圆的标准方程教学设计.docx
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圆的标准方程教学设计
《圆的标准方程》教学设计
（教师用）
成都市洛带中学柳青
教材分析
本节内容位于曲线的方程和方程之后，是求具体曲线的方程。
同时，本节课的研究方法为以后学习椭圆、双曲线、抛物线提供了一个基本模式，因此，可以把圆看作是圆锥曲线的前奏曲。
学情分析
圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.
教法分析
为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“问题－探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.
学法分析
通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求解的过程.
根据上述分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：
教学目标
基础目标：
（1）理解圆的标准方程的推导；
（2）掌握圆的标准方程。
会根据圆的方程，求圆心和半径；反之，会根据圆心和半径写圆的标准方程；
（3）根据不同条件建立圆的标准方程,以及运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题；
（4）进一步熟悉求曲线方程的方法。
提高目标：
培养学生数形结合，由特殊到一般的数学思想；加深对待定系数法的理解；促进学生自主的、创造性的学习。
体验目标：
通过利用已学知识学会分析、解决问题，品尝成功的喜悦，增强学生学习数学的兴趣，并激发学生学习数学的自信心。
教学重点与难点
（1）重点:
圆的标准方程的求法及其应用.
（2）难点：
会根据不同的已知条件求圆的标准方程
教学过程
一、复习引入
1、课前复习填写学案（学案见附录）
教师设问：
求曲线方程的一般步骤
圆的定义
两点间的距离公式
学生回答问题，为圆的标准方程的推导作好准备。
2、创设情景引入新课
教师准备一圆拱模型和卡车模型，作卡车穿过拱桥的实验。
教师设问：
装有货物的卡车能否穿过拱桥？
与那些因素有关？
学生通过观察，找到与圆拱有关，引入新课：
研究圆的方程
二、探究学习
（一）圆的标准方程
1、教师预设：
让学生画圆
学生活动：
学生各画一个圆并比较，让学生亲身感知决定圆的要素，说明圆心和半径确定一个圆；
2、教师预设：
学生画出以（2，3）为圆心，2为半径的圆；圆确定了，圆的方
程也就确定了。
学生推导该圆的方程
教师在学生基础上梳理思路，强调建立方程的依据。
3、由特殊到一般，得出以（a,b）为圆心，半径为r的圆的标准方程
（x-a）2+（y-b）2=r2
教师引导学生观察方程，分析、归纳出方程的特征。
方程特征：
（1）二元二次方程，x,y的系数均为1；
（2）含有a,b,r三个参数；
（3）已知方程可以找出圆心和半径。
4、随堂练习
教师预设：
练习1找出下列圆的圆心和半径
（1）x2+（y+1）2=16
（2）（2x-2）2+（2y+4）2=4
（3）（x+1）2+（y+2）2=m2
学生练习，根据圆的方程找圆心和半径，完成后，学生作答。
教师据学生情况点评。
教师预设：
练习2写出下列各圆的方程
（1）、圆心在原点，半径为r
（2）、经过在点（5，1），圆心在点（8，-3）
学生完成练习并自评，初步体验求圆的标准方程，关键是找到圆心和半径。
（二）例题分析
教师预设：
在练习2基础上巩固提高，根据不同条件求圆的标准方程
例1写出圆心在点（1，3），且与x轴相切的圆的方程。
学生先独立思考，教师在作提示，强调数形结合的思想。
教师口头作简单变式，将X轴改为Y轴。
学生说出答案，再由特殊到一般。
变式：
求以C（1，3）为圆心，和3x-4y-7=0相切的圆。
学生独立完成变式，师作简要点评。
教师预设：
已知切线可求圆的方程，反之，已知圆的方程，如何来求切线的方程呢？
例2已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（3,4）的切线方程。
学生活动：
学生先独立思考，再和其他同学讨论，看能找出几种解法。
教师活动：
教师巡视，了解学生情况，参与到学生的讨论中。
教师请学生展示各自解法，并对学生的解法作出评价，从中提炼出渗透的数学思想和方法，如：
数形结合，待定系数等。
教师预设：
一题多变，改变点的位置，若点在坐标轴上。
变式1：
已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（5,0）的切线方程。
学生活动：
作图直接写出切线的方程
教师预设：
由特殊到一般，根据以上两问启发学生分类讨论。
变式2：
已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0,y0）的切线方程。
学生活动：
写出切线方程。
教师归纳分类讨论的依据。
教师预设：
若圆上的点改在圆外，切线有几条？
怎样求？
变式3：
已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（1,7）的切线方程。
变式4：
已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（5,3）的切线方程。
学生活动：
思考问题
师强调，待定系数时注意斜率存在。
课后思考题：
解决本节引入提出的问题
三、小结：
1、掌握圆的标准方程
2、运用圆的标准方程解决一些简单问题
四、课堂练习
1、圆（2x-2）2+（2y-4）2=（-3）2的圆心为——————————,半径为———————————————.
