河南中考数学考点突破 第三节 全等三角形.docx

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河南中考数学考点突破第三节全等三角形

第三节　全等三角形

A组　基础题组

一、选择题

1.（2017河南鹤壁中招模拟）请仔细观察用直尺和圆规作∠A'O'B'等于已知∠AOB的示意图,要说明∠D'O'C'=∠DOC,需要证明△D'O'C'≌△DOC,则这两个三角形全等的依据是（　　）

A.边角边B.边边边

C.角边角D.角角边

2.（2018山东临沂）如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D、E,AD=3,BE=1,则DE的长是（　　）

A.

B.2C.2

D.

二、填空题

3.（2016江苏南京）如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△ABO≌△ADO.下列结论:

①AC⊥BD;②CB=CD;③△ABC≌△ADC;④DA=DC.其中所有正确结论的序号是　　　　. 

4.（2017四川达州）在△ABC中,AB=5,AC=3,AD是△ABC的中线,设AD的长为m,则m的取值范围是　　　　. 

三、解答题

5.（2016江苏镇江）如图,AD、BC相交于点O,AD=BC,∠C=∠D=90°.

（1）求证:

△ACB≌△BDA;

（2）若∠ABC=35°,则∠CAO=　　　　°. 

6.（2016河北）如图,点B,F,C,E在直线l上（F,C之间不能直接测量）,点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.

（1）求证:

△ABC≌△DEF;

（2）指出图中所有平行的线段,并说明理由.

7.（2018四川南充）如图,已知AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.

求证:

∠C=∠E.

8.（2018陕西）如图,AB∥CD,E、F分别为AB、CD上的点,且EC∥BF,连接AD,分别与EC、BF相交于点G、H.若AB=CD,求证:

AG=DH.

9.（2017河南鹤壁中招模拟）如图,已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF的形状,并证明.

10.（2017重庆A卷）在△ABM中,∠ABM=45°,AM⊥BM,垂足为M,点C是BM延长线上一点,连接AC.

（1）如图1,若AB=3

BC=5,求AC的长;

（2）如图2,点D是线段AM上一点,MD=MC,点E是△ABC外一点,EC=AC,连接ED并延长交BC于点F,且点F是线段BC的中点.求证:

∠BDF=∠CEF.

B组　提升题组

解答题

1.（2018河北）如图,∠A=∠B=50°,P为AB的中点,点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设∠BPN=α.

（1）求证:

△APM≌△BPN;

（2）当MN=2BN时,求α的度数;

（3）若△BPN的外心在该三角形的内部,直接写出α的取值范围.

2.（2018河南安阳二模）如图,点A是直线PQ上一动点,BC⊥PQ,垂足为C,线段AB的垂直平分线DE交∠PCB的平分线于点E,交AB于点D.连接AE,BE.

（1）如图1,AE与BE的数量关系是　　　　　　;过点E作EM⊥PQ于点M,作EN⊥BC于点N,通过证明△AEM≌△BEN,可知AE与BE的位置关系是　　　　　　; 

（2）当点A在点C的下方如图2的位置时,

（1）中的结论还成立吗?

请说明理由;

（3）当点A位于如图3的位置时,过点A作AF∥CB交∠PCB的平分线于点F,设AC=a,CB=b,请直接写出EF的长（用含有a,b的式子表示）.

图1　　　　　　　　　　　　　　图2

图3

3.（2018河南濮阳二模）

（1）问题发现

在等腰三角形ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME.

填空:

线段AF,AG,AB之间的数量关系是　; 

线段MD,ME之间的数量关系是　. 

（2）拓展探究

在任意三角形ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系?

并说明理由;

（3）解决问题

在任意三角形ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,若MD=2,请直接写出线段DE的长.

4.（2017河南郑州适应性测试（二模））

（1）问题发现:

如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以AC,BC为边向外侧作正方形ACDE和正方形BCFG.

△ABC和△DCF面积的关系是　　　　;（请在横线上填写“相等”或“不等”） 

（2）拓展探究:

若∠C≠90°,

（1）中的结论还成立吗?

若成立,请结合图2给出证明;若不成立,请说明理由;

（3）解决问题:

如图3,在四边形ABCD中,AC⊥BD,且AC与BD的和为10,分别以四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CDJI、正方形DALK,运用

（2）中的结论,图中阴影部分的面积的和是否有最大值?

如果有,请求出最大值;如果没有,请说明理由.

图1

图2

图3

5.（2018安徽）如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°.点D为边AC上一点,DE⊥AB于点E.点M为BD的中点,CM的延长线交AB于点F.

