高中数学教参集合.docx

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高中数学教参集合

[备考方向要明了]

考什么

怎么考

1.集合的含义与表示

（1）了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．

（2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．

2.集合间的基本关系

（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义．

3.集合的基本运算

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

（3）能使用韦恩（Venn）图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.

1.对集合的含义与表示的考查主要涉及集合中元素的互异性以及元素与集合之间的关系，考查利用所学的知识对集合的性质进行初步探究的基本逻辑能力，如2009年高考T14.

2.对于两个集合之间关系的考查主要涉及以下两个方面：

（1）判断给定两个集合之间的关系，主要是子集关系的判断．

（2）以不等式的求解为背景，利用两个集合之间的子集关系求解参数的取值范围问题，如2009年高考T11.

3.集合的基本运算在高考命题中主要与简单不等式的求解、函数的定义域或值域的求法相结合考查集合的交、并、补运算，以补集与交集的基本运算为主，考查借助数轴或Venn图进行集合运算，如2010年高考T1；2011年高考T1，T14；2012年高考T1

[归纳知识整合]

1．元素与集合

（1）集合元素的特性：

确定性、互异性、无序性．

（2）集合与元素的关系：

若a属于A，记作a∈A；若b不属于A，记作b∉A.

（3）集合的表示方法：

列举法、描述法、图示法．

（4）常见数集及其符号表示：

数集

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*或N＋

Z

Q

R

[探究]　1.集合A＝{x|x2＝0}，B＝{x|y＝x2}，C＝{y|y＝x2}，D＝{（x，y）|y＝x2}相同吗？

它们的元素分别是什么？

提示：

这4个集合互不相同，A是以方程x2＝0的解为元素的集合，即A＝{0}；B是函数y＝x2的定义域，即B＝R；C是函数y＝x2的值域，即C＝{y|y≥0}；D是抛物线y＝x2上的点组成的集合．

2．0与集合{0}是什么关系？

∅与集合{∅}呢？

提示：

0∈{0}，∅∈{∅}或∅⊆{∅}．

2．集合间的基本关系

表示

关系　　

文字语言

符号语言

相等

集合A与集合B中的所有元素都相同

A⊆B且B⊆A

⇔A＝B

子集

A中任意一个元素均为B中的元素

A⊆B或B⊇A

真子集

A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素

AB或BA

空集

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

∅⊆A

∅B（B≠∅）

[探究]　3.对于集合A，B，若A∩B＝A∪B，则A，B有什么关系？

提示：

A＝B.假设A≠B，则A∩BA∪B，与A∩B＝A∪B矛盾，故A＝B.

3．集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

符号表示

A∪B

A∩B

若全集为U，则集

合A的补集为∁UA

图形表示

意义

{x|x∈A，或x∈B}

{x|x∈A，且x∈B}

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

[探究]　4.同一个集合在不同全集中的补集相同吗？

提示：

一般情况下不相同，如A＝{0,1}在全集B＝{0,1,2}中的补集为∁BA＝{2}，在全集D＝{0,1,3}中的补集为∁DA＝{3}．

[自测牛刀小试]

1．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m＝________

解析：

∵5∈{1，m＋2，m2＋4}，

∴m＋2＝5或m2＋4＝5，

即m＝3或m＝±1.

当m＝3时，M＝{1,5,13}；当m＝1时，M＝{1,3,5}；

当m＝－1时M＝{1,1,5}不满足互异性．

∴m的值为3或1.

答案：

3或1

2．（教材改编题）已知集合A＝{1,2}，若A∪B＝{1,2}，则集合B有________个．

解析：

∵A＝{1,2}，A∪B＝{1,2}，

∴B⊆A，∴B＝∅，{1}，{2}，{1,2}．

答案：

4

3．（2013·南京四校联考）若全集U＝{0,1,2,3,4}，集合M＝{0,1}，集合N＝{2,3}，则（∁UM）∩N＝________.

解析：

∵∪＝{0,1,2,3,4}，M＝{0,1}，∴∁UM＝{2,3,4}，∴（∁U）∪N＝{2,3}．

答案：

{2,3}

4．定义集合运算：

A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0，2}，则集合A*B的所有元素之和为________．

解析：

∵z＝xy，x∈A，y∈B，且A＝{1,2}，B＝{0,2}，∴z的取值有：

1×0＝0；1×2＝2；2×0＝0；2×2＝4.故A*B＝{0,2,4}．

∴集合A*B的所有元素之和为：

0＋2＋4＝6.

答案：

6

5．（教材改编题）设集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B＝__________，A∩B＝__________，（∁UA）∩（∁UB）＝__________.

