倍数和因数教学实录.docx
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倍数和因数教学实录
《倍数和因数》教学实录及反思
有幸去聆听了张齐华老师执教的《因数和倍数》，感触颇深。
张老师那崭新的教学理念，独特的教学设计，丰富的文化底蕴，风趣幽默的谈吐，深深打动了我。
他那开放而又充满活力的课堂教学，令我感触很深。
感触一：
充满人性化的评价语
听张老师的课是一种享受，尤其是聆听他那自然、精炼的评价语。
如评价作业纸时，张老师说“关于A这种方法你有什么话要说？
”（学生纷纷举手想要指出错误）可张老师是这样引导的：
“能不能从正面的角度说一说，这个同学找出的因数有没有值得肯定的地方？
”还有，尽管学生是找错了，他这样说：
“其实这个同学挺不容易的，他已经找出不少了，对不对？
”……这些人性化的评价语在课堂中还有很多，这些朴实的语言，孩子们在潜移默化中感受到的是成功，是对数学学习的无限乐趣。
感触二：
丰富多彩的文化信息。
关于本堂课的文化气息，是相当浓厚的，张老师一定查阅了不少的资料，进行了创造性的组合和优化，对激发学生的学习兴趣是大有好处的。
“计数器’九颗珠子的奥秘；神奇的完美数，让学生在不知不觉中感受到了数学的奥秘。
只有有了文化气息，数学才变得有了灵魂，而再不会让学生感到枯燥无味，只会乐在其中。
感触三：
善于引导，让学生学会思考
张老师善于捕捉学生发言过程中的信息，教师大胆地让学生自己找出36的因数和3的倍数，再通过对几份不同作业的比较，一步又一步，层次清晰地得出找因数和倍数的方法。
在这一过程中，教师与学生进行互动，沟通联系，交流想法，形成意见，真正做到了“教育的引导者。
”如：
“看来这个同学是没有找全，没有找全仅仅是因为粗心吗？
是因为什么？
”、“他的意思是说用除法来做的话，找一个数的因数，一个个找，还是两个两个找？
”……老师亲切的话语引导学生去发现、思考。
只是这一堂课上了55分钟，这在日常的教学中是不允许的，但在这节课中，没有这增加的十几分钟，简直是一种遗憾，那么如何解决现实与理想的矛盾呢？
教学过程：
一、认识倍数和因数
师：
一起看大屏幕，数一数，几个正方形？
（12）第一个问题是如果老师请你把12个正方形摆成一个长方形，会摆吗？
行不行？
能不能就用一道非常简单的乘法算式表达出来?
生：
1×12
师：
猜猜看，他每排摆了几个，摆了几排？
生：
12个，摆了一排。
师：
（屏幕显示摆法）是这样吗？
第二种摆法我们只要把他旋转一下就跟第一种怎么样？
（一样）。
我们可以把他忽略不计。
还可以怎么摆？
同样用一道乘法算式表达出来？
生：
三四十二
师：
这一次每排摆了几个，摆了几排？
（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。
还有吗？
生齐：
2×6
师：
张老师来猜测一下同学们脑子里怎么想的，有同学可能想每排摆6个，摆2排。
也有同学可能想每排摆2个，摆6排。
（屏幕显示摆法）同样第二种摆法也可以省。
师：
还有不同的想法吗？
每排能摆5个吗？
12个同样大小的正方形能摆3种不同的乘法算式，千万别小看这些乘法算式，今天我们研究的内容就在这里。
咱们就以第一道乘法算式为例，3×4=12，数学上把3是12的因数，以往我们把他叫约数，现在叫因数，3是12的因数，那4（也是12的因数，）倒过来12是3的倍数，12（也是4的倍数）。
同学们很有迁移的能力，这就是我们今天所要研究的因数和倍数。
师板书：
因数和倍数
师：
这儿还有两道乘法算式，先自己说一说谁是谁的因数？
谁是谁的倍数？
行不行？
师：
谁先来？
生说略
师：
刚才在听的时候发现1×12说因数和倍数时有两句特别拗口，是哪两句啊？
生：
12是12的因数，12是12的倍数。
师：
虽然是拗口了点，不过数学上还真是这么回事，12的确是12的因数，12也是12的倍数。
