北师版七年级下册第一章整式的乘除难题辅导针对期末考试.docx

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北师版七年级下册第一章整式的乘除难题辅导针对期末考试

北师版七年级下册第一章整式的乘除难题辅导

【专题一】幂为1

1．若（x﹣1）x+1=1，则x=　　．

2．已知：

（x+2）x+5=1，则x=　　．

3．若（2x﹣3）x+3=1，则x=　　．

【专题二】幂的形式转化

4．

（1）已知2x+2=a，用含a的代数式表示2x；

（2）已知x=3m+2，y=9m+3m，试用含x的代数式表示y．

5．图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明答方法解答下面的问题：

（1）计算：

①82008×（﹣0.125）2008；

②（

）11×（﹣

）13×（

）12．

（2）若2•4n•16n=219，求n的值．

6．

（1）已知2x=3，2y=5，求2x+y的值；

（2）x﹣2y+1=0，求：

2x÷4y×8的值．

7．已知常数a、b满足3a×32b=27，且（5a）2×（52b）2÷（53a）b=1，求a2+4b2的值．

8．根据已知求值：

（1）已知am=2，an=5，求a3m+2n的值；

（2）已知3×9m×27m=321，求m的值．

9．

（1）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．

（2）若26=a2=4b，求a+b值．

10．已知ax=﹣2，ay=3．求：

（1）ax+y的值；

（2）a3x的值；

（3）a3x+2y的值．

11．已知2x+3y﹣2=0，求9x•27y的值．

12．

（1）已知10m=2，10n=3，求103m+2n的值；

（2）已知9•32x•27x=317，求x的值．

13．计算：

（1）﹣82015×（﹣0.125）2016

（2）若2•8n•16n=222，求n的值．

14．

（1）已知x2n=2，求（2x3n）2﹣（3xn）2的值

（2）已知x3•xa•x2a+1=x31，求a的值．

15．若2×4m×8m=211，求m的值．

【专题三】乘法公式的探究与应用

16．观察下列各式：

（x﹣1）÷（x﹣1）=1；

（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1；

（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1；

（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1；

（1）根据上面各式的规律可得（xn+1﹣1）÷（x﹣1）=　　；

（2）利用

（1）的结论求22015+22014+…+2+1的值；

（3）若1+x+x2+…+x2015=0，求x2016的值．

17．观察下列式子：

（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1

（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1

（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1

（x5﹣1）÷（x﹣1）=x4+x3+x2+x+1

（1）根据以上式子，请直接写出（xn﹣1）÷（x﹣1）的结果（n为正整数）；

（2）计算：

1+2+22+23+24+…+22015．

18．观察下列单项式：

x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5，…

（1）计算一下这里任一个单项式与前面相连的单项式的商是多少？

据此规律请你写第n个单项式；

（2）根据你发现的规律写出第10个单项式．

19．观察下列各式：

（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1

（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1

（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1

（x5﹣1）÷（x﹣1）=x4+x3+x2+x+1

（1）则（x6﹣1）÷（x﹣1）=　　

（2）则1+x2+x3+x4+…+x11=　　

（3）求：

1+2+22+23+…+22010．

20．观察下列各式：

（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1

（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1

（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1

（x5﹣1）÷（x﹣1）=x4+x3+x2+x+1

…

（1）写出（x6﹣1）÷（x﹣1）的结果；

（2）将x6﹣1表示成两个多项式乘积的形式．

【专题四】整体思想的应用

21．在求1+2+22+23+24+25+26的值时，小明发现：

从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的2倍，于是他设：

S=1+2+22+23+24+25+26①然后在①式的两边都乘以2，得：

2S=2+22+23+24+25+26+27②；②﹣①得2S﹣S=27﹣1，S=27﹣1，即1+2+22+23+24+25+26=27﹣1．

（1）求1+3+32+33+34+35+36的值；

（2）求1+a+a2+a3+…+a2013（a≠0且a≠1）的值．

22．已知a1，a2，a3，…，a2015都是正整数，设：

M=（a1+a2+a3+…+a2014）（a2+a3+…+a2015），N=（a1+a2+a3+…+a2015）（a2+a3+…+a2014），试着比较M，N的大小．

23．计算（1+2+…+n﹣1）（2+3+…+n）﹣（2+3+…n﹣1）•（1+2+…+n）

24．对于一些计算量特别大，或用常规方法解不出来的问题，可考虑设参数的方法，例如在计算20163﹣2015×2016×2017时，设m=2016，则原式可化为m3﹣（m﹣1）m（m+1），化简结果为m，即原式等于2016．