2、圆心在x轴上且与y轴相切，半径为2的圆的标准方程为————————————
3、圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为——————————————
4、由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程是—————————————————
五、布置作业，学生整理消化
习题7、61、2、3、4
六、板书设计
圆的标准方程
一、复习
二、圆的标准方程例1例2
（x-a）2+（y-b）2=r2
C（a,b）圆心，r半径
附录：
《圆的标准方程》学案（学生用）
一、复习旧知识
1、求曲线方程的一般步骤——————————————————
2、圆的定义——————————————————
3、两点间的距离公式——————————————————
二、圆的标准方程是————————————，其中————————————
练习1找出下列圆的圆心和半径
（1）x2+（y+1）2=16
（2）（2x-2）2+（2y+4）2=4
（3）（x+1）2+（y+2）2=m2
练习2写出下列各圆的方程
（1）、圆心在原点，半径为r
（2）、经过在点（5，1），圆心在点（8，-3）
例题分析
例1、写出圆心在点（1，3），且与x轴相切的圆的方程
变式：
求以C（1，3）为圆心，和3x-4y-7=0相切的圆。
例2、已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（3,4）的切线方程
变式1：
已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（5,0）的切线方程。
变式2：
已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0,y0）的切线方程。
变式3：
已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（1,7）的切线方程。
变式4：
已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（x0,y0）的切线方程。
课后思考题：
解决本节引入提出的问题
三、课堂检测
5、圆（2x-2）2+（2y-4）2=（-3）2的圆心为——————————,半径为———————————————.
6、圆心在x轴上且与y轴相切，半径为2的圆的标准方程为————————————
7、圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为——————————————
8、由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程是—————————————————
课后研究
研究材料一：
《圆的标准方程》课堂实录
（一）复习旧知
师：
前面我们学习了方程的曲线和曲线的方程，同学们还记得求曲线方程的方法吗？
生：
（沉默片刻，齐答）记得
师：
哪几步？
生：
建系、设点
师：
设哪个点？
生：
曲线上的任意一点
师：
好！
第三步（示意学生继续回答）
生：
找等量关系
师：
第四步（话音刚落）
生：
列式、化简
师：
所得方程就是该曲线的方程。
（强调）坐标系是求曲线方程的基本工具。
师：
（紧接着问）初中我们就学过了圆，圆是如何定义的？
生回忆中
师用手比划画圆的动作提示
生：
（答）到定点的距离等于定长的点的轨迹
师：
（补充）或点的集合
师：
第三个问题：
两点间的距离公式又是怎样的？
生：
｜P1P2｜=（x1-x2）2+（y1-y2）2
师在学生回答的同时写出公式。
师：
这些都是我们前面学过的知识，下面请同学们看一下我手里的这个模型。
（二）引入新课
师拿出一个类似圆拱型的桥洞模型和一个代替卡车的盒子，做卡车穿过圆拱的示范。
师：
卡车上装有较高的货物，那么，卡车能穿过吗？
与那些因素有关？
生：
卡车的高和圆拱的高
师：
卡车的货物可以临时调整，但拱桥是事先修建好的，所以最重要的是了解圆拱的高。
圆拱的高既是圆的——（等待学生的回答）
生：
圆的直径。
师：
那么本节课我们就来研究圆的方程（板书课题）（这里创设的情境与本节课的直接系不是很大！
未能体现出为什么要学习园的方程的必要性）
（三）探求圆的标准方程
1、让学生直观感知决定圆的要素
师：
请同学们拿出草稿本，画上直角坐标系，取1厘米为单位长度。
然后，在你的坐标系中随心所欲的画上一个圆。
