交道了！
所谓原始列表是关于一个个体集合的完备知识，是说它具体知道每个个体的标志值，而不是笼统地知道体重为30公斤的人有几个，而不知道具体是那个个体。
自然，所谓完备的知道也仅是相对意义下的完备：
知道每个个体就某标志的标志值。
而不是绝对意义下的真的知道每个个体的一切细节（如出生日期，出生地，职业情况等等）。
2010-12-12
4.3个体集合的分布函数2010-11-1
既然定义个体集合时就某一个（也可以是多个）标志（有时用“标志名称”可能更清楚一些）而言，对每个个体都需要有明确的标志值（在确定时刻），所以针对每个个体集合，我们都可以提出这样一个问题：
在确定的时刻，此个体集合内具有不同标志值的个体各有多少。
我们把这个一般问题的答案称为分布函数。
既然每个个体在确定时刻的标志值是什么（是多少）是确定的（有时是已经知道的），自然该个体集合所涉及的各个标志值xi和它对应的个体的数量ni的关系也是确定（唯一的）。
如果已经知道每个同学的身高，自然知道本班的不同身高的同学各有多少。
所以上面的问题必然有答案（确定时刻答案是唯一的）。
个体集合的分布函数:
个体集合内不同标志值与其占有的个体数量的关系称为该个体集合的分布函数。
分布函数确定了各个标志值与个体数量的一一对应关系，这个对应关系符合逻辑、数学里对函数关系的一般定义。
这里的标志值是分布函数的自变量xi，而各个标志值所对应的个体的数量ni是分布函数的值。
把三只羊看作是一个个体集，或者把5个球看作是另外一个个体集，就可以有表4.2。
它以表格的形式给出了该个体集合的分布函数。
表4.2.a三只羊组成的个体集合的分布函数
三只羊的个体集合
（标志是体重）
标志值（自变量，体重/千克）
5
28
34
函数值（羊的个数）
1
1
1
表4.2.b五个球组成的个体集合的分布函数
五个球的个体集合
（标志是球表面的颜色）
标志值（自变量，颜色）
红色
黄色
其它颜色
函数值（球的个数）
3
2
0
请注意，我们对问题的讨论都是在离散的个体概念基础上展开的。
这里的标志值可以是数值，也可以是文本字符而不是数值，只要它可以表述确切的状态就可以。
例如表4.2中的球的标志是指球的颜色。
而这里的颜色就用离散的红色、黄色、其他颜色来区分其不同的状态。
另外，图4.1则把“5个球”这个个体集的分布函数用图来表示了，这是表示函数的另外一种方法。
图4.1五个球组成的个体集的分布函数
在每个确定时刻，每个个体只能有唯一的标志值。
而不能是多值。
所以分布函数是单值函数。
离散的各个个体组成的个体集合在确定时刻有唯一的分布函数。
一般地说，这个函数可以用表4.3描述。
表4.3分布函数的表格表示格式
自变量（标志值）x
x1
x2
…
xi
…
xp
函数值（具有这种标志值的个体的数量）n
n1
n2
…
ni
…
np
在一些场合，这个函数关系自然也可以用公式表示
n=f（x）（4.1）
这里的函数“f”一词的含义与数学、逻辑中的函数含义是一致的。
我们知道函数一般可以用表、图或者公式表示它。
这里的表4.2、图4.1和公式（4.1）就是这三种表示函数关系的方法的体现。
论及分布函数时，个体集合中的每个个体具有的标志，至少有一个（可能是我们最关心的一个），但是也可以是多个。
例如分析全班同学，其标志可以是学生体重、身高、年龄、血型、百米成绩等多项。
这时，公式（4.1）里的自变量x就是一个有确定值的矢量。
但是公式里的函数值n依然是数量，而不是矢量。
既然每个个体集都伴有唯一的单值的分布函数，我们也就认为：
知道了分布函数也就确定了该个体集。
所以当我们明确了一个个体集合时，实际上已经存在着一个确定的函数，该个体集合的分布函数了。
这里所谓的“分布函数”仅是数学上所谓的函数中的一部分。
但是所有的分布函数有一个共同特点，这就是其函数值为个体的数量。
在典型场合它应当仅能是正整数（包括0），而不能是负值。
分布函数是描述个体集合的重要工具，但是它提供的关于个体集合的知识却没有前面介绍的原始列表那么详细，那么完备。
利用个体集合的原始列表自然可以统计出来不同标志值的个体各有多少，即个体集合的分布函数，所以个体集合的分布函数是对其原始列表的一种运算，对表格的一种运算。
欢迎您小心地确定自己研究领域里的有关个体究竟是什么，这里提示：
