沈阳工业大学创新性实验.docx
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沈阳工业大学创新性实验
沈阳工业大学创新性实验
光的干涉与衍射模拟仿真
学院：
机械工程学院
班级：
机自1001班
姓名：
钱雪
学号：
100101129
指导教师：
王威
光的干涉与衍射的研究
1光的双缝干涉
两束频率相同的单色光在空间某点相遇时，讨论光强和干涉条纹的分布规律。
根据波的叠加理论，两束同频率单色光在空间某一点光矢量的大小为
E1=E10cos（ωt+φ10），E2=E20cos（ωt+φ20），（7.1.1）
其中，E10和E20分别是两个光矢量的振幅，φ10和φ20分别是初相。
如果两个光矢量的方向相同，合成的光矢量为
E=E0cos（ωt+φ0），（7.1.2）
其中，振幅和初相分别为
，（7.1.3a）
。
（7.1.3b）
在一定时间内观察到的平均光强I与光矢量的平方的平均值成正比
，（7.1.4）
其中a是比例系数。
对于普通光源，两光波之间的相位差φ20–φ10是随机变化的，平均值为零，因此
。
（7.1.5）
这就是光的非相干叠加，总光强等于两束光各自照射时的光强之和。
如果两束光的相位差恒定，则合成光强为
，（7.1.6a）
其中Δφ=φ20–φ10，第三项是干涉项。
这就是光的相干叠加。
如果I1=I2，则合成光强为
。
（7.1.6b）
[讨论]①当Δφ=2kπ时（k=0,±1,±2,…），满足这样条件的空间各点的光强最大
，（7.1.7a）
或IM=4I1。
（7.1.7b）
这种干涉是光的相长干涉。
②当Δφ=（2k+1）π时（k=0,±1,±2,…），满足这样条件的空间各点，合光强最小
，（7.1.8a）
或Im=0。
（7.1.8b）
这种干涉是光的相消干涉。
[算法]当两个光源的强度相等时，相对光强为
。
（7.1.6b*）
干涉条纹用图像指令image绘制，颜色用色图指令colormap控制。
colormap指令中有三个参数向量[r,g,b]构成颜色矩阵，分别表示红色，绿色和蓝色，其值在0到1之间。
在用红色画条纹时，变量r取0到1共64的列向量，变量g和b都清零。
[程序]
%两束相干光的干涉强度和干涉条纹
clear%清除变量
n=3;%条纹的最高阶数
dphi=0.01;%相差的增量
phi=（-1:
dphi:
1）*n*2*pi;%相差向量
i=4*cos（phi/2）.^2;%干涉的相对强度
fs=16;%字体大小
figure%创建图形窗口
subplot（2,1,1）%取子图
plot（phi,i）%画曲线
gridon%加网格
set（gca,'xtick',（-n:
n）*2*pi）%改水平刻度
axis（[-n*2*pi,n*2*pi,0,4]）%曲线范围
title（'光的干涉强度分布','fontsize',fs）%标题
xlabel（'相差\Delta\it\phi','fontsize',fs）%x标签
ylabel（'相对强度\itI/I\rm_1','fontsize',fs）%y标签
subplot（2,1,2）%取子图
b=linspace（0,1,64）';%绿色的范围
g=zeros（size（b））;%不取绿色
r=zeros（size（b））;%不取红色
colormap（[rgb]）;%形成色图
image（i*21）%画红色条纹（乘以21放大强度,最大为64）
axisoff%隐轴
title（'光的干涉条纹','fontsize',fs）%标题
P7.1
[图示]如P7.1图所示，两个相干光强度相同，发生干涉后最小相对光强为0，最大相对光强为4。
光强曲线最大的地方对应明条纹的中央，相差为2π的整数倍；光强曲线为零的地方对应暗条纹中央，相差为π的奇数倍。
2牛顿环
如B7.4图所示，取一块表面平整的玻璃板，将一半径很大的平凸透镜的凸面与平板玻璃接在一起，平凸透镜的凸面与平板玻璃表面搭出一个空气薄膜。