解析：

∵A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|x≥3}，

∴∁UA＝{x|x<2，或x≥4}，∁UB＝{x|x<3}．

∴A∪B＝{x|x≥2}，A∩B＝{x|3≤x<4}，

（∁UA）∩（∁UB）＝{x|x<2}．

答案：

{x|x≥2}　{x|3≤x<4}　{x|x<2}

集合的基本概念

[例1]　

（1）（2013·济南模拟）若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为________．

（2）已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若9∈（A∩B），则实数a＝________.

[自主解答]　

（1）集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}．

故所求集合中元素的个数为3.

（2）∵9∈（A∩B），∴9∈A且9∈B，

∴2a－1＝9或a2＝9.

∴a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4，9}，符合题意；当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B不满足集合中元素的互异性，故a≠3；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8，4,9}，符合题意．

∴a＝5或a＝－3.

[答案]　

（1）3　

（2）5或－3

本例

（2）中，将“9∈（A∩B）”改为“A∩B＝{9}”，其他条件不变，则实数a为何值？

解：

∵A∩B＝{9}，∴9∈A且9∈B，

∴2a－1＝9或a2＝9，

即a＝5或a＝±3.

当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，

∴A∩B＝{－4,9}，不满足题意，

∴a≠5.

当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{－2，－2,9}，不满足集合中元素的互异性，∴a≠3.

当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，

∴A∩B＝{9}，符合题意，

∴a＝－3.　　　　

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解决集合问题的一般思路

（1）研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．

（2）对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．

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1．

（1）已知非空集合A＝{x∈R|x2＝a－1}，则实数a的取值范围是________．

（2）已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．

解析：

（1）∵集合A＝{x∈R|x2＝a－1}为非空集合，

∴a－1≥0，即a≥1.

（2）∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，

即1－2＋a≤0，∴a≤1.

答案：

（1）[1，＋∞）　

（2）（－∞，1]

集合间的基本关系

[例2]　已知集合A＝{x|0

，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．

[自主解答]　A中不等式的解集应分三种情况讨论：

①若a＝0，则A＝R；

②若a<0，则A＝

；

③若a>0，则A＝

.

当a＝0时，若A⊆B，此种情况不存在．

当a<0时，若A⊆B，如图，

则

即

又∵a<0，∴a<－8.

当a>0时，若A⊆B，如图，

则

即

又∵a>0，∴a≥2.

综上知，当A⊆B时，a<－8或a≥2.

[答案]　（－∞，－8）∪[2，＋∞）

保持例题条件不变，当a满足什么条件时，B⊆A?

解：

当a＝0时，显然B⊆A；

当a<0时，若B⊆A，如图，

则

即

又∵a<0，∴－

当a>0时，若B⊆A，如图，

则

即

又∵a>0，∴0

综上知，当B⊆A时，－

—————

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根据两集合的关系求参数的方法

已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论，还要注意能否取到端点值．

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2．已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m＝________.

解析：

当B＝∅时，m＝0，显然成立；

当B＝{2}时，

＝2，即m＝3；

当B＝{3}时，

＝3，即m＝2.

故m＝0或2或3.

答案：

0或2或3

集合的基本运算

[例3]　

（1）（2012·江苏高考）已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2，4,6}，则A∪B＝________.

（2）（2012·威海模拟改编）已知集合A＝{1,2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝

，则A∪B＝________.

（3）（2012·武汉模拟）已知A，B均为集合U＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A∩B＝{3}，（∁UB）∩A＝{1}，（∁UA）∩（∁UB）＝{2,4}，则B∩（∁UA）＝________.

[自主解答]　

（1）∵A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，

∴A∪B＝{1,2,4,6}．

（2）由A∩B＝

得2a＝

，解得a＝－1，则b＝

.所以A＝

，B＝

，则A∪B＝

.

（3）依题意及韦恩图得，B∩（∁UA）＝{5,6}．

[答案]　

（1）{1,2,4,6}　

（2）

　（3）{5,6}

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1.集合的运算口诀

集合的交、并、补运算口诀如下：

交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集.

2.解决集合的混合运算的方法

解决集合混合运算时，一般先运算括号内的部分.当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴求解.

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3．（2012·枣庄模拟改编）已知全集U＝Z，集合A＝{x|x2＝x}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为________．

解析：

由A＝{x|x2＝x}得A＝{0,1}，图中阴影部分所表示的集合是由不在集合A中，但在集合B中的元素构成的集合，即（∁UA）∩B，易知（∁UA）∩B＝{－1,2}．故图中阴影部分所表示的集合为{－1,2}．

答案：

{－1,2}

集合中的新定义问题

[例4]　（2012·东城模拟改编）非空集合G关于运算⊕满足：

（1）对任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；

（2）存在c∈G，使得对一切a∈G，都有a⊕c＝c⊕a＝a，则称集合G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：

①G＝{非负整数}，⊕为整数的加法；

②G＝{偶数}，⊕为整数的乘法；

③G＝{平面向量}，⊕为平面向量的加法；

④G＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法．

其中G关于运算⊕为“融洽集”的是________．

[自主解答]　②错，因为不满足条件

（2）；④错，因为不满足条件

（1）．

[答案]　①③

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解决新定义问题应注意以下几点

（1）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的本质．

（2）按新定义的要求“照章办事”，逐步分析、验证、运算，使问题得以解决．

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4．若x∈A，则

∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝

的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．

解析：

具有伙伴关系的元素组是－1；

，2.