（师巡视学生画圆的情况）
师：
同学们相互看一下，你们画的圆一样吗？
生：
不一样
师：
（疑惑地）为什么会不一样呢？
生：
（个别学生）因为人不一样
师：
（微笑地）对呀，人不同画的圆就有不同，有的在左边，有的在右边，有的在上面，有的在下面，还有的在中间，在坐标轴上，有的大，有的小，等等（语速较快）。
导致这些情况的根本原因是什么呢？
生：
圆心和半径
师：
（高兴地）非常好！
圆心定位置，半径定大小
请同学们再画一个以（2，3）为圆心，2为半径的圆。
师待学生画好后
师：
看一下，这次你们画出的圆一样吗？
生：
一样
师：
因为
生：
圆心和半径都确定了
2、推导圆的标准方程
师：
由曲线的方程和方程的曲线的概念我们应该知道，既然这个圆已经确定了，那么，它的方程也是确定的，这个方程是什么呢？
请大家马上求该园的方程。
学生独自找探究求该圆的方程，师巡视了解学生情况。
待学生完成，请学生作答
学生甲：
（x-2）2+（y-3）2=4
师（追问）：
怎么得到的？
生口答推导过程，师将其板书在黑板上，并强调P（x，y）是圆上的任意一动点，用到了求曲线方程的基本步骤。
师：
上面是特殊情况，若我将圆心（2，3）改为（a，b），半径2改为r，此时的方程又是什么呢？
生：
（x-a）2+（y-b）2=r2
师：
该方程就称为圆的标准方程。
大家看一下这个方程有什么特征，能帮助我们理解和记忆？
生思考
生1：
左边是平方和，右边是r的平方。
有点像勾股定理。
生2：
a，b是圆心的纵横坐标，r是圆的半径。
生3：
x，y是变量，a、b、r是常数。
师：
大家观察的仔细，圆的方程确实有点相勾股定理的形式，但它并不是勾股定理。
它的实质是两点间的距离公式。
大家要明确方程中各个字母的含义。
可根据圆的定义和推导的方法来记忆，现在大家闭上眼睛默记一下它的形式与特征。
3、即学即练，熟悉圆的标准方程。
师：
已知圆的标准方程，我们就能够找出圆心和半径。
请同学们马上完成练习1。
学生练习，师巡视，待学生完成，抽学生作答。
针对学生回答情况，师作强调和补充。
师：
已知圆的标准方程，能够找出圆心和半径；反之，我们能否写出圆的标准方程呢？
学生练习2
学生自评练习2，师强调，求圆方程的关键是找圆心和半径。
4、层层深入，例题分析
师：
接下来我们再看一下如何根据已知条件求圆的标准方程。
给出例1。
例1：
写出圆心在点（1，3），且与x轴相切的圆的方程。
请同学们先思考，并在草稿本上演算。
片刻后，发现有的学生无从下手
师提示：
关键是找什么？
生：
半径
师：
大家在做题时别忘了作个图，利用图形帮助你分析
生马上作出图形找到了半径，问题解决。
师：
这里我们利用图形帮我们很快找出了解题的思路，这就是我们经常要用到的一种重要的数学思想方法——数形结合的思想。
师：
看图，若该圆与y轴相切，半径是多少？
生：
1
师：
OK!
你看，圆要么与x轴相切，要么与y轴相切，都很特殊，如果是与任意的一条直线相切呢？
出示变式题：
变式：
求以C（1，3）为圆心，和3x-4y-7=0相切的圆的方程。
学生完成例1的变式题
生：
点到直线的距离即为圆的半径，所以圆的标准方程为（x-1）2+（y-3）2=（16/5）2
师：
很好，那么根据圆心和切线，我们可以求出圆的标准方程，反过来，已知圆的方程，我能否求出切线的方程呢？
比如下面的例2。
例2、已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（3,4）的切线方程
请大家先独立思考，找出思路，再和其他同学讨论一下，看谁找出的方法最多。
学生思考讨论中，师巡视。
师：
很多同学都已经完成了，好，我们一起来分享大家的解法。
（学生举手）
生甲：
可求直线OM的斜率，进而找到切线的斜率，再借助点斜式写出切线的方程。
（师根据学生回答在黑板上板书过程）
师：
好的，不错。
还有没有其它的解法？
学生乙：
设切线的斜率为K，写出切线方程，在用点到直线的距离等于半径列等量关系，求出K的值。
师：
这种方法称为——
生：
待定系数法
师：
这也是我们经常用到的一种数学方法，还有没有其它方法？
学生丙：
还可以用向量
师：
向量怎么解？
学生丙：
切线上任取一点P（x,y），就有OM•MP=0
师：
哦，所得方程就是切线方程，这种解法再次体现了我们求曲线方程的几个基本步骤。
还有没有其它解法？
生迟疑
师在黑板上比划直角三角形。
生：
还可以用勾股定理建立等量关系
师：
前两法我们是待定系数求K，后两法主要依据求曲线方程的方法。