为了研究方便，以后来探讨因数和倍数的时候所说的数都是什么数啊？
生：
自然数
师：
而且谁得除外。
生：
0
师：
好了，刚才我们已经初步研究了因数和倍数，屏幕显示：
试一试：
你能从中选两个数，说一说谁是谁的因数？
谁是谁因数和倍数？
行不行？
先自己试一试。
3、5、18、20、36
生说略。
二、探索找因数倍数的方法
师：
看来同学们对于因数和倍数已经掌握的不错了。
不过刚才张老师在听的时候发现一个奥秘，好几个数都是36的因数，你发现了吗？
谁能在五个数中把哪些数是36的因数一口气说完？
生1：
3、18
师：
还有谁？
生2：
36
师：
3、18、36都是36的因数，只有这3个吗？
生1：
1
生2：
4
生3：
6
师：
其实要找出36的一个因数并不难，难就难在你有没有能力把36的所有因数全部找出来？
能不能？
张老师作一下详细说明，因为这个问题有点难度，你可以独立完成也可以同桌完成，下面你选择你喜欢的方式，可以合作，也可以单干，想一想怎么不遗漏，注意了，当你找出了36的所有因数，别忘了填在作业纸上，如果能把怎么找到的方法写在下面更好。
学生填写时师巡视搜集作业。
师：
张老师找到了3份不同的作业，大家仔细观察这三份作业，可有意思了。
我把他命名为A、B、C师板书。
A：
2、4、13、12、18、36
B：
1、2、4、3、6、9、12、18、36
C：
1、36、2、18、3、12、4、9、6
师：
关于A这种方法你有什么话要说？
（学生纷纷举手）能不能从正面的角度说一说，这个同学找出的因数有没有值得肯定的地方？
（学生沉默）一点都没有我们值得肯定的地方吗？
你先来。
生1：
都对的
师：
有没有道理？
看来要找一个人的优点挺困难的。
生2：
写全了
生大声说：
没有！
师：
正好触及了大家的公愤，看来要找一个人的优点不太好找了，是吧？
其实这个同学挺不容易的，他已经找出不少了，对不对？
说说有什么问题？
生：
没有写全，少了3、6、9。
师：
大伙来思考一下，6、9这两个因数是36的因数吗？
看来这个同学是没有找全，没有找全仅仅是因为粗心吗？
是因为什么？
生：
36÷4，只写了4，没写9
师：
他的意思是说用除法来做的话，找一个数的因数，一个个找，还是两个两个找？
生齐：
两个两个找。
生2：
先把1写在头，36写在尾，然后再把2写中间，这样依次写下去，这样比较美观。
师：
张老师提炼出两个字：
“顺序”，好象还不仅仅是因为粗心的问题，没有按照一定的顺序。
师：
第二个同学有没有找全，有没有更好的建议送给他。
生：
他应该把4、3调换一下。
师：
做了一个微调就不仅仅是美观的问题，更带给我们一种寻找的有序。
第三个同学是最没有顺序的，什么1、36，2、18了，你们觉得有道理吗？
师：
你想提出抗议吗？
你们觉得有顺序吗？
（有）你自己来说？
生：
他们那样还要头对尾头对尾的，像这样直接就可以写了。
师：
有没有听明白，也是同样一对一对出现的。
生：
大小没有排，B大小排完后从小到大很舒服。
师：
你看你那个舒服吗？
生：
舒服
师：
正是因为你的质疑，他把方法说了出来。
他用了什么？
生：
乘法口诀
师：
非常感谢同学们给出的发言，正是你们的发言让我们感受到了如何寻找一个数的因数，有没有问题。
师：
虽然这个同学找到了尝试完了1，找到36、尝试完了2，找到18、3、12、4、9、6，自然数有很多，那你的7、8没有试，你怎么知道找全了呢？
生1：
找到开始重复就不找了
生2：
我认为应该找到比较接近如5、6，7、8找到比较接近就可以了。
师：
体会体会1、学生：
36、2、学生：
18、3、12、4、9、6这两个因数在不断接近，接近到相差无几。
生：
生：
直接找更大数的所有的因数，这个同学很厉害，已经在用分解质因数的方法在找一个因数的个数了。
师：
通过刚才的交流，有办法了吗？
有没有方法不遗漏。
试一个。
20 生齐：
1、2、4、5、10、20
再试一个：
15，写在练习纸上。
学生汇报
