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沈阳工业大学创新性实验

沈阳工业大学创新性实验

光的干涉与衍射模拟仿真

学院:

机械工程学院

班级:

机自1001班

姓名:

钱雪

学号:

100101129

指导教师:

王威

 

光的干涉与衍射的研究

 

1光的双缝干涉

两束频率相同的单色光在空间某点相遇时,讨论光强和干涉条纹的分布规律。

根据波的叠加理论,两束同频率单色光在空间某一点光矢量的大小为

E1=E10cos(ωt+φ10),E2=E20cos(ωt+φ20),(7.1.1)

其中,E10和E20分别是两个光矢量的振幅,φ10和φ20分别是初相。

如果两个光矢量的方向相同,合成的光矢量为

E=E0cos(ωt+φ0),(7.1.2)

其中,振幅和初相分别为

,(7.1.3a)

(7.1.3b)

在一定时间内观察到的平均光强I与光矢量的平方的平均值成正比

,(7.1.4)

其中a是比例系数。

对于普通光源,两光波之间的相位差φ20–φ10是随机变化的,平均值为零,因此

(7.1.5)

这就是光的非相干叠加,总光强等于两束光各自照射时的光强之和。

如果两束光的相位差恒定,则合成光强为

,(7.1.6a)

其中Δφ=φ20–φ10,第三项是干涉项。

这就是光的相干叠加。

如果I1=I2,则合成光强为

(7.1.6b)

[讨论]①当Δφ=2kπ时(k=0,±1,±2,…),满足这样条件的空间各点的光强最大

,(7.1.7a)

或IM=4I1。

(7.1.7b)

这种干涉是光的相长干涉。

②当Δφ=(2k+1)π时(k=0,±1,±2,…),满足这样条件的空间各点,合光强最小

,(7.1.8a)

或Im=0。

(7.1.8b)

这种干涉是光的相消干涉。

[算法]当两个光源的强度相等时,相对光强为

(7.1.6b*)

干涉条纹用图像指令image绘制,颜色用色图指令colormap控制。

colormap指令中有三个参数向量[r,g,b]构成颜色矩阵,分别表示红色,绿色和蓝色,其值在0到1之间。

在用红色画条纹时,变量r取0到1共64的列向量,变量g和b都清零。

[程序]

%两束相干光的干涉强度和干涉条纹

clear%清除变量

n=3;%条纹的最高阶数

dphi=0.01;%相差的增量

phi=(-1:

dphi:

1)*n*2*pi;%相差向量

i=4*cos(phi/2).^2;%干涉的相对强度

fs=16;%字体大小

figure%创建图形窗口

subplot(2,1,1)%取子图

plot(phi,i)%画曲线

gridon%加网格

set(gca,'xtick',(-n:

n)*2*pi)%改水平刻度

axis([-n*2*pi,n*2*pi,0,4])%曲线范围

title('光的干涉强度分布','fontsize',fs)%标题

xlabel('相差\Delta\it\phi','fontsize',fs)%x标签

ylabel('相对强度\itI/I\rm_1','fontsize',fs)%y标签

subplot(2,1,2)%取子图

b=linspace(0,1,64)';%绿色的范围

g=zeros(size(b));%不取绿色

r=zeros(size(b));%不取红色

colormap([rgb]);%形成色图

image(i*21)%画红色条纹(乘以21放大强度,最大为64)

axisoff%隐轴

title('光的干涉条纹','fontsize',fs)%标题

P7.1

[图示]如P7.1图所示,两个相干光强度相同,发生干涉后最小相对光强为0,最大相对光强为4。

光强曲线最大的地方对应明条纹的中央,相差为2π的整数倍;光强曲线为零的地方对应暗条纹中央,相差为π的奇数倍。

2牛顿环

如B7.4图所示,取一块表面平整的玻璃板,将一半径很大的平凸透镜的凸面与平板玻璃接在一起,平凸透镜的凸面与平板玻璃表面搭出一个空气薄膜。

用波长为λ的单色光垂直照射时,可观察到一系列明暗相间的同心圆环,这一现象最先被牛顿观察到,史称牛顿环。

牛顿环的干涉条纹的分布规律是什么?