对于前两法我们求K，是因为K存在，如果K不存在呢？
你还求得出K吗？
比如：
将点M（3，4）变为点M（5，0），此时切线方程又是多少？
学生作出图形，马上口答
生：
切线方程是x=5
师：
如M为（0，-5）呢？
生：
y=-5
师：
此时还需要求斜率K吗？
生：
不需要
师：
说明点M的位置很重要。
好，我们现在将以上特殊情况推广到一般情况，即变式练习2，请同学们完成。
变式练习：
变式1：
已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（5,0）的切线方程。
变式2：
已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0,y0）的切线方程。
变式3：
已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（1,7）的切线方程。
变式4：
已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（x0,y0）的切线方程
学生思考变式练习2，师了解学生情况，给个别学生答疑。
（大部分学生完成）
师：
找到切线方程没有？
生：
找到了
师：
是多少
生丁：
要分类，看斜率是否存在，斜率存在时就和例1一样，斜率不存在时就直接写出切线方程
师：
非常好！
这里我们用到了分类讨论的思想，而分类的依据是因为点M的位置不确定，所以要看点M是否在坐标轴上。
现在大家回顾整理一下本题的解题思路（给学生留片刻时间整理本题思路）
师：
我们刚才的点都是在圆上的，如果点M在圆外呢？
这时，切线的方程又该怎样来找呢？
请同学们下来思考例2的变式3和变式4，下节课我们再来解决这个问题。
师：
好，请同学们抬起头来，闭上眼睛，回忆一下本节课所学的内容。
学生准备好
:
师：
（轻声地，慢慢地）一是圆的标准方程，它的推导思路和它的特征；二是根据已知条件求圆的标准方程；三是运用圆的标准方程解决一些简单的问题。
停顿片刻
师：
本节课的内容你都掌握了吗？
请同学们马上完成课堂练习，自我检测。
下课了，学生还没有做完，请同学们下来继续完成。
研究材料二：
教学反思
圆的标准方程，这节内容我安排了两节课的时间，这节课主要是圆的标准方程的推导和一些简单的运用。
在平面解析几何中，我认为这节内容很重要，因为它的研究方法为以后学习圆锥曲线提供了一个基础模式，如果学生掌握得好，后面的学习会轻松许多。
由于我所面对的学生初中数学基础还不错，所以在简要复习旧知识后，我引入了生活中的一个常见问题引发学生的疑问，产生认知冲突形成愤悱的氛围，进而提高学生学习本节内容的兴趣。
圆的标准方程是求曲线方程的一个具体表现，但学生对圆的标准方程还是很陌生，难以将圆与圆的标准方程紧密联系起来。
基于此，我想通过学生的切身体验；来发现圆的决定要素，让学生明确一个圆对应一个方程，在此基础上借助求曲线方程的基本步骤,由学生自主探究推导出以（2,3）为圆心，2为半径的圆的标准方程，再由特殊到一般，利用化归的思想归纳出以（a,b）为圆心,r为半径的圆心的标准方程。
并引导学生找出方程的特征，以帮助学生理解和记忆，及时掌握。
例题教学的设计，还是紧密围绕圆的标准方程这一目标展开，主要加深对圆的标准方程的理解及一些简单的应用。
例题安排不多，但变式较多，变式的设计由特殊到一般，由简到繁，由浅入深，层层入深，让学生的思维得以提高,比较符合学生的认知规律,这样学生接受起来比较容易。
课堂练习，是对本节课目标落实情况的检测，让学生明确本节课应该到达什么样的目标，题不多,很基础，主要是激发学生的兴趣和增强学习的自信。
整个教学设计，我的希望是以学生自主学习为主，所以很多问题都由学生独立思考或讨论完成，教师仅仅是一个引路人，让学生的主体地位得到充分体现，注重学生思维的形成过程,并将数学思想方法渗透到教学中。
总的来说，这节课几乎是按自己的教学设计在进行，而且顺利地完成了。
应该说在学生动手，双基落实方面还不错，学生的活动也比较充分，教师仅是及时的引导和点评，让学生的主体性得到了较为充分的体现。
另外，在教学中不断的渗透数学思想和方法，让学生思维得到提升。
当然，这节课还有很多不足的地方。
比如：
在变式练习时，未写出切线的方程，缺乏解题和板书的完整性；另外，后面的课堂练习也没有得到及时的反馈，这是较遗憾的。
从这堂课的教学设计和教学的过程中，我得到了锻炼和提高，这对我在今后的教学有很大的帮助。
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