（1）求证:

CM=EM;

（2）若∠BAC=50°,求∠EMF的大小;

（3）如图2,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点.求证:

AN∥EM.

图1　　　　　　　　　　　　　　图2

答案精解精析

A组　基础题组

一、选择题

1.B　由作法可知OC=OD=O'C'=O'D',CD=C'D',

∴依据SSS可得△OCD≌△O'C'D',

∴∠D'O'C'=∠DOC.故选B.

2.B　∵BE⊥CE,AD⊥CE,

∴∠E=∠ADC=90°,

∴∠EBC+∠BCE=90°.

∵∠ACB=90°,

∴∠BCE+∠ACD=90°,

∴∠EBC=∠ACD.

在△CEB和△ADC中,

∴△CEB≌△ADC（AAS）.

∴BE=DC=1,

CE=AD=3,

∴DE=EC-CD=3-1=2.故选D.

二、填空题

3.答案　①②③

解析　∵△ABO≌△ADO,∴∠BAC=∠DAC,∠AOB=∠AOD,AB=AD.

∵∠AOB+∠AOD=180°,∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD,∴①正确;∵AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC,∴△ABC≌△ADC,

∴③正确;∵△ABC≌△ADC,∴CB=CD,∴②正确;∵DA与DC不一定相等,∴④不正确.

4.答案　1

解析　如图,延长AD到E,使DE=AD,连接CE,BE,

则AE=2AD=2m.

∵AD是△ABC的中线,

∴BD=CD.

在△ADB和△EDC中,

∴△ABD≌△EDC,

∴EC=AB=5.

又在△AEC中,EC-AC

即5-3<2m<5+3,

∴2<2m<8.

∴1

三、解答题

5.解析　

（1）证明:

∵∠C=∠D=90°,

∴△ACB与△BDA是直角三角形.

在Rt△ACB与Rt△BDA中,

∴Rt△ACB≌Rt△BDA.

（2）20.

6.解析　

（1）证明:

∵BF=EC,

∴BF+FC=EC+CF,即BC=EF.

又∵AB=DE,AC=DF,

∴△ABC≌△DEF.

（2）AB∥DE,AC∥DF.

理由:

∵△ABC≌△DEF,

∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.

∴AB∥DE,AC∥DF.

7.证明　∵∠BAE=∠DAC,

∴∠BAE-∠CAE=∠DAC-∠CAE,

∴∠BAC=∠DAE.

在△ABC和△ADE中,

∴△ABC≌△ADE（SAS）.

∴∠C=∠E.

8.证明　∵AB∥CD,∴∠A=∠D.

∵EC∥BF,

∴∠BHA=∠CGD.

又∵AB=CD,

∴△ABH≌△DCG,

∴AH=DG,

∴AG=DH.

9.解析　△CDF是等腰直角三角形.

证明如下:

∵AF⊥AD,∠ABC=90°,

∴∠FAD=∠DBC,

在△FAD与△DBC中,

∴△FAD≌△DBC（SAS）,∴FD=DC,

∴△CDF是等腰三角形,

∵△FAD≌△DBC,

∴∠FDA=∠DCB,

∵∠BDC+∠DCB=90°,

∴∠BDC+∠FDA=90°,即∠FDC=90°,

∴△CDF是等腰直角三角形.

10.解析　

（1）∵AM⊥BM,点C是BM延长线上一点,

∴∠AMB=∠AMC=90°,

∴△AMB和△AMC是直角三角形,

∵∠ABM=45°,AB=3

∴BM=AM=3,

∵BC=5,∴CM=2,

在Rt△AMC中,AC=

=

=

.

（2）证明:

∵∠ABM=45°,AM⊥BM,点C是BM延长线上一点,

∴BM=AM,∠BMD=∠AMC=90°.

在△BMD和△AMC中,

∵BM=AM,∠BMD=∠AMC,MD=MC,

∴△BMD≌△AMC,

∴BD=AC.

∵EC=AC,∴BD=EC.

延长DF到点G,使FG=FD,连接CG,

∵点F是线段BC的中点,

∴CF=BF.

∵∠CFG=∠BFD,FG=FD,

∴△CFG≌△BFD,

∴CG=BD,∠G=∠BDF.

∵BD=EC,∴CG=EC,

∴∠G=∠E.

∵∠G=∠BDF,

∴∠BDF=∠CEF.

B组　提升题组

解答题

1.解析　

（1）证明:

∵P为AB的中点,

∴PA=PB.