当知道一批这样的个体（同类个体）的各个标志值时，您已经具有了一个个体集合和一个关于这个个体集的分布函数了（您已经发现一个公式了）。
4.4个体集合分布函数的例子2010-11-2
各个领域里都有自己很多个体。
而物以类聚，所以我们也容易看到很多同类个体组成的“个体们”，如果这些同类个体就某标志（感兴趣的指标，如学生身高）知道了各个个体的标志值，这就有了一个对应的个体集合。
知道这个个体集合也就是知道了一个分布函数。
表4.4就是一些个体集合的例子（引自文献[]）。
而在《组成论》[]里给了各个领域上百个例子，而这些例子联系着成千上万的个体们。
相信您可以在自己熟悉的领域轻易指出不只20个个体集合的分布函数的例子。
理解个体-标志值-集合这个思路，就可以把过去没有注意的事实归结为一个清晰的函数。
表4.4个体集的分布函数的例子
与分布函数对应的问题
标志值
函数值意义
不同身高的学生各有多少（如三年级）
学生身高
学生数量
不同的年产值的企业各有多少
企业年产值
企业数量
不同人口数量的国家各有多少
国家的人口数
国家数量
不同吨位的轮船各有多少
吨位
轮船数量
不同质量的恒星各有多少（如银河系）
质量
恒星数量
不同温度的日子各有多少（如1年中）
温度
天数
不同拔海高度的面积各有多少（如中国）
拔海高度
面积
不同的随机变量x值的出现概率是多少
随机变量x
出现概率
应当补充指出，标志值可以是离散变量，有的场合也可以是连续变量，而函数值可以是连续函数也可以仅是离散地取值。
另外，表中最后一个例子把所有的概率分布函数都归入个体集模型内。
但是这里在用词上与概率论有一些差别。
这里的连续型分布函数对应于哪里的概率密度分布函数，而那里的概率分布函数是概率密度分布函数的从变量下限开始到目前值的积分。
4.5分布函数的字符多项式表示
前面介绍的分布函数本身就是个体集合的一种表示方法（重要，但是不完备）。
现在则补充指出，有时个体集合的分布函数本身还可以用字符多项式表示。
鉴于经常出现的分布函数的自变量不是过去常用的连续变量，而可以是离散的特征标志所以我们推荐用字符多项式去表示分布函数。
例如碟子里的水果这个个体集（的分布函数）可以表示为：
[A]=（3个）（苹果）+（2个）（梨）+（4个）（香蕉）
这里[A]代表了一个个体集（确定的同类个体们，并且被命名），而等号后面表示该个体集的分布函数。
这里的苹果、梨、香蕉都被看作是水果这大类中具有不同标志值的水果（前面已经说明标志值可以是数值，也可以是字符串）。
显然个体集合[B]=5个（儿童）+16个（成年人）+5个（老年人）表示了公共汽车里不同年龄段的人各有多少，[B]就是一个分布函数确定的个体集合。
这里把涉及数量（含所用的单位、量纲）的园括号省略了。
[C]=14（70分以下）+25（70-90分）+10（90分以上）表示了一次考试的全班成绩的个体集合的分布函数，它说明70分以下的学生有14个，70到90分的学生25个，高于90分的学生有10个。
根据上面的说明，我们一般用方括弧包起来的大写粗斜体的字母表示个体集本身；而用字符多项式表示该个体集的分布函数。
这里的等号，＝，体现了前面的认识：
知道了它的分布函数，也就等于知道了一个确定的个体集。
而加号“+”的意义是“还有”、“还包括有”的意思。
如果再借用数学里的求和符号∑，个体集的分布函数就可以一般地写为下面格式：
（4.2）
这里的各个xi是彼此不同的标志值（也称为变量，我们有时采用概率论着的语言，称它为随机变量）；而各个ni是对应于该标志值的个体的数量（这里用符号n代替了a,它包含计量单位“个”）。
我们有时也用“系数”称呼它（因为它在多项式的格式里对应于系数的地位）。
对于分布函数是连续变量的情况（标志值是连续变化的），它们对应的个体数量也是连续变化的情况（在个体数量十分大的情况下才会出现化离散为连续的数学处理技巧问题），我们依然可以用数学里惯用的连续函数去表示它。
原始列表、图、公式、字符多项式都是个体集合的表示方法。
2010-12-12
4.6个体集合的运算2010-11-11-
4.6.1概述
如果给某概念一个比较严的定义，而随后提不出有什么好处（定量的计算、新规律的发现…）这样的定义在科学上也就没有吸引力了。
个体集合也可以进行运算，就是引入这些概念的初步回报。
