算法分析与设计习题集整理.docx

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算法分析与设计习题集整理

算法分析与设计习题集整理

第一章算法引论

一、填空题：

1、算法运行所需要的计算机资源的量，称为算法复杂性，主要包括时间复杂度和空间复杂度。

2、多项式

的上界为O（nm）。

3、算法的基本特征：

输入、输出、确定性、有限性。

4、如何从两个方面评价一个算法的优劣：

时间复杂度、空间复杂度。

5、计算下面算法的时间复杂度记为：

O（n3）。

for（i=1;i<=n;i++）

for（j=1;j<=n;j++）

{c[i][j]=0;

for（k=1;k<=n;k++）

c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];

}

6、描述算法常用的方法：

自然语言、伪代码、程序设计语言、流程图、盒图、PAD图。

7、算法设计的基本要求：

正确性和可读性。

8、计算下面算法的时间复杂度记为：

O（n2）。

for（i＝1；i

{y=y+1;

for（j＝0；j<=2n；j++）

x＋＋；

}

9、计算机求解问题的步骤：

问题分析、数学模型建立、算法设计与选择、算法表示、算法分析、算法实现、程序调试、结果整理文档编制。

10、算法是指解决问题的方法或过程。

11、算法由操作、控制结构、数据结构三要素组成。

二、简答题：

1、按照时间复杂度从低到高排列：

O（4n2）、O（logn）、O（3n）、O（20n）、O

（2）、O（n2/3）,O（n!

）应该排在哪一位？

答：

O

（2），O（logn），O（n2/3），O（20n），O（4n2），O（3n），O（n!

）

2、什么是算法？

算法的特征有哪些？

答：

1）算法：

指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。

通俗讲，算法：

就是解决问题的方法或过程。

2）特征：

1）算法有零个或多个输入；２）算法有一个或多个输出；3）确定性；４）有穷性

3、给出算法的定义？

何谓算法的复杂性？

计算下例在最坏情况下的时间复杂性？

for（j=1;j<=n;j++）

（1）

for（i=1;i<=n;i++）

（2）

{c[i][j]=0;（3）

for（k=1;k<=n;k++）（4）

c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j];}（5）

答：

1）定义：

指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。

2）算法的复杂性：

指的是算法在运行过程中所需要的资源（时间、空间）多少。

所需资源越多，表明算法的复杂性越高

3）该算法的主要元操作是语句5，其执行次数是n3次。

故该算法的时间复杂度记为O（n3）.

4、算法A和算法B解同一问题，设算法A的时间复杂性满足递归方程

，算法B的时间复杂性满足递归方程

，若要使得算法A时间复杂性的阶高于算法B时间复杂性的阶，a的最大整数值可取多少？

答：

分别记算法A和算法B的时间复杂性为

和

，解相应的递归方程得：

依题意，要求最大的整数a使得

〈

。

显然，当a<=4时，

〈

；当a>4时，

〈

a<

=16。

所以，所求的a的最大整数值为15。

5、算法分析的目的？

答：

1）为了对算法的某些特定输入，估算该算法所需的内存空间和运行时间；

2）是为了建立衡量算法优劣的标准，用以比较同一类问题的不同算法。

6、算法设计常用的技术？

（写５种）

答：

①分治法;②回溯法；③贪心法；④动态规划法

⑤分治限界法；⑥蛮力法；⑦倒推法

三、算法设计题　

1、蛮力法：

百鸡百钱问题？

2、倒推法：

穿越沙漠问题？

第二章分治算法

（1）----递归循环

一、填空题：

1、直接或间接地调用自身的算法称为递归算法，用函数自身给出定义的函数称为递归函数。

2、递归方程和约束函数（递归终止条件）是递归函数的两个要素。

二、判断题：

1、所有的递归函数都能找到对应的非递归定义。

（√）

2、定义递归函数时可以没有初始值。

（X）

三、简答题：

1、什么是递归算法？

递归算法的特点？

答：

1）递归算法:

是一个模块（函数、过程）除了可调用其它模块（函数、过程）外，还可以直接或间接地调用自身的算法。

2）递归算法特点：

①每个递归函数都必须有非递归定义的初值；否则，递归函数无法计算；（递归终止条件）

②递归中用较小自变量函数值来表达较大自变量函数值；（递归方程式）

2、比较循环与递归的异同？

答：

1）相同：

递归与循环都是解决“重复操作”的机制。

2）不同：

就效率而言，递归算法的实现往往要比迭代算法耗费更多的时间（调用和返回均需要额外的时间）与存贮空间（用来保存不同次调用情况下变量的当前值的栈栈空间），也限制了递归的深度。

每个迭代算法原则上总可以转换成与它等价的递归算法；反之不然。

递归的层次是可以控制的，而循环嵌套的层次只能是固定的，因此递归是比循环更灵活的重复操作的机制。

3、递归算法解题通常有三个步骤？

答：

1）分析问题、寻找递归：

找出大规模问题与小规模问题的关系，这样通过递归使问题的规模逐渐变小。

2）设置边界、控制递归：

找出停止条件，即算法可解的最小规模问题。

3）设计函数、确定参数：

和其它算法模块一样设计函数体中的操作及相关参数。

四、算法设计题：

1、楼梯上有n个台阶，上楼时可以上1步，也可以上2步，设计一递归算法求出共有多少种上楼方法F（n）。

①写出F（n）的递归表达式？

②并写出其相应的递归算法？

解：

①写出F（n）的递归表达式

分析：

到n阶有两种走法：

1）n-1阶到n阶；

2）n-2阶到n阶；

1n=1

F（n）＝2n=2

F（n-1）+F（n-2）n>2

②写出其相应的递归算法？

IntF（intn）

{

if（n=1）return1;

elseif（n=2）

return2;

else

returnF（n-1）+F（n-2）;

}

2、设a,b,c是3个塔座。

开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。

各圆盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍按同样顺序叠置。

在移动圆盘时应遵守以下移动规则：

规则1：

每次只能移动1个圆盘；

规则2：

任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；

规则3：

在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上。

①写出该问题的解题步骤？

②并写出其相应的递归算法？

解：

①第一步：

将n－1个盘子看成一个整体，从A移到C；

第二步：

将第n个盘子移到B;

第三步：

将n－1个盘子看成一个整体，从C移到B；

②写出其相应的递归算法：

voidhanoi（intn,inta,intb,intc）

{if（n>0）

{

hanoi（n-1,a,c,b）;

move（a,b）;

hanoi（n-1,c,b,a）;

}}

第二章分治算法

（2）分治算法

一、填空题：

1、在快速排序、插入排序和合并排序算法中，插入排序算法不是分治算法。

2、合并排序算法使用的是分治算法设计的思想。

3、二分搜索算法是利用分治算法思想设计的。

二、简答题：

1、适合用分治算法求解的问题具有的基本特征？

答：

1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易解决;

2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；

3）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

4）利用该问题分解出子问题解可以合并为该问题解;

2、分治算法基本思想，解题步骤？

三、算法设计题：

1、改写二分查找算法：

设a[1…n]是一个已经排好序的数组，改写二分查找算法，使得当搜索元素x不在数组中时，返回小于x的最大元素位置i，和大于x的最小元素位置j；当搜索元素x在数组中时，i和j相同，均为x在数组中的位置。

并分析其时间复杂度？

解：

intbinsearch（inta[n],intx,）//x待查数据

{intmid,i,j;low=1;

inthigh=n;

while（low<=high）

{mid=（low+high）/2;

if（a[mid]=x）returni=j=mid;

if（a[mid]>x）high=mid-1;//继续在左边查找

else//（a[mid]

low=mid+1;//继续在右边查找

}

i=right;j=left;

return0；//low大于high查找区间为空，查找失败

}

计算时间复杂性为O（logn）

2、棋盘覆盖在一个2k×2k个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其它方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。

