解析几何公式大全.docx
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解析几何公式大全
解析几何中的基本公式
1、两点间距离：
若A（x1，y1）,B（X2，y2），则AB=J（X2—Xi）2+（y2—yj2
2、平行线间距离：
若l1:
AXByC^0,12:
AXByC0
注意点：
x，y对应项系数应相等。
则P到—SbJ
4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：
丿y一kX+b
Jz（x，y）=0
消y：
ax2∙bx∙c=0，务必注意厶∙0.若l与曲线交于A（x1,y1），b（x2，y2）贝V：
AB=（1一k2）（x2=xj2
5、若A（X1,y1），B（X2,y2）,P（X，y）。
P在直线AB上,且P分有向线段AB所成的比为入,
XIHLX2
1■
W丁2
1■
X2-Xy2一y
6、若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则l1到l2的角为二很三（0，二）
适用范围：
kι,k2都存在且kιk2=—1，
tan_
1+k1k2
若Ii与12的夹角为R则tan，=k1^k2，—（0,上]
1+k1k22
IIJmnJnJ
注意:
（1）∣1到∣2的角，指从∣1按逆时针方向旋转到∣2所成的角,范围（0，二）
∣1到∣2的夹角：
指丨1、∣2相交所成的锐角或直角.
（2）∣1_12时，夹角、到角=—。
8、直线的倾斜角：
'与斜率k的关系
a）每一条直线都有倾斜角-,但不一定有斜率。
―2
b）若直线存在斜率k,而倾斜角为：
■,则k=tan：
•。
9、直线lι与直线∣2的的平行与垂直
（1）若∣1,∣2均存在斜率且不重合：
①∣1∕∕∣2吕kl=k2
②∣ιII2：
」kιk2=—1
若A1、A2、B1、B2都不为零
1∣1∕∕∣2U△二色=CI；
A2B2C2
211I∣2=A1A2+B1B2=O;
③
∣1与∣2相交=
A1B1
A2
B2
④
∣1与∣2重合U
A1
C1.
—?
A2
B2
C2
（2）斜率存在时为y-y=k（x—X）
两点式:
y-y1_X-X1
y?
一y1χ2F
截距式:
其中I交X轴于（a,0），交y轴于（0，b）当直线I在坐标轴上,
距相等时应分：
（1）截距=0设y=kx
（2）截距=a=0设-•丿=1
aa
般式：
AXByC=O
即x+y=a
（其中A、B不同时为零）
10、确定圆需三个独立的条件
圆的方程
（1）标准方程：
222
（x_a）（y「b）二「,（a,b）-圆心，「_一半径。
（2）一般方程：
2222
XyDXEyF=0，（DE-4F■0）
/22
ZDEDE-4F
（,）-一圆心,「：
222
222
11、直线AXByC=0与圆（x-a）（^b）=r的位置关系有三种
卄Aa+Bb+C亠
右d，d∙r=相离=.’■：
：
:
；0
d=r二相切=■■：
=0
d：
：
:
ru相交=丄—0
12、两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为。
1,02,半径分别为「1，「2，O1O2=d
d∙r1∙r2外离：
二4条公切线
d=r1∙r2二外切=3条公切线
「1—「2d=r1-r2∣≠≠内切U1条公切线
OVdVrI—「2=内含=无公切线
外离
13、圆锥曲线定义、标准方程及性质
（一）椭圆
定义I：
若Fι，F2是两定点,P为动点，且PF1+∣PF2=2aa∣F1F2（a为常数）则P点的轨迹是椭圆。
定义∏：
若Fi为定点，I为定直线，动点P到Fi的距离与到定直线I的距离之比为常数e（0标准方程：
准线方程：
2
X
～2
a
b2
（ab0）
定义域：
｛x—a_x_a｝值域：
｛x-b_y_b}
长轴长=2a，短轴长=2b
焦距：
2c
2
0
C
22
焦半径:
PF1∣=e（x+红）,PF2∣=e（红—X）,PF1=2a—PF2，a—c勻PF1≤a+c等（注意涉及焦半径CC
注意:
①用点P坐标表示，②第一定义。
）
（1）图中线段的几何特征：
AIFI=A2F2=a—c，A1F2=A2F1=a+c
B1F1—IB1F2∣—B2F2—B2F1—a,A2B2-∣AB2∣——+b等等。
顶点与准线距离、焦点与准线距
离分别与a，b，c有关。
（2）APF1F2中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段PF1、IPF2、2c，有关角NF1PF2结合起来，
建立PF1+PF2、PF1∙PF2等关系
y轴上时，其相应的性质。
（4）注意题目中椭圆的焦点在X轴上还是在y轴上，请补充当焦点在:
■、双曲线
（一）定义：
1若F1，F2是两定点，∣PF1—PF2∣∣=2ac∣F1F2（a为常数），则动点P的轨迹是双曲线。
∏若动点P到定点F与定直线I的距离之比是常数e（e>1），则动点P的轨迹是双曲线。
（三）性质
两准线间的距离=2a-
2222
方程：
22=1（a■0，b0）22=1（a0，b0）
abab
y=二X,此时双曲线为等轴双曲线,
（,0,焦点在X轴上，，：
：
：
0,焦点在y轴上）
（3）特别地当a=b时=离心率e=2=两渐近线互相垂直,分别为
可设为χ2—y2
（4）注意APF1F2中结合定义∣PR—PF2∣∣=2a与余弦定理cos/RPF？
将有关线段PR、PF？
、RF？
和角结合起来。
（5）完成当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质.
、抛物线
（一）定义：
到定点F与定直线I的距离相等的点的轨迹是抛物线。
即：
到定点F的距离与到定直线I的距离之比是常数e（e=1）。
（二）图形:
焦占：
八、、八\、♦
（-p,0），通径AB=2p；
准线：
厶;
焦半径:
CF=Xq+P,过焦点弦长CD=Xi+p+X2+p=Xi+X2+P
222
注意:
（1）几何特征：
焦点到顶点的距离=—；焦点到准线的距离=P；通径长=2p
2
顶点是焦点向准线所作垂线段中点.
2
（2）抛物线y=2px上的动点可设为P（,y）或P（2pt，2Pt）或P（x=，yo）其中y°=2pX（J
2p
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