师：
寻找一个数掌握的不错，这节课还要研究倍数呢。
会找一书的倍数吗？
找一个小一点的，3的倍数，谁来找一个。
生：
21、300
师：
你能把3的倍数全部写下来吗？
生：
不能。
太多太多了。
师：
那怎么办？
写不完可以用省略号表示。
试试看。
学生练习纸上完成，汇报。
师：
同学们虽然找的答案差不多，但脑子里的方法各不相同。
我想听听你是怎样找的？
生1：
3×1、3×2
师：
能理解吗？
生1：
3＋3=6、6＋3＝9
师：
有理吗？
不要小看加3了，当到数大的时候也比较方便。
生：
略
师：
寻找一个数的倍数的方法掌握了吗？
试一试。
7的倍数
学生练习纸上完成：
50以内7的倍数。
师：
谁来说说这一次你找了哪几个？
生：
7、14、21、28
师：
为什么不加省略号？
生：
因为给了一个限制。
师：
任何自然数的倍数是无限的。
会寻找一个数的因数吗？
生：
略
三、感受倍数和因数的神奇奥秘
师：
透出一个信息，关于因数和倍数是不是蕴藏了很有意思的规律，下面这题就隐藏了一条规律。
屏幕显示：
老师这有9颗珠子全部放到十位和个位，1颗放十位，另外8颗放个位。
这样就得到几？
（18）要是不这样放，你还能得到其他的两位数吗？
生1：
27
生2：
36
师：
把你知道的两位数跟同桌说一说。
学生同桌说，
师：
如果把你们说的两位数按一定顺序排出来，就得到了这样的一排数，是这样吗？
屏幕展示：
18、27、36、45、54、63、72、81
仔细观察9颗珠子拨的两位数，你发现了什么？
生：
都是9的倍数
师：
9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数都是（8的倍数）
师：
发现了什么？
9颗珠子拨的两位数都是9的倍数，8颗珠子拨的两位数（不一定都是8的倍数），7颗珠子、6颗珠子呢？
其实这里的学问没有同学想的那么简单，张老师给大家布置一个小任务，自己在草稿本上画一画珠子，看看6颗5颗4颗拨出的两位数到底和珠子的个数有什么关系？
这里蕴藏着非常丰富的规律，等待着同学们去发现。
其实不仅在计数器上找到一些有趣的规律。
师：
张老师问一个问题，好不好？
1—100这100个数，思考一下，哪个数的因数最多？
生1：
1
生2：
99
师：
还有谁要发表的？
生3：
9
师问生2：
为什么认为99的因数最多？
生：
9是最大的。
师：
张老师公布一下答案：
60
师：
可以一起找一找。
可以负责任的告诉你，比99多多了。
是不是数越大，因数就越多。
你们知道一小时有多少分？
（60分），一分=60秒，这里的60和刚才的60有关系吗？
这里的60就和100以内的因数有关系，你们相信吗？
特意给大家带来一本书。
书的名字叫《数字王国》，学生读有关资料。
师：
相信了吧，其实张老师一开始也是特别不相信，咱们历法上面的1小时=60分，一分=60秒的进率竟然和100以内的数的因数有着这么大的关系，这本书详细记载着为什么一年有12个月，一天有24小时，同学们知道为什么用12、24作为进率，道理是一样的。
数学中发现的规律
师：
更有意思的在后面，张老师给大家介绍一个数，数学家把6称为“完美数”。
想知道为什么吗？
用最快的速度说一说6的因数？
生：
1、2、3、6
师：
把6划去，1+2+3=6，又回到了6本身，正是因为这样的数非常特别，所以数学家把这样特点的数称为是完美数。
数学家找到了第一个完美数，就会去找第一个完美数，猜猜看，找到了没有？
今天张老师不把答案直接告诉你们，我透露一下资料好不好？
第二个完美数比20大，比30小，而且还是一个双数，好猜了吧。
数学上的规律不是一下子直觉说出来的，那么这样先来说一说双数：
22、24、26、28，猜猜看，可能是谁？
学生试这四个数。
师：
写出所有的因数，然后把自己给去掉。
师：
正确答案应该是22，我们一起来找一找，人们开始找第三个完美数，想知道第5个吗？
师板书。
为什么这么惊讶？