在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。

求：

①简述分治算法的基本思想？

②设计该棋盘覆盖问题的分治算法？

③计算所设计算法的时间复杂度？

（要求写出递推公式）

解：

①

分解：

将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同子问题，以便各个击破，分而治之。

对这k个子问题分别求解：

如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止

求小问题解、合并：

将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。

②、③

3、金块问题（求最大最小元问题）

老板有一袋金块（共n块），最优秀的雇员得到其中最重的一块，最差的雇员得到其中最轻的一块。

假设有一台比较重量的仪器，我们希望用最少的比较次数找出最重的金块。

求：

①简述分治算法的基本思想？

②设计该金块问题的分治算法？

③计算所设计算法的时间复杂度？

（要求写出递推公式）

答：

①简述分治算法的基本思想：

问题可以简化为：

在含n（n是2的幂（n>=2））个元素的集合中寻找极大元和极小元。

用分治法（二分法）可以用较少比较次数地解决上述问题：

1）将数据等分为两组（两组数据可能差1），目的是分别选取其中的最大（小）值。

2）递归分解直到每组元素的个数≤2,可简单地找到最大（小）值.

3）回溯时将分解的两组解大者取大，小者取小，合并为当前问题的解。

②、③

第三章动态规划算法

一、填空题：

1、动态规划算法中存储子问题的解是为了避免重复求解子问题。

2、（最优子结构）是问题能用动态规划算法求解的前提。

3、矩阵连乘问题的算法可由（    动态规划      ）算法设计实现。

二、判断题：

1、动态规划算法基本要素的是最优子结构。

（√）

2、最优子结构性质是指原问题的最优解包含其子问题的最优解。

（√）

3、动态规划算法求解问题时，分解出来的子问题相互独立。

（X）

三、简答题：

1、动态规划算法解题步骤？

答：

①找出最优解的性质，并刻划其结构特征;

（即原问题的最优解，包含了子问题的最优解）

②递归地定义最优值;

（即子问题具有重叠性，由子问题定义原问题）

③以自底向上的方式计算出最优值;

④根据计算最优值时得到的信息，构造最优解;

2、动态规划算法基本思想？

答：

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题；

但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。

不同子问题的数目常常只有多项式量级。

在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次；

如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。

3、动态规划与分治算法异同点？

4、动态规划算法的基本要素？

四、算法设计与计算题：

1、

和

的最长公共子序列为

。

问：

若用

记录序列

和

公共子序列长度。

求：

①用动态规划法求解时,计算最优值的递归公式？

　　②设计计算最优值的算法？

以及构造最优解的算法？

2、长江游艇俱乐部在长江上设置了n个游艇出租站1,2…n.游客可在这些游艇出租站租用游艇，并在下游的任何一个游艇出租站归还游艇。

游艇出租站i到游艇出租站j之间的租金为r（i，j），其中1<=i

求：

①用动态规划法求解时,计算最优值（最少租金）的递归公式？

②设计计算最优值（最少租金）的算法？

　　③并分析其时间复杂度？

解：

①

②计算最优值算法

publicstaticvoidmatrixChain（int[]p,int[][]m,int[][]s）

{

intn=p.length-1;

for（inti=1;i<=n;i++）　　m[i][i]=0;　//1个站

for（intr=2;r<=n;r++）

for（inti=1;i<=n-r+1;i++）

{intj=i+r-1;

m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j];

s[i][j]=i;　　　　//断点位置在i处

for（intk=i+1;k

{int　t=m[i][k]+m[k+1][j];

if（t

{m[i][j]=t;s[i][j]=k;}

}}}

构造最优解算法

publicvoidtraceback（ints[][],intI,intj）

{

if（i=j）return;

traceback（s,i,s[i][j]）;

traceback（s,s[i][j]+1,j）;