用波长为λ的单色光垂直照射时，可观察到一系列明暗相间的同心圆环，这一现象最先被牛顿观察到，史称牛顿环。
牛顿环的干涉条纹的分布规律是什么？
[数学模型]半径很大的凸透镜与平板玻璃接近平行时，空气厚度很小。
当单色光垂直入射时，在凸透镜下表面与空气的交界面同时发生反射和透射，反射光为a，透射光在平板玻璃的上表面再发生反射，反射光为b。
a和b是同一束光的两部分，因而是相干光，相遇时就发生干涉。
a光反射时没有半波损失，b光反射时有半波损失。
空气的折射率n=1，在空气厚度为e的地方，两列光的光程差为
δ=2e+λ/2。
（7.4.1）
明环形成的条件为
δ=2e+λ/2=kλ，（k=1,2,3,…）（7.4.2a）
暗环形成的条件为
δ=2e+λ/2=（2k+1）λ/2，（k=0,1,2,…）（7.4.2b）
干涉级次k越大，对应的厚度e也越大，明环和暗环距离中心越远。
相邻明环或暗环之间的厚度差为
Δe=λ/2。
（7.4.3）
可知：
相邻明环或暗环的厚度差相同，
设凸透镜的半径为R，光环的半径为r，由于
r2=R2-（R-e）2≈2Re，（7.4.4）
第k级明环的半径为
（k=1,2,3,…）（7.4.5a）
第k级暗环的半径为
（k=0,1,2,…）（7.4.5b）
其中k=0时的暗环半径为零，表示中央是暗斑。
透射光和反射光是互补的，因此在反射光明条纹处透射光形成暗条纹，在反射光暗条纹处透射光形成明条纹。
当平行光垂直照射时，光强可表示为
，
将（7.4.1）式代入上式得
，
利用（7.4.4）式得
。
（7.4.6）
[算法]取
为长度单位，取I0为光强单位，则相对光强为
。
（7.4.6*）
其中
。
[程序]P7_4.m如下。
%牛顿环
clear%清除变量
rm=3;%最大半径（相对坐标）
r=-rm:
0.01:
rm;%横坐标或纵坐标向量
[X,Y]=meshgrid（r）;%横坐标和纵坐标矩阵
R=sqrt（X.^2+Y.^2）;%求各点到圆心的距离
I=cos（pi*（R.^2+1/2））.^2;%反射光的相对光强
I（R>rm）=nan;%最大半径外的光强改为非数（将方形图改为圆形图,四角为黑色）
c=linspace（0,1,60）';%颜色范围
figure%开创图形窗口
colormap（[c*0cc*0]）%形成绿色色图
image（I*70）%画图像
axisoffequal%隐轴
title（'牛顿环（反射光）','fontsize',16）%标题
[说明]如果修改色图指令
colormap（[ccc*0]）
条纹的颜色是黄色。
如果修改色图指令
colormap（[ccc]）
条纹的颜色是白色。
修改色图指令，还可以用其他颜色表示条纹。
如果将光强指令改写（标题也要改）
I=sin（pi*R.^2）.^2;则可得透射光的牛顿环。
[图示]
（1）如P7.4a图所示，牛顿环中央是暗斑，随着半径的增加，条纹间距越来越小，分布越来越密。
这是因为相邻明环或暗环的厚度差相同，从里到外空气厚度迅速增加的缘故。
（2）透射光的牛顿环如P7.4b图所示，其光强与反射光的光强正好相反。
P7.4a图P7.4b图
3光学衍射仿真圆孔--------------
clear
lam=500;%'请输入光的波长:
'）
lam=lam*1e-9;
a=2e-3;
f=1;
m=200;
ym=2000*lam*f;
ys=linspace（-ym,ym,m）;
xs=ys;
n=255;
fori=1:
m
r=xs（i）^2+ys.^2;
sinth=sqrt（r./（r+f^2））;
x=2*pi*a*sinth./lam;
hh=（2*BESSELJ（1,x））.^2./x.^2;
b（:
i）=（hh）'.*5000;
end
figure
subplot（1,2,1）
image（xs,ys,b）
colormap（gray（n））
subplot（1,2,2）
b（:
m/2）;