所以具有伙伴关系的集合有3个：

{－1}，

，

.

答案：

3

1组转化——两个集合的运算与包含关系之间的转化

在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系，在一定的情况下，集合的运算关系和包含关系之间可以相互转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩（∁UB）＝∅，在解题中运用这种转化能有效简化解题过程．

3种技巧——集合的运算技巧

（1）对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考查等号．

（2）对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．

（3）两个有限集合相等，可以从两个集合中的元素相同求解，如果是两个无限集合相等，从两个集合中元素相

同求解就不方便，这时就根据两个集合相等的定义求解，即如果A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

5个注意——解答集合题目应注意的问题

（1）认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件．

（2）要注意区分元素与集合的从属关系以及集合与集合的包含关系．

（3）要注意空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．

（4）运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．

（5）在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.

创新交汇——与集合运算有关的交汇问题

1．集合的运算是高考的常考内容，以两个集合的交集和补集运算为主，且常与函数、不等式、三角函数、向量等内容相结合，以创新交汇问题的形式出现在高考中．

2．解决集合的创新问题常分三步：

（1）信息提取，确定化归的方向；

（2）对所提取的信息进行加工，探求解决方法；

（3）将涉及到的知识进行转换，有效地输出，其中信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点．

[典例]　（2012·重庆高考改编）设平面点集A＝

，B＝{（x，y）|（x－1）2＋（y－1）2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为________．

[解析]　不等式（y－x）·

≥0可化为

或

集合B表示圆（x－1）2＋（y－1）2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A∩B所表示的平面区域如图所示．曲线y＝

，圆（x－1）2＋（y－1）2＝1均关于直线y＝x对称，所以阴影部分占圆面积的一半．

[答案]　

1．本题具有以下创新点

（1）命题方式的创新：

题目并不是直接求解不等式组

所表示的平面区域的面积，而是以求集合交集的形式考查．

（2）考查内容的创新：

本题通过集合A，B考查了一次函数y＝x、反比例函数y＝

的图象和圆的方程（x－1）2＋（y－1）2＝1，以及圆和函数y＝

的图象的对称性、不等式所表示的平面区域等内容．

2．解决本题的关键有以下两点

（1）正确识别集合A与集合B中元素的几何性质，并正确画出各自所表示的区域；

（2）注意到圆（x－1）2＋（y－1）2＝1与函数y＝

（x>0）的图象都关于直线y＝x对称．

3．在解决以集合为背景的创新交汇问题时，应重点关注以下两点

（1）认真阅读，准确提取信息，是解决此类问题的前提．如本题应首先搞清集合A与B的性质，即不等式表示的点集．

（2）剥去集合的外表，将未知转化为已知是解决此类问题的关键，如本题去掉集合的外表，将问题转化为求解不等式组表示的平面区域问题．

1．已知A＝{（x，y）|y＝|lnx|}，B＝

，则A∩B的子集个数为________．

解析：

A∩B中元素的个数就是函数y＝|lnx|的图象与椭圆

＋

＝1的交点个数，如图所示．由图可知，函数图象和椭圆有两个交点，即A∩B中有两个元素，故A∩B的子集有22＝4个．

答案：

4

2．设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝

，则M∩N＝________.

解析：

∵y＝|cos2x－sin2x|＝|cos2x|，且x∈R，

∴y∈[0,1]，∴M＝[0,1]．在N中，x∈R且

<

，∴|x＋i|<

，

∴x2＋1<2，解得－1

∴M∩N＝[0,1）．

答案：

[0,1）

3．设M＝{a|a＝（2,0）＋m（0,1），m∈R}和N＝{b|b＝（1,1）＋n（1，－1），n∈R}都是元素为向量的集合，则M∩N＝________.

解析：

设c＝（x，y）∈M∩N，则有（x，y）＝（2,0）＋m（0,1）＝（1,1）＋n（1，－1），即（2，m）＝（1＋n,1－n），所以

由此解得n＝1，m＝0，（x，y）＝（2,0），

即M∩N＝{（2,0）}．

答案：

{（2,0）}

一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．（2013·盐城高三摸底）已知集合P＝{－2,0,2,4}，Q＝{x|0＜x＜3}，则P∩Q＝________.