System.out.println（“A”+i+“，”+s[i][j]+“A”+s[i][j]+1+“,”+j）

}//（m[i,s[i][j]]）（m[s[i][j]+1,j]）

③时间复杂度：

O（n3）

第4章贪心算法

一、填空题：

1、某单位给每个职工发工资（精确到元）。

为了保证不要临时兑换零钱,且取款的张数最少，统计所需各种币值（100,50,20,10,5,2,1元共七种）的张数。

贪心算法如下：

voidgreedy_zhaoling（floatGZ,intB[],intS[]）//GZ应发工资

{for（j=1,j<=7;j++）//贪心选择，依次给最大币种

{A=GZ/B[j];//A表示对应j币种张数

S[j]=S[j]+A;//S[j]存放对应j币种总张数

GZ=GZ-A*B[j];}

for（i=1;i<=7;i++）

print（B[i],“----”,S[i]）;//输出币种和对应张数

}

2、贪心算法的两个基本要素是（贪心选择性）和（最优子结构）。

3、给定n种物品和一个背包。

物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为M，应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。

贪心算法如下：

floatgreedy_knapsack（floatM,floatw[],floatp[],floatx[]）

//x[]背包问题最优解,w[]物品重量，P[]物品价值

{intn=w.length;

floatpp=0;

floatmm＝M;//pp计算当前总价值，mm背包剩余载重

for（inti=1;i<=n;i++）

{floatww[i]=p[i]/w[i]；//计算物品单位价值ww[]

x[i]=0;}//初始化

Mergesort（w[],n）;//按单位价值将物品排序，便于贪心选择

for（inti=1;i<=n;i++）//贪心选择，总是选择价值最大放入背包

{if（w[i]<=mm）//当前物品小于背包剩余载重

{x[i]=1;mm=mm-w[i];pp=pp+p[i];}

else{x[i]=mm/w[i];pp=pp+x[i]*p[i];break;}//i部分放入背包

}

returnpp;

}

二、判断题：

1、满足贪心选择性质必满足最优子结构性质。

（X）

三、简答题：

1、贪心算法的基本思想？

2、贪心算法的基本要素？

3、贪心算法与动态规划算法的异同?

四、算法设计题：

1、假设有7个物品，它们的重量和价值如下表所示。

若这些物品均可以被分割，且背包容量M＝150，如果使用贪心方法求解此背包问题（背包不超载的前提下，装载的物品价值达到最大）。

物品

A

B

C

D

E

F

G

重量

35

30

60

50

40

10

25

价值

10

40

30

50

35

40

30

①利用贪心算法求解该问题时，为了进行贪心选择，首先应该做什么？

然后进行贪心装载，给出一种正确的物品装载顺序？

并给出其最优装载方案？

②利用贪心思想设计该普通背包问题的贪心算法？

③分析其时间复杂度？

解：

①1）依据不同的标准对这些物品进行排序，标准有重量、价值、单位价值；

2）重量从小到大：

FGBAEDC,得到的贪心解为：

FGBAE全部放入,D放入20%，得到价值为165；

价值从大到小：

DFBEGCA，得到的贪心解为：

DFBE全部放入,G放入80%，得到价值为189；

单位价值从大到小：

FBGDECA，得到的贪心解为：

FBGD全部放入,E放入87.5%，得到价值为190.625；

3）显然使用单位价值得出最佳转载方案。

②、③

2、设有n个活动集合，其中每个活动都要求使用同一资源，如足球场，而在同一时间只能有一个活动使用该资源。

每个活动i都有一个要求使用该资源起始时间si和结束时间fi，且si

若两个活动[si，fi）与[sj，fj）不相交，则称活动i与活动j是相容的；

活动安排问题：

就是在所给的活动集合中选出最大相容活动子集合；

求：

①利用贪心算法求解该问题的基本思想？

②设计该活动安排问题的贪心算法？

并分析其时间复杂度？

3、给定下图G＝（V,E）是一个无向连通图，对每一条边（v,w）,其权值为c（v,w）；

求：

①利用prim算法构造其最小生成树，画出其选边的过程？

　　　并构造其算法？

并分析其时间复杂度？

②利用kruskal算法构造其最小生成树，画出其选边的过程？

　　　并构造其算法？

并分析其时间复杂度？

4、对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源（顶点1）到其它顶点间最短路径的过程.

