几何画板的变换操作.docx

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几何画板的变换操作

第三讲授课提纲

主题：

几何画板的变换操作

一、基础知识

几何画板的变换操作主要有五类，即平移（将一个（组）图形沿x轴、y轴方向确定的距离平移，或沿确定的方向（角度）、距离平移，或按标识的向量平移）；旋转（将一个（组）图形绕“标识中心”点旋转一个角度（逆时针为正角））；缩放（将一个（组）图形以“标识中心”点为中心缩放）；反射（将一个（组）图形以“标识镜面”线为对称轴反射），用这些变换命令可作出一系列的全等形和相似形。

几何画板还提供了迭代功能（将选择的点或参数迭代形成对象或数值），可以实现循环、重复的过程。

在5.0版本中，新增加了自定义变换功能，它可以将以上的基本变换组合成一个新的变换，这样为变换操作提供了极大的方便。

实现变换操作有两种途径：

变换工具和变换菜单命令。

变换工具可以实现对象的平移、旋转和缩放，而变换菜单命令不仅能实现对象的平移、旋转和缩放，还能实现对象的反射和迭代。

变换菜单中的命令可以按指定值、计算值和动态值进行变换、旋转、缩放和迭代。

为了加深对变换的理解，我们不妨借助数学变换的公式进行介绍，其中的一些参数如

、

、

和

等正是我们在使用变换菜单时必须填写的。

在数学上：

（1）平移变换的公式为：

其中的

为水平方向的位移，

为垂直方向的位移；

（2）旋转变换的公式为：

其中的

为旋转的角（逆时针方向）；

（3）缩放变换的公式为（设坐标原点为缩放中心）：

其中的

为缩放比；

（4）反射变换的公式为（分别设y轴、x轴为对称轴）：

或

；

从数学变换的角度来看，基本的变换公式还可以有许多，其中有一些有很好的应用，在此仅举一例加以说明。

（5）仿射变换的公式为：

注意到当

时，仿射变换即为旋转变换。

旋转变换是正交的

，它将圆仍变换为圆；而仿射变换则不一定是正交的，因为

，一般地，它将圆变换为一个椭圆，这为我们画椭圆提供了一种方法。

说明：

（1）上述基本的变换可以经过有效组合产生许多变换，由此出发可以定义许多自定义变换，比如：

旋转+缩放、旋转+平移、缩放+反射等；

（2）上述基本的变换中的参数如

、

、

和

等不一定都取静态值，它们完全可以是另一些对象的度量值，由此出发可以定义若干动态变换。

动态变换的优点在于随着参数

、

、

和

等的不同，变换后的图形也是动态的，这给我们进行几何问题的探索提供了有利的环境。

二、实例

1.作一个相邻三条棱的大小与方向都可改变的平行六面体

[简要步骤]：

（1）在绘图窗口中作三条交于一点的线段AB、AC、AD；

（2）选点A、B、C和线段AB、AC，利用变换菜单的“平移”命令，在对话框内（参见图3.1（a））选“直角坐标”，在水平方向填入3，垂直方向填入0，得到点A、B、C和线段AB、AC；

（3）选点A、B，利用变换菜单的“标识向量”命令，标识向量AB；

（4）选线段AC和端点C，利用变换菜单的“平移”命令，在对话框内（参见图3.1（b））选“标记”平移得到线段BD，连接CD，得到平行四边形ABDC；

（a）（b）

图3.1

（5）选点A、D，利用变换菜单的“标识向量”命令，标识向量AD；

（6）选中整个平行四边形ABDC，利用变换菜单的“平移”命令，在对话框内选“根据标识的向量”平移得到平行四边形ABDC，连接线段AA、BB、DD和CC，并将线段AC、CC、CD改为虚线，即得到所需的平行六面体ABDC-ABDC，如图3.2所示；

（7）分别拖动点B、D、C，或它们的组合，观察平行六面体ABDC-ABDC的变化情况。

图3.2

2.制作0~90中每隔10的正弦、余弦函数表……书上P21例4

分析：

为了精确制作每隔10的正弦、余弦函数表，必须保证角度精确无误。

于是想到利用旋转得到精确的角度，然后计算出相应的正弦、余弦值，最后制成表格。

[简要步骤]：

（1）在绘图窗口中作线段AB，以圆心A，点B为圆上一点作圆；

（2）以点A为旋转中心，将点B旋转10得点C，将点C旋转10得点D，…，将点J旋转10得点K；

（3）在圆上任取一点L，连接AL，测量∠BAL，并计算sin∠BAL、cos∠BAL的值；

（4）分别作点L到点B、点C、点D、…、点K的运动按钮0、按钮1、按钮2、…、按钮9；

（5）单击按钮0，得∠BAL为0，依次选中∠BAL的值、sin∠BAL的值以及cos∠BAL的值，利用图表菜单中“制表”，得∠BAL为0时正弦、余弦的值的表格；

（6）依次单击表格和按钮1，此时表格的项目增加了一列；

（7）依次单击表格和按钮2、表格、按钮3、表格、…、按钮9、表格，完成表格制作。

图3.3

3.利用动画演示一个四边形的轴对称图形的形成过程

[简要步骤]：

（1）在绘图窗口中任意作四点A、B、C、D四点，并依次连接，构造一个四边形；同时选中四个顶点，构造四边形的内部（取适当的颜色）；

（2）选中四边形的内部，利用作图菜单中“四边形上的点”，构造能在四边形的四条边上、且只能在四边形的四条边上运动的点E；

（3）作一条线段（或直线），双击该线，使其成为“标识镜面”，即对称轴；

（4）利用变换菜单中“反射”，作点E关于镜面的对称点E，利用显示菜单，选择跟踪对称点E；

（5）选中点E以及四边形ABCD的内部，构造“动画”按钮，单击动画即可，见图3.4所示。

图3.4

4.斜1/2方法制作椭圆

利用仿射变换：

作一个椭圆。

[简要步骤]：

（1）新建一个绘图窗口，在绘图窗口中利用图表菜单中“定义坐标系”作出一个直角坐标系，原点为A，单位点为B（1，0），在x轴上任选点C；

（2）以A为圆心，C为圆周上一点画圆，在圆周上任取一点D；

（3）利用测算菜单中“横坐标”、“纵坐标”度量出点D的坐标；

（4）再利用测算菜单中“计算”，使用计算器计算出xE=

和yE=

的值，从而得到点E的坐标（xD，yD）；

（5）选中xE和yE，利用图表菜单中的“绘制点”，绘制出点E。

（6）选中主动点D和被动点E，利用作图菜单中“轨迹”，即可作出一个椭圆（如图3.5）。

读者可改变两个角的度数，进而观察椭圆相应的变化情况。

图3.5

5.作一个“模拟万花筒”，包含8个全等的大三角形、8个全等的小三角形，大三角形和小三角形是相似的……电子版书上P12例5

6．利用“变换”菜单中的“迭代”功能，作出三角形经过“旋转+缩放”变换后的图象……电子版书上P13例6

7．使用迭代命令作如图1.14所示的分形树……电子版书上P14例7：