所谓关于个体集合的运算，就是已经知道，两个（或者多个）个体集合，经过某种运算获得另外一个个体集合。
由于个体集合明确对应着其原始列表或者分布函数，所以个体集合的运算也就是从已知的两个（或者以上）个体集合的原始列表或者分布函数获得一个新的原始列表或者分布函数。
个体集合的运算中涉及到过去我们比较熟悉的算术（代数）运算也涉及逻辑运算。
已知甲小学的不同年级各有多少学生，还知道乙小学不同年级各有多少学生（对应于已经知道其分布函数）。
求两个学校合并以后不同年级各有多少学生（另外一个个体集的分布函数）。
如果用个体集[甲][乙]分别表示两个学校的学生个体集，两个小学合并以后的个体集用[丙]表示，那么个体集[丙]就是[甲]、[乙]的“和”。
这里的“和”是一种对个体集合的运算，这可以写为
[丙]＝[甲]+[乙]（4.3）
如何对两个个体集做加法运算，以获得新的个体集合的原始列表或者分布函数？
其实，运用代数里的多项式加法（合并同类项）正合适。
从这里我们已经初步看到使用字符多项式表达个体集的好处。
2010-12-10
4.6.2个体集合的子集和空集
子集：
个体集合[A]所包括的各个个体都是个体集合[B]里所据有的个体，就把个体集合[A]称为个体集合[B]的子集。
[A]具有的标志名称依然与[B]具有的标志名称相同。
如某小学3年级5班的全体同学是个体集合[B]（含学生性别、年龄），而该班的所有男同学（以[A]表示，标志名称是性别、年龄）就是[B]里面的一个子集。
个体数量为0的个体集合称为“空个体集合”，简称为空集。
4.6.3个体集合的“差”，“－”
个体集合的“差”－：
如果个体集合[A]是个体集合[B]的子集，所谓个体集合[B]与[A]的差，[B]-[A]，就是从[B]的原始列表中删除[A]所指定的那些个体以后留下来的个体们所组成的个体集合[C]。
用[B]-[A]=[C]表示个体集合的差运算。
班主任有一张全部同学的花名单[B]（一个具体的个体集合的原始列表），从中删去所有的男同学（个体集合[A]），就得到一个新名单，它就是个体集合[C]，即全部女同学的花名单。
全部女同学的花名单就是个体集合[C]的原始列表，也就是两个个体集合差运算[B]-[A]的结果。
这个运算结果[C]自然依然是一个个体集合。
所以这里的个体集合的差的运算，就是对个体集合的原始列表的运算。
即我们对个体集合运算的讨论，联系着对“表格”的运算。
在已经知道[B]和[A]这两个个体集合的分布函数的字符多项式表达式的情况下，[B]-[A]运算，显然就是对应的字符多项式的代数运算。
如[B]=16（男生）+18（女生），而[A]是[B]的子集，并且[A]=10（男生）+8（女生），则[B]-[A]=6（男生）+10（女生）
显然，[A]里的所有个体都与[B]里的个体重叠才可以作差运算。
2010-11-29
4.6.4个体集合的“交”，“∩”
个体集合的交运算∩：
两个同类个体集合，如果它们具有相同的标志名称，并且存在重叠（被确认是同一个体）的个体，那么由这些重叠的个体们组成的个体集合就是交运算的结果，交运算获得的个体集合的标志是原两个个体集合共同据有的哪些个标志。
例如某幼儿园有5个小朋友，这个个体集合[A]的原始列表是表4.5
表4.55个小朋友的个体集合
个体名称
标志1
标志2
姓名
体重/公斤
年龄
圆圆
8
3
莉莉
9
4
毛毛
8
3
青青
10
4
小佟
9
3
某家庭有4人，这个个体集合[B]的原始列表是表4.6
表4.6某家庭有4人组成的个体集合
个体名称
标志1
标志2
姓名
体重/公斤
身高/米
张青
68
1.74
吕晓明
64
1.68
毛毛
8
0.90
莉莉
9
0.92
这两个个体集合内只有毛毛和莉莉分别是两个个体集合中的重叠（被确认是同一个体）个体。
所以交运算所得到的个体集合中的个体就仅有毛毛和莉莉这两个。
另外，个体集合[A]包括的标志是“体重”和“年龄”，[B]包括的标志是“体重”和“身高”。
[A]、[B]共同具有的标志仅有“体重”这一项。
所以交运算得到的新的个体集合[C]所具有的标志仅有“体重”一项。
于是[A]∩[B]=[C]，这里用符号∩表示交运算。
而交运算的结果是个体集合[C]：
表4.7两个个体集合的交运算结果
个体名称
标志（共同具有的）
姓名
体重/公斤
毛毛
8
莉莉
9