要求：

给出Dijkstra算法的迭代过程，计算源到给个顶点的最短路径？

（用表表示）

解：

见课本123页　　表4-2

解：

迭代过程：

第５章回溯算法

一、填空题

1、回溯法与分支限界法搜索方式不同，回溯法按深度优先搜索解空间，分支限界法按广度优先或最小耗费优先搜索解空间。

二、判断题

1、回溯法中限界函数的目的是剪去得不到最优解的子树。

（√）

2、分支限界法类似于回溯法，也是一种在问题的解空间树T上搜索问题解的算法，两者的搜索方式是相同的。

（X）

三、简答题

1、简述回溯法和分支限界法的相同点和不同点？

2、什么是子集树？

什么是排列树？

什么叫满m叉树？

3、回溯算法的基本思想？

　回溯算法的解题步骤？

四、算法设计题

1、n皇后问题

在4×4格的棋盘上放置彼此不受攻击的4个皇后。

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

用回溯算法解决4皇后问题：

①构造求解该问题的解空间树？

②设计该4皇后问题的回溯算法？

解：

①解空间树

②回溯算法

2、0－1背包问题：

假设有3个物品，它们的重量和价值如下表所示。

若这些物品均不可以被分割，且背包容量M＝10，问应该如何装入使背包中物品的总价值最大？

物品

A

B

C

重量

6

5

5

价值

42

25

30

用回溯算法求解该0－1背包问题：

①构造求解该问题的解空间树？

②设计该0－1背包问题的回溯算法？

解：

1）解空间树;

2）

3、图的着色问题：

如下图

给定无向连通图G和m种不同的颜色；

用这m种颜色为图G的各个顶点着色，是否有一种方法使得图G中每一条边的两个顶点着不同颜色；

求：

①构造求解该问题的解空间树？

②设计该图的着色问题回溯算法？

解：

1）解空间树：

2）算法:

doublemcoloring（intmm）

{intm=mm;//m可用颜色数

doublesum=0;//sum当前着色方案数

backtrack

（1）;//深度优先搜索解空间

returnsum;

}

voidbacktrack（intt）

{if（t>n）//搜索到叶子节点

{sum++;//着色方案数加1

for（inti=1;i<=n;i++）

system.out.print（x[i]）;

}//输出解,顶点i着颜色x[i]

else//搜索到中间节点

{for（inti=1;i<=m;i++）

{x[t]=i;//顶点t着颜色i=1…m

if（ok（t））backtrack（t+1）;

}

}

}

booleanok（intk）//当前着色顶点与以前相邻顶点是否同色

{for（intj=1;j<=n;j++）

if（a[k][j]&&（x[j]==x[k]））　//数组a[][]是图的邻接矩阵

//当前顶点k到j有边：

a[k][j]，且色同：

x[j]==x[k]

returnfalse;

elsereturntrue;}

③算法分析（m种颜色，n个节点）

计算限界函数，一重for循环时间复杂度：

O（n）;

在最坏的情况下每一个内节点都需要判断约束，内节点个数：

1+m+m2+m3+……+mn-1=（mn-1）/（m-1）个；

故图的m着色问题的回溯算法，时间复杂度为：

O（n*mn）。

第六章分支限界算法

一、填空题

1、按照活结点表的组织方式的不同，分支限界法包括队列式分支限界算