又∵∠A=∠B,∠MPA=∠NPB,

∴△APM≌△BPN.

（2）由

（1）得PM=PN,∴MN=2PN,

∵MN=2BN,∴PN=BN,

∴α=∠B=50°.

（3）40°<α<90°.

提示:

∵△BPN的外心在该三角形的内部,∴△BPN是锐角三角形,

∴∠BPN和∠BNP都为锐角,

又∵∠B=50°,

∴40°<∠BPN<90°,即40°<α<90°.

2.解析　

（1）相等;垂直.

（2）成立.理由如下:

过点E作EM⊥PQ于点M,作EN⊥BC于点N,如图所示.

∵PQ⊥BC,

∴四边形MCNE是矩形,

∴∠MEN=90°.

∵CE是∠PCB的平分线,∴ME=EN,

又∵ED是AB的垂直平分线,

∴AE=BE,

∴△AME≌△BNE,∴∠MEA=∠NEB.

∵∠MEA+∠AEN=90°,∴∠NEB+∠AEN=90°,

∴AE⊥BE.

综上,AE=BE,AE⊥BE.

（3）EF=

（b-a）.

3.解析　

（1）AF=AG=

AB;MD=ME.

（2）MD=ME,MD⊥ME.

理由如下:

取AB、AC的中点F,G,连接DF,FM,MG,EG,设AB与DM交于点H.如图1.

∵△ADB和△AEC都是等腰直角三角形,

∴∠DFA=∠EGA=90°,DF=AF=

AB,EG=AG=

AC.

∵点M是BC的中点,∴FM和MG都是△ABC的中位线,

∴AF∥MG,AF=DF=MG.

∴四边形AFMG是平行四边形,

同理可得∴FM=AG=GE,∠AFM=∠AGM,

∴∠DFM=∠MGE.

在△DFM和△MGE中,

∴△DFM≌△MGE（SAS）.

∴MD=ME,∠FDM=∠GME,

∴∠BHM=90°+∠FDM=90°+∠GME,

∠BHM=∠HMG=∠DME+∠GME.

∴∠DME=90°.即MD⊥ME.

（3）线段DE的长为2

.

4.解析　

（1）相等.

（2）成立.理由如下:

如图,过点A作AP⊥BC的延长线于点P,过点D作DQ⊥FC于点Q.

∴∠APC=∠DQC=90°.

∵四边形ACDE、四边形BCFG均为正方形,

∴AC=CD,BC=CF,∠ACP+∠PCD=90°,∠DCQ+∠PCD=90°,

∴∠ACP=∠DCQ.

∴△APC≌△DQC（AAS）,∴AP=DQ.

又∵S△ABC=

BC·AP,S△DFC=

FC·DQ,

∴S△ABC=S△DFC.

（3）图中阴影部分的面积的和有最大值.

理由:

由

（2）的结论可知:

S△KDJ=S△ADC,S△FBG=S△ABC,S△AEL=S△ABD,S△CHI=S△BDC.

∴S阴影=S△KDJ+S△FBG+S△AEL+S△CHI=S△ADC+S△ABC+S△ABD+S△BDC=2S四边形ABCD.

设AC=m（0

∵AC⊥BD,

∴S四边形ABCD=

AC·BD=

m·（10-m）=-

m2+5m=-

（m-5）2+

.

∴S四边形ABCD有最大值,最大值为

.

∴阴影部分的面积的和有最大值,最大值为25.

5.解析　

（1）证明:

由已知,在Rt△BCD中,∠BCD=90°,M为斜边BD的中点,

∴CM=

BD.

又DE⊥AB,同理,EM=

BD,

∴CM=EM.

（2）由已知得,∠CBA=90°-50°=40°.

又由

（1）知CM=BM=EM,

∴∠CME=∠CMD+∠DME=2（∠CBM+∠EBM）=2∠CBA=2×40°=80°,

∴∠EMF=180°-∠CME=100°.

（3）证明:

∵△DAE≌△CEM,

∴∠CME=∠DEA=90°,DE=CM,AE=EM.

又CM=DM=EM,∴DM=DE=EM,

∴△DEM是等边三角形,

∴∠MEF=∠DEF-∠DEM=30°.

在Rt△EMF中,∠EMF=90°,∠MEF=30°,

∴

=

又∵NM=

CM=

EM=

AE,

∴FN=FM+NM=

EF+

AE=

（AE+EF）=

AF.

∴

=

=

.

又∵∠AFN=∠EFM,

∴△AFN∽△EFM,∴∠NAF=∠MEF,

∴AN∥EM.