解析：

由题易知P∩Q＝{2}．

答案：

{2}

2．（2012·南通、泰州、扬州调研）设全集U＝Z，集合A＝{x|x2－x－2≥0，x∈Z}，则∁UA＝________（用列举法表示）．

解析：

由x2－x－2≥0得x≥2或x≤－1，从而∁UA＝（－1,2），其整数元素有0和1.

答案：

{0,1}

3．（2012·常州高三期末）已知集合A＝{－1,0,2}，B＝{2a}，若B⊆A，则实数a的值为________．

解析：

因为2a>0，且2a∈A，所以2a＝2，解得a＝1.

答案：

1

4．（2012·辽宁高考改编）已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则（∁UA）∩（∁UB）＝________.

解析：

∁UA＝{2,4,6,7,9}，∁UB＝{0,1,3,7,9}，

则（∁UA）∩（∁UB）＝{7,9}．

答案：

{7,9}

5．已知S＝{（x，y）|y＝1，x∈R}，T＝{（x，y）|x＝1，y∈R}，则S∩T＝________.

解析：

集合S表示直线y＝1上的点，集合T表示直线x＝1上的点，S∩T表示直线y＝1与直线x＝1的交点．

答案：

{（1,1）}

6．（2013·南京四校联考）已知集合P＝{－1，m}，Q＝

，若P∩Q≠∅，则整数m＝________.

解析：

由条件得m∈Q，即－1

，从而整数m＝0.

答案：

0

7．设函数f（x）＝lg（1－x2），集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}，则图中阴影部分表示的集合为________．

解析：

因为A＝{x|y＝f（x）}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1

故图中阴影部分表示的集合为（－∞，－1]∪（0,1）．

答案：

（－∞，－1]∪（0,1）

8．（2012·天津高考）已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝________，n＝________.

解析：

A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

由A∩B＝（－1，n）可知m<1，

则B＝{x|m

答案：

－1　1

9．对于任意的两个正数m，n，定义运算⊙：

当m，n都为偶数或都为奇数时，m⊙n＝

，当m，n为一奇一偶时，m⊙n＝

，设集合A＝{（a，b）|a⊙b＝6，a，b∈N*}，则集合A中的元素个数为________．

解析：

（1）当a，b都为偶数或都为奇数时，

＝6⇒a＋b＝12，即2＋10＝4＋8＝6＋6＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，故符合题意的点（a，b）有2×5＋1＝11个．

（2）当a，b为一奇一偶时，

＝6⇒ab＝36，即1×36＝3×12＝4×9＝36，故符合题意的点（a，b）有2×3＝6个．

综上可知，集合A中的元素共有17个．

答案：

17

10．（原创题）已知f（x）＝x2＋bx＋c，若集合{x|f（x）＝x}为空集，则{x|f（f（x））＝x}中元素个数为________．

解析：

f（x）＝x无实根，则二次函数图象f（x）＝x2＋bx＋c在直线y＝x上方，即f（x）>x，所以f（f（x））>f（x）>x.

答案：

0

二、解答题（本大题共4小题，共60分）

11．（满分14分）A＝{x|－21}，B＝{x|a≤x－2}，A∩B＝{x|1

解：

∵A∩B＝{x|1

又A∪B＝{x|x>－2}，

∴－2

又A∩B＝{x|1

∴－1≤a<1，

∴a＝－1.

12．（满分14分）（2013·连云港调研）已知集合A＝{x|y＝

}，集合B＝{x|y＝lg（－x2－7x－12）}，集合C＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．

（1）求A∩B；

（2）若A∪C＝A，求实数m的取值范围．

解：

（1）∵A＝（－∞，－2]∪[7，＋∞），

B＝（－4，－3），

∴A∩B＝（－4，－3）．

（2）∵A∪C＝A，

∴C⊆A.

①C＝∅，2m－1

②C≠∅，则

或

解得m≥6.

综上可得，实数m的取值范围是m<2或m≥6.

13．（满分16分）（2012·衡水模拟）设全集I＝R，已知集合M＝{x|（x＋3）2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．

（1）求（∁IM）∩N；

（2）记集合A＝（∁IM）∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．

解：

（1）∵M＝{x|（x＋3）2≤0}＝{－3}，N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，

∴∁IM＝{x|x∈R且x≠－3}，

∴（∁IM）∩N＝{2}．

（2）A＝（∁IM）∩N＝{2}，

∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝∅或B＝{2}，

当B＝∅时，a－1>5－a，∴a>3；

当B＝{2}时，

解得a＝3，

综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．

14．（满分16分）已知M＝{（x，y）|y＝x2}，N＝{（x，y）|x