同学们惊讶的背后张老师体会的过老，刚才找一个也花了一分多钟，要从几十亿数中找出这6个完美数，数学家们要付出多大的心血。
你觉得什么力量使数学家们去不断努力？
生：
好奇心
师：
数学家们能透过枯燥的数学本身看到里面的东西，就像我们今天这堂课一样，透过数字蕴藏着大量丰富的规律。
高斯曾经说过的把数学比作科学的皇后，数论是数学皇后头顶上的皇冠，我们研究的只是数论中的最最基本的一些小常识，换句话说这堂课我们没有摘取数学皇后头顶上的皇冠，我们摘取的只是皇冠上一小粒一小粒的珠子。
《倍数和因数》---李明老师教学实录
一、教材分析：
整除概念是贯穿这部分教材的一条主线。
签于学生在前面已经具备了大量的区分整除与有余数除法的知识基础，对整除的含义已经有了比较清楚的认识，不出现整除的定义并不会对学生理解其他概念产生任何影响。
因此，教材中删去了“整除”的数学化定义，而是借助整除的模式a×b=c直接引出因数和倍数的概念。
二、设计思想：
这节课教学倍数和因数的认识，学习找一个自然数的倍数和因数。
教材通过用12个同样大小的正方形拼成不同长方形的操作，让学生写出不同的乘法算式，直观感知倍数和因数的关系。
在此基础上再依据算式具体说明倍数和因数的含义，利用已有的乘除法知识，自主探索并总结找一个数的倍数和因数的方法。
三、教学目标：
1、通过操作活动得出相应的乘法算式，帮助学生理解倍数和因数的意义；探索求—个数的倍数和因数的方法，发现一个数倍数和因数的某些特征。
2、在探索一个数的倍数和因数的过程中培养学生观察、分析、概括能力，培养有序思考能力。
能在1-100的自然数中找出10以内某个数的所有倍数，能找出100以内某个数的所有因数。
3、通过倍数和因数之间的互相依存关系使学生感受数学知识的内在联系，
四、教学重点：
理解倍数和因数的意义和掌握求一个数的倍数和因数的方法。
五、教学难点：
探索求一个数的因数的方法。
六、学情分析：
因数和倍数是最基本的两个概念，理解了因数和倍数的含义，对于一个数的因数的个数是有限的、倍数的个数是无限的等结论自然也就掌握了，对于后面的奇数、偶数、质数、合数等概念的理解也是水到渠成。
要引导学生用联系的观点去掌握这些知识，而不是机械地记忆一堆支离破碎、毫无关联的概念和结论。
数论本身就是研究整数性质的一门学科，有时不太容易与具体情境结合起来，而学生到了五年级，抽象能力已经有了进一步发展，有意识地培养他们的抽象概括能力也是很有必要的，如让学生通过几个特殊的例子，自行总结出任何一个数的倍数个数都是无限的，逐步形成从特殊到一般的归纳推理能力，等等。
七、教学过程：
（实录）
一、创设情境，引入新课。
师：
在课前的谈话中，我们知道人和人之间存在着这样、那样的关系，其实，数和数之间也存在着多种关系，这一节课，我们一起来探究两数之间的一种关系。
二、认识倍数和因数
1.操作活动：
师：
一起看大屏幕，老师这儿有12个大小相同的正方形,如果请你把这12个正方形摆成一个长方形，会摆吗？
能不能用一个乘法算式来表示，试试看。
2.学生汇报算式，然后思考是怎样摆的。
生：
4×3=12
师：
想一想，他是怎么摆的
生：
摆3排，每排4个
师：
（演示课件）是这样摆的吗？
（是）这个算式还可以怎么摆？
生：
还可以摆4排，每排3个
师：
对，其实这种摆法是把这个图形竖起来，和这一种摆法是一样的。
师：
还有别的算式吗
生：
6×2=12
师：
这个算式又是怎么摆的呢？
生：
每排6个，摆了2排。
师：
当然也可以是每排2个，摆上6排。
还有不同的算式吗？
生：
12×1=12
师：
是这样摆的吗？
（演示课件）
生：
是的
师：
还有不同的摆法了吗？
（没有了）
师：
12个同样大小的正方形能摆出3种不同的长方形，并能写出3个乘法算式，千万别小看这些乘法算式，今天我们研究的内容就在这里。
3.认识倍数和因数。
师：
以第一道乘法算式为例，4×3=12，数学上我们就说：
12是4的倍数，12也是（3的倍数）