[数学模型]半径很大的凸透镜与平板玻璃接近平行时,空气厚度很小。

当单色光垂直入射时,在凸透镜下表面与空气的交界面同时发生反射和透射,反射光为a,透射光在平板玻璃的上表面再发生反射,反射光为b。

a和b是同一束光的两部分,因而是相干光,相遇时就发生干涉。

a光反射时没有半波损失,b光反射时有半波损失。

空气的折射率n=1,在空气厚度为e的地方,两列光的光程差为

δ=2e+λ/2。

(7.4.1)

明环形成的条件为

δ=2e+λ/2=kλ,(k=1,2,3,…)(7.4.2a)

暗环形成的条件为

δ=2e+λ/2=(2k+1)λ/2,(k=0,1,2,…)(7.4.2b)

干涉级次k越大,对应的厚度e也越大,明环和暗环距离中心越远。

相邻明环或暗环之间的厚度差为

Δe=λ/2。

(7.4.3)

可知:

相邻明环或暗环的厚度差相同,

设凸透镜的半径为R,光环的半径为r,由于

r2=R2-(R-e)2≈2Re,(7.4.4)

第k级明环的半径为

(k=1,2,3,…)(7.4.5a)

第k级暗环的半径为

(k=0,1,2,…)(7.4.5b)

其中k=0时的暗环半径为零,表示中央是暗斑。

透射光和反射光是互补的,因此在反射光明条纹处透射光形成暗条纹,在反射光暗条纹处透射光形成明条纹。

当平行光垂直照射时,光强可表示为

将(7.4.1)式代入上式得

利用(7.4.4)式得

(7.4.6)

[算法]取

为长度单位,取I0为光强单位,则相对光强为

(7.4.6*)

其中

[程序]P7_4.m如下。

%牛顿环

clear%清除变量

rm=3;%最大半径(相对坐标)

r=-rm:

0.01:

rm;%横坐标或纵坐标向量

[X,Y]=meshgrid(r);%横坐标和纵坐标矩阵

R=sqrt(X.^2+Y.^2);%求各点到圆心的距离

I=cos(pi*(R.^2+1/2)).^2;%反射光的相对光强

I(R>rm)=nan;%最大半径外的光强改为非数(将方形图改为圆形图,四角为黑色)

c=linspace(0,1,60)';%颜色范围

figure%开创图形窗口

colormap([c*0cc*0])%形成绿色色图

image(I*70)%画图像

axisoffequal%隐轴

title('牛顿环(反射光)','fontsize',16)%标题

[说明]如果修改色图指令

colormap([ccc*0])

条纹的颜色是黄色。

如果修改色图指令

colormap([ccc])

条纹的颜色是白色。

修改色图指令,还可以用其他颜色表示条纹。

如果将光强指令改写(标题也要改)

I=sin(pi*R.^2).^2;则可得透射光的牛顿环。

[图示]

(1)如P7.4a图所示,牛顿环中央是暗斑,随着半径的增加,条纹间距越来越小,分布越来越密。

这是因为相邻明环或暗环的厚度差相同,从里到外空气厚度迅速增加的缘故。

(2)透射光的牛顿环如P7.4b图所示,其光强与反射光的光强正好相反。

P7.4a图P7.4b图

3光学衍射仿真圆孔--------------

clear

lam=500;%'请输入光的波长:

')

lam=lam*1e-9;

a=2e-3;

f=1;

m=200;

ym=2000*lam*f;

ys=linspace(-ym,ym,m);

xs=ys;

n=255;

fori=1:

m

r=xs(i)^2+ys.^2;

sinth=sqrt(r./(r+f^2));

x=2*pi*a*sinth./lam;

hh=(2*BESSELJ(1,x)).^2./x.^2;

b(:

i)=(hh)'.*5000;

end

figure

subplot(1,2,1)

image(xs,ys,b)

colormap(gray(n))

subplot(1,2,2)

b(:

m/2);

plot(ys,b(:

m/2))