请你用这种方法计算：

（1）

；

（2）已知（2017﹣a）（2015﹣a）=2016．求（2017﹣a）2+（2015﹣a）2的值．

25．阅读解答题：

有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．

例：

若x=123456789×123456786，

y=123456788×123456787，试比较x、y的大小．

解：

设123456788=a，那么x=（a+1）（a﹣2）=a2﹣a﹣2，y=a（a﹣1）=a2﹣a

∵x=y=（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）=﹣2＜0

∴x＜y

看完后，你学到了这种方法吗？

再亲自试一试吧，你准行！

问题：

（1）x=98760×98765﹣98761×98764，y=98761×98764﹣98762×98763，试比较x、y的大小；

（2）计算：

1.345×0.345×2.69﹣1.3453﹣1.345×0.3452．

26．数学课上老师出了一道题计算：

小明看后说：

“太繁琐了，我是做不出来”；小亮思考后说：

“若设

=x，先运用整体思想将原式代换，再进行整式的运算，就简单了”．小明采用小亮的思路，很快就计算出了结果，请你根据小亮的思路完成计算．

27．化简

×

+1

．

28．设a=（

+

+…+

）（1+

+

+…+

）﹣（1+

+

+…+

）（

+

+…+

），求2004a﹣1的值．

29．计算：

（

+

+…+

）（1+

+

+…+

）﹣（1+

+

+…+

）（

+

+…

）．

30．化简：

（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）﹣（x2﹣5x）2﹣10（x2﹣5x）

【专题五】数形结合思想的应用

31．如图，已知大正方形的边长为a+b+c，利用图形的面积关系可得：

（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．当大正方形的边长为a+b+c+d时，利用图形的面积关系可得：

（a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．

根据以上结论解决下列问题：

（1）若a+b+c=6，a2+b2+c2=14，则ab+bc+ac=　　；

（2）从﹣4，﹣2，﹣1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值．

32．问题再现：

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．

例如：

利用图形的几何意义证明完全平方公式．

证明：

将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：

这个图形的面积可以表示成：

（a+b）2或　a2+2ab+b2

∴（a+b）2=a2+2ab+b2

这就验证了两数和的完全平方公式．

类比解决：

（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）

问题提出：

如何利用图形几何意义的方法证明：

13+23=32？

如图2，A表示1个1×1的正方形，即：

1×1×1=13

B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：

B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：

2×2×2=23

而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．

由此可得：

13+23=（1+2）2=32

尝试解决：

（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：

13+23+33=　　．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．

（3）问题拓广：

请用上面的表示几何图形面积的方法探究：

13+23+33+…+n3=　　．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）

33．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2=a2+2ab+b2，请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式　　．

（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．

（3）利用

（1）中得到的结论，解决下面的问题：

若a+b+c=10，ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2=　　．

（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z=　　．

34．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．

（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．

（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？

35．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．

例如：

由图1可得到（a+b）2=a2+2ab+b2．

（1）写出由图2所表示的数学等式：

　　；写出由图3所表示的数学等式：

　　；

（2）利用上述结论，解决下面问题：

已知a+b+c=11，bc+ac+ab=38，求a2+b2+c2的值．

36．把四块长为a，宽为b的长方形木板围成如图所示的正方形，请解答下列问题：

（1）按要求用含、的两种方式表示空心部分的正方形的面积S（结果不要化简保留原式）：

①用大正方形面积减去四块木板的面积表示：

S=　　；

②直接用空心部分的正方形边长的平方表示：

S=　　；

（2）由①、②可得等式　　；

（3）试证明

（2）中的等式成立．

37．如图①是一个长2m，宽2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．

（1）用两种方法表示图②中阴影部分的面积；

（2）观察图②，请你写出代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系式；

（3）根据

（2）中的结论，若x+y=﹣6，xy=2.75．求x﹣y的值．

38．【知识生成】通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．

（1）如图1，根据图中阴影部分的面积可以得到的等式是：

　　；

【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式．

如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割成8块．

（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为：

　　；

（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求a3+b3的值．

39．现有若干张如图1所示的正方形纸片A，B和长方形纸片C．

（1）小王利用这些纸片拼成了如图2的一个新正方形，通过用两种不同的方法计算新正方形面积，由此，他得到了一个等式：

　　；

（2）小王再取其中的若干张纸片（三种纸片都要取到）拼成一个面积为a2+3ab+nb2的长方形，则n可取的正整数值是　　，并请你在图3位置画出拼成的长方形；

（3）根据拼图经验，请将多项式a2+5ab+4b2分解因式．

40．请认真观察图形，解答下列问题：

（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；

（2）由

（1），你能得到怎样的等量关系？

请用等式表示；

（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，求：

①a+b的值；②a4﹣b4的值．

北师版七年级下册第一章整式的乘除难题辅导（针对期末考试）

参考答案

一．填空题（共3小题）

1．﹣1或2；2．﹣5或﹣1或﹣3；3．﹣3或2或1；

二．解答题（共37小题）

4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．；16．xn+xn﹣1+…+x+1；17．；18．；19．x5+x4+x3+x2+x+1；

；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；31．11；32．62；[

n（n+1）]2；33．（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；30；156；34．；35．（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（a﹣b﹣c）2=a2+b2+c2+2bc﹣2ab﹣2ac；36．（a+b）2﹣4ab；（a﹣b）2；（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2；37．；38．（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；∴（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；39．a2+2ab+b2=（a+b）2；2；40．；