师：
大家很会联想，反过来说，4是12的因数，同样，3也是（12的因数）。
（课件出示这四句话）
师：
这就是我们今天研究的内容（板书课题）
师：
仔细观察这个算式，齐读一下。
师：
这儿还有两道乘法算式，选你喜欢的一个，说一说谁是谁的因数？
谁是谁的倍数吗？
生：
我选6×2=12，12是2的倍数，12也是6的倍数，2是12的因数，6也是12的因数。
生：
我选12×1=12，12是12的倍数，12也是1的倍数，12是12的因数，1也是12的因数。
师：
刚才这位同学在说的时候，你们是不是感觉到有两句比较特别啊，是哪两句？
生：
12是12的倍数，12是12的因数
师：
真是这样，12既是12的倍数，同是12也是它本身的因数。
师：
为了研究方便，我们在说倍数和因数时，所说的数一般指不是0的自然数。
师：
现在你能写一个算式,找一找其中的倍数和因数吗？
（同桌互相交流）
师：
屏幕上也有几个算式，你能不能说一说其中谁是谁的倍数，谁是谁的因数呢？
（重点是最后一个算式18÷3=6）
生：
18是3的倍数，也是6的倍数，3是18的因数，6也是18的因数。
师：
看来，我们不仅可以用乘法算式，同样也可以用除法算式来找一个数的因数和倍数。
三、探索找一个数的倍数的的方法
1. 找一个数倍数的方法
师：
在刚才的学习中我发现12是3的倍数，18也是3的倍数，那3的倍数只有12和18吗？
（不是的）
师：
你能把3的倍数写出来吗，给你们1分钟的时间，开始。
师：
时间到，你写了多少个3的倍数？
生：
15个
生：
24个
师：
很厉害，写的真多，那有写完的吗？
（没有）
师：
为什么？
生：
因为3的倍数有无数个，写不完
师：
可以怎么办呢？
（用省略号）
师：
好办法，我们一起来看几位同学的作品（展台呈现）
生：
我是用乘法口诀，一三得三，二三得六，这样写下去的。
生：
我也是用乘法，用3去乘1、乘2等等
师：
哪些同学也是用乘法的
师：
你们都是用3去乘一个数，所得的积就是3的（倍数）
师：
还有不同的方法吗？
生：
我是用加法的，用3＋3=6、6＋3＝9依次加下去
师：
你是用加法，同意吗？
不要小看了加3，当数大的时候也比较方便。
师：
我们一起来写3的倍数，在写一个数的倍数时，一般可以从小到大写前面5个，后面用省略号表示。
师：
现在你会找一个数的倍数了吗？
（会了）
师：
写出2的倍数行不行？
（行）5的倍数呢？
（行）。
师：
打开课本完成书上的“试一试”，看谁写得又快又好。
学生汇报,出示课件
2．发现一个数的倍数的特征
师：
刚才我们分别找了3、2、5的倍数，下面请同学们观察3、2、5的倍数，你能发现这些数的倍数有什么共同的特征吗？
和你的同桌交流一下
生：
最小的和它一样
师：
一个数最小的倍数就是它“本身”。
（板书：
最小本身）
师：
最大呢？
（生：
找不到最大的）
师：
也就是说一个数没有最大的倍数。
（板书：
最大没有）
生：
一个数的倍数有无数个
师：
无数个我们页可以说是“无限”（板书：
个数无限）
四、探索找一个数的因数的的方法
1.找一个数的因数的方法
师：
刚才我们研究了找一个数的倍数，你们还想再研究什么？
生：
找一个数的因数
师：
其实刚才我们已经找了12的因数，说说看12的因数有哪些？
生：
1.2.3.4.6.12
师：
我们是根据什么找出这些因数的？
生：
乘法算式
师：
具体举个例子说说
生：
比如在算式3×4=12中，我们找到了3和4是12的因数
师：
看来我们是根据乘法算式中，哪两个数相乘得12，这两个数就是12的（因数）
师：
找12的因数难不住大家，来个大点的数，找36的因数，行吗？
（行）
师：
谁来说几个36的因数
生：
4和9
生：
3、2、6
师：
看来要找出36的几个因数并不难，难就难在要找出36所有的因数，一个不漏的全写
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