4单缝衍射。

把单缝看作是np个分立的相干光源,屏幕上任意一点复振幅为np个光源照射结果的合成,对每个光源,光程差Δ=ypsinΦ,sinΦ=ys/D,光强I=I0(Σcosα)2+(Σsinα)2,其中α=2Δ/λ=πypys/λD

编写程序如下,得到图1

clear

lam=500e-9;

a=1e-3;D=1;

ym=3*lam*D/a;

ny=51;

ys=linspace(-ym,ym,ny);

np=51;

yp=linspace(0,a,np);

fori=1:

ny

sinphi=ys(i)/D;

alpha=2*pi*yp*sinphi/lam;

sumcos=sum(cos(alpha));

sumsin=sum(sin(alpha));

B(i,:

)=(sumcos^2+sumsin^2)/np^2;

end

N=255;

Br=(B/max(B))*N;

subplot(1,2,1)

image(ym,ys,Br);

colormap(gray(N));

subplot(1,2,2)

plot(B,ys);

6光栅衍射

公式:

I=I0(sinα/α)2(sin(λβ)/sinβ)2

α=(πa/λ)sinΦ

β=(πd/λ)sinΦ

编写程序如下:

得到图3

clear

lam=500e-9;N=2;

a=2e-4;D=5;d=5*a;

ym=2*lam*D/a;xs=ym;

n=1001;

ys=linspace(-ym,ym,n);

图3黑白光栅衍射光强分布

fori=1:

n

sinphi=ys(i)/D;

alpha=pi*a*sinphi/lam;

beta=pi*d*sinphi/lam;

B(i,:

)=(sin(alpha)./alpha).^2.*(sin(N*beta)./sin(beta)).^2;

B1=B/max(B);

end

NC=255;

Br=(B/max(B))*NC;

subplot(1,2,1)

image(xs,ys,Br);

colormap(gray(NC));

subplot(1,2,2)

plot(B1,ys);

问题7:

正弦光栅衍射:

我们先设计程序制得一张正弦光栅,用正(余)弦函数作图如下:

clearall

xm=10*pi;ys=xm;

xs=linspace(-xm,xm,500);

B=cos(xs)+1;

N=255;

Br=B/2*N

image(xs,ys,Br);

colormap(gray(N));

将该图片保存成灰度BMP文件。

调用程序得到衍射图样,只有三个衍射斑,与理论一致。

 

图9正弦光栅衍射的光强分布

结论:

1本文对光的双缝干涉进行了分析,应用MATLAB的指令,画出光强的曲线和干涉图样,掌握了光的干涉的规律。

本文还对牛顿环干涉条件的进行分析,巧妙利用无量纲的波长,画出牛顿环反向光环和透射光环,与实验观察的结果相同。

计算机模拟不但能够再现实验过程和结果,更能理解和掌握光学规律。

2傅里叶变换在实际中的应用

傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用(例如在信号处理中,傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量)。

“FT快速计算法”,极大地方便了计算机计算,使傅里叶变换红外光谱仪得到迅速发展。

现在傅里叶变换红外光谱仪已得到全面的发展,使用方法几乎适应各类物质的检测分析,包括衰减全反射法、漫反射法,光声光谱法、显微光谱法、动态光谱法(动力学法)、光谱仪与各种仪器的联用,以及与计算机技术的结合。

现在,红外光谱法通常作为分析各种聚合物材料最佳选择的技术。

在纺织工业领域,主要用于对未知物的分析;定量分析;织物等表面涂层的分析和高分子材料大分子链等的测定。

参考文献:

[1]:

《基于MATLAB的数学实验》,科学出版社

[2]:

《MATLAB程序设计与实例应用》,中国铁道出版社

 

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