plot（ys,b（:
m/2））
4单缝衍射。
把单缝看作是np个分立的相干光源，屏幕上任意一点复振幅为np个光源照射结果的合成，对每个光源，光程差Δ=ypsinΦ,sinΦ=ys/D,光强I=I0（Σcosα）2+（Σsinα）2，其中α=2Δ/λ=πypys/λD
编写程序如下，得到图1
clear
lam=500e-9;
a=1e-3;D=1;
ym=3*lam*D/a;
ny=51;
ys=linspace（-ym,ym,ny）;
np=51;
yp=linspace（0,a,np）;
fori=1:
ny
sinphi=ys（i）/D;
alpha=2*pi*yp*sinphi/lam;
sumcos=sum（cos（alpha））;
sumsin=sum（sin（alpha））;
B（i,:
）=（sumcos^2+sumsin^2）/np^2;
end
N=255;
Br=（B/max（B））*N;
subplot（1,2,1）
image（ym,ys,Br）;
colormap（gray（N））;
subplot（1,2,2）
plot（B,ys）;
6光栅衍射
公式：
I=I0（sinα/α）2（sin（λβ）/sinβ）2
α=（πa/λ）sinΦ
β=（πd/λ）sinΦ
编写程序如下：
得到图3
clear
lam=500e-9;N=2;
a=2e-4;D=5;d=5*a;
ym=2*lam*D/a;xs=ym;
n=1001;
ys=linspace（-ym,ym,n）;
图3黑白光栅衍射光强分布
fori=1:
n
sinphi=ys（i）/D;
alpha=pi*a*sinphi/lam;
beta=pi*d*sinphi/lam;
B（i,:
）=（sin（alpha）./alpha）.^2.*（sin（N*beta）./sin（beta））.^2;
B1=B/max（B）;
end
NC=255;
Br=（B/max（B））*NC;
subplot（1,2,1）
image（xs,ys,Br）;
colormap（gray（NC））;
subplot（1,2,2）
plot（B1,ys）;
问题7：
正弦光栅衍射：
我们先设计程序制得一张正弦光栅，用正（余）弦函数作图如下：
clearall
xm=10*pi;ys=xm;
xs=linspace（-xm,xm,500）;
B=cos（xs）+1;
N=255;
Br=B/2*N
image（xs,ys,Br）;
colormap（gray（N））;
将该图片保存成灰度BMP文件。
调用程序得到衍射图样，只有三个衍射斑，与理论一致。
图9正弦光栅衍射的光强分布
结论：
1本文对光的双缝干涉进行了分析，应用MATLAB的指令，画出光强的曲线和干涉图样，掌握了光的干涉的规律。
本文还对牛顿环干涉条件的进行分析，巧妙利用无量纲的波长，画出牛顿环反向光环和透射光环，与实验观察的结果相同。
计算机模拟不但能够再现实验过程和结果，更能理解和掌握光学规律。
2傅里叶变换在实际中的应用
傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
“FT快速计算法”，极大地方便了计算机计算，使傅里叶变换红外光谱仪得到迅速发展。
现在傅里叶变换红外光谱仪已得到全面的发展，使用方法几乎适应各类物质的检测分析，包括衰减全反射法、漫反射法，光声光谱法、显微光谱法、动态光谱法（动力学法）、光谱仪与各种仪器的联用，以及与计算机技术的结合。
现在，红外光谱法通常作为分析各种聚合物材料最佳选择的技术。
在纺织工业领域，主要用于对未知物的分析；定量分析；织物等表面涂层的分析和高分子材料大分子链等的测定。
参考文献：
[1]：
《基于MATLAB的数学实验》，科学出版社
[2]：
《MATLAB程序设计与实例应用》，中国铁道出版社
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