简单地说，所谓个体集合的交运算，就是把两个同类个体集合里重叠的个体挑出来用它们组成的新个体集合，新个体集合具有的标志仅是两个个体集合共同具有的那个或者那些个标志。
表4.5和表4.6中的年龄和身高这两个标志名称不是两个个体集合所共同具有的，所以它们在表4.7中就都消失了。
个体集合的交运算显然满足交换律：
[A]∩[B]=[B]∩[A]（4.4）
以及结合律：
（[A]∩[B]）∩[C]=（[A]∩[C]）∩[B]（4.5）
4.6.5个体集合的“和”，“+”
（1）
100元+100元=200元是小学生都会的运算。
现在问我有1张100元人民币，它是否可以与自己（100元）相加？
如果可以相加，我的100元就变成200元了！
照此重复，所有学会加法的人运用加法就可以发财了！
加法真好，加法万岁！
这个计算有问题吗？
它当然有问题，可问题出在那里？
有了个体集合加法运算知识，问题就暴露清楚了。
个体集合的和运算+：
两个或者多个同类个体集合，如果存在至少1个共同的标志名称，就可以做“和”（加）运算。
和运算以后得到的个体集合中的个体由原来所有的个体组成（注意，不同个体集合中的重叠个体在运算结果的原始列表中仅出现一次），运算以后依然有资格（各个个体都具有明确标志值）保存的标志名称，是这些个体集合共同具有的标志名称。
抽屉A里有3张100元，两张50元的人民币，抽屉里B有7张1元的和5张10元的。
我们以个体集合表示它们，用个体集合的分布函数表示情况下有：
[A]=（3张）（100元）+（2张）（50元）
[B]=（5张）（10元）+（7张）（1元）
那么，这两个个体集合的和，C显然是
[C]=（3张）（100元）+（2张）（50元）+（5张）（10元）+（7张）（1元）
即我们在分布函数形式下获得了两个个体集合的和的分布函数，这里标志名称是货币，100元、50元、10元、1元是4个标志值。
这里的和运算规律显然就是代数多项式的运算规律。
但是要注意，不同个体集合中的重叠个体在运算结果的原始列表中仅出现一次。
根据上面的讨论，[A]，[B]两个同类个体集合，如果具有相同的标志名称，其和运算所获得的新个体集合的分布函数就是含有相同标志名称的字符多项式的代数和再减去它们的交[A]∩[B]。
即
（4.6）
（4.7）
（4.8）
公式（4.6），（4.7）是用字符多项式表示对应的个体集合，公式（4.8）表示了字符多项式的合并同类项再减去[A]，[B]的交的字符多项式。
当100元的一张人民币是个体集合[A]，与自己做加法时，其字符多项式代数和是两张100元的人民币，但是按照上面的公式，这两个个体集合的“和”则是其字符多项式的和再减去它们的交，而它们其实是一张人民币，即其交是一张100元人民币。
所以最后的结果是100元人民币与自己做和运算，依然是100元。
而不会变成200元。
小张看见鱼缸里有1条黑色的鱼和3条红色的鱼，小李看见那里有2条黄色的鱼和1条黑色的鱼。
问他们一共看到了什么?
是（3条红色+2条黄色+2条黑色）的鱼，还是仅有一条黑色的鱼？
这就需要你明确小张与小李看到的黑鱼是否为重叠的同一个体。
如果它们的交是空个体集合，那么答案就是2条黑鱼，如果重叠，其和运算就仅包含1条黑鱼。
个体集合的和运算显然满足交换律：
[A]+[B]=[B]+[A]（4.9）
以及结合律：
（[A]+[B]）+[C]=（[A]+[C]）+[B]（4.10）
4.6.6个体集合与数的乘积
个体集合[A]与正整数N项乘，就是个体集合的个体数量为原值的N倍。
显然，其分布函数的每个系数（该状态下的个体数量）都是原值的N倍。
即
（4.11）
个体集合与0相乘为空集，即这个个体集合里的个体数量为零。
学生A有3个本子，1把尺子（共有4个文具-个体），如按照此标准另外配5套，于是要买的东西[B]就是：
5×[A]=[（5×3）个本子]+[（5×1）把尺子]=[B]
即需要买15给本子，5把尺子。
某老板有个商店，那里的商品种类和数量用个体集合[A]表示，他要再开另外3个相同的分店，显然分店货物的总合[B]=3[A]。
某日，老板的A店的东西全部被盗，个体集合[A]就等于乘以0，于是得到一个空集。
4.6.7个体集合的除法
个体集合（理解为已经知道其分
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