曲线的参数方程.docx
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曲线的参数方程
曲线的参数方程
教学目标：
1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2.分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3.会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：
根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点：
根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程
1.参数方程的概念
1.探究：
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m的高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？
（1）平抛运动:
x=100t
为参数）
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
练习：
斜抛运动:
X=V0COS：
t
（12（t为参数）
y=VoSin：
tgt
I2
2.
x,y都是某个变数t的函数
参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
X=f（t）y=g（t）
并且对于t的每一个允许值，由方程组
（2）所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么方程
（2）就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
说明：
（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x，y的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义
x=3t
例1•已知曲线C的参数方程是」2（t为参数）
y=2i+1
（1）判断点Mi（0,1）,M2（5,4）与曲线C的位置关系；
（2）已知点M3（6,a）在曲线C上，求a的值。
x=sin0
2、方程/（砒参数）表示的曲线上的一个点的坐标是
y=cos2日
1111
A、（2,7）,B＞（-,-），C＞（-,-），D（1,0）
3222
3由方程x2•y2-4tx-2ty-5t2-4=0（t为参数）所表示的一族圆的圆心轨迹是
A、一个定点B、一个椭圆C、一条抛物线D、一条直线
.圆的参数方程
如果在时刻t,点M转过的角度是二坐标是
M（x,y）,那么日=at,设0M=r，那么由三
角函数的定义有：
xv口”x=rcost
cost,sint即｛（t为参数）
rrv=rsint
这就是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程。
其中参数t有明确的物理意义（质点作匀速圆周运动的时刻）
x=rcos^t
V=rsin就
（t为参数）
考虑到二=7，也可以取为参数，于是有
x=rcos^
=rsin^
这也是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程
其中参数二的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度。
x=xrcost
{0G为参数）
y=y0rsinv
对应的普通方程为（x-x。
）2•（y-y。
）2二r2
圆的参数方程的一般形式
以上是圆心在原点的圆的参数方程，它对应的
普通方程是xy2=r2,那么，圆心在点o'（x0,y0）半径为r的圆的参数方程又是怎么样的呢？
说明：
（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的
（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
三•参数方程和普通方程的互化
例1、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。
解：
x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
•••参数方程为?
=^+CO^（9为参数）
y=3+sin6
2、指出参数方程丿x=2cosd-5心为参数）所表示圆的圆心坐标、半径，并化为普通方程y=3+2sin。
例2如图，圆O的半径为2,P是圆上的动点，Q（6,0）是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。
解：
设点M的坐标是（x,y），ZxOP=日,贝U点
P的坐标是（2cos=,2sinR,由中点坐标公式得：
2cos日+6丄c2sin日.口
xcos）3,ysin
22所以，点M的轨迹的参数方程是
「x=cosr3.
{.■Q为参数）
y=sin二
明确参数方程和普通方程的互化的方法。
注意，的取值范围保持一致。
四•课堂练习
x=rrcos：
3、圆｛=£+rsinH（B为参数，r>0）的直径
y-2rsin一
是4，则圆心坐标是（2,1）
巩固与提高
x=|t
广
x=tantD.丿
y=cott
1•与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程（t为参数）是（D）
x=t2x=sint
A.」.B.」
y=ty=csct
2.
F列哪个点在曲线』
A.（2,7）
（的参数）上（C）
y=cos2日
12
B.（;,）
33
C.（舄）
22
D.（1,0）
3.
4.
5.
x=1+cos2日
y=sin2Q
A.一条直线
方程X=2
y=cosB
A.余弦曲线
x=COS
曲线i.
y=sin日
A.2
（幼参数）的轨迹是（D）
B.一条射线C.一个圆
（t为参数）表示的曲线是（D）
B.与x轴平行的线段C.直线
D.一条线段
D.与y轴平行的线段
（T为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D）
C.1
6.方程x2-y2-4tx「2ty，5t2-4=0（t为参数）所表示的一族圆的圆心轨迹是（D）
A.一个定点B.一个椭圆C.一条抛物线D.一条直线
直线』x=tcos2e为参数）与圆/=4*2cosCp（q为参数）相切，那么直线的倾斜角为（a）
“=tsin日-y=2sin®
A.
兰或
5兀
B.匹或竺
C.王或至
6
6
44
33
8.
曲线x
2丄2
:
+y
=2y的一个参数方程为
（xcos日（6为参数）。
y=1+sin日
3
X=t
+1
9.
曲线」
1（t为参数）的普通方程为
x2_y2=4。
y=t
_t
7.
10.已知/=2+cOJ（Q为参数）,则J（x_5）2+（y+4）2的最大值是6。
y=sin日
11.设飞机以匀速v=150m/s作水平飞行，若在飞行高度h=588m处投弹（设投弹的初速度等于飞机的速度，且不计空气阻力）。
（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程；
（2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标。
解：
（1），X—150t2（t为参数）。
$=588—4.9t
（2）1643m。
12.火炮以［为发射角，v°为初速度发射，求炮弹的轨迹方程。
X=v0COSdt解：
」.「1*2（t为参数）。
y=y°sinat—一gt
L2
13.动点M从起点M°（1,2）出发作等速直线运动，它在x轴与y轴方向上的分速度分别为6和8,求点M的轨迹的参数方程。
x—4+6t解：
/_l（t为时间参数）。
y=2+8t
r
44.求直线/-1+t（t为参数）与圆x2+y2=4的交点坐标。
»=1-t
解：
把直线的参数方程代入圆的方程，得（1+t）2+（1-t）2=4，得t=±1,分别代入直线方程，得交点为（0,2）和（2,0）。
圆的参数方程的应用
教学目标：
知识与技能：
利用圆的几何性质求最值（数形结合）过程与方法：
能选取适当的参数，求圆的参数方程
教学重点：
会用圆的参数方程求最值。
教学难点：
选择圆的参数方程求最值问题•
教学过程：
一、最值问题
1.已知P（x,y）圆C:
x2+y2—6x—4y+12=0上的点。
y
（1）求的最小值与最大值
（2）求x—y的最大值与最小值
x
22
2.圆x+y=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值是_2/.圆（x-1）2+（y+2）2=4上的点到直线2x-y+仁0的最短距离是
为最短
3.过点（2,1）的直线中，被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦：
为最长的直线方程是
的直线方程是;
4.若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值为
、参数法求轨迹
1）一动点在圆x2+y2=1上移动，求它与定点（3,0）连线的中点的轨迹方程
2）已知点A（2,0）,P是x2+y2=1上任一点，•AOP的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹.
C.参数法
解题思想：
将要求点的坐标x,y分别用同一个参数来表示
例题：
1）点P（m,n）在圆x+y=1上运动，求点Q（m+n,2mn的轨迹方程
2）方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0.若该方程表示一个圆，求m的取值范围和圆心的轨迹方程。
圆锥曲线的参数方程
教学目的：
知识与技能：
了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义
过程与方法：
能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程
情感、态度与价值观：
通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识教学重点：
圆锥曲线参数方程的定义及方法教学难点：
选择适当的参数写出曲线的参数方程•
授课类型：
新授课
教学模式：
启发、诱导发现教学•
教学过程：
一、复习引入：
1•写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
（1）圆X12y2=r2参数方程
"x=rcos0
y=rsin日
J/
（2）圆（x-x。
）2（yy。
）2二r2参数方程为:
'x=x（）+rcos。
y=y0+rsin。
2•写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。
3•能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗?
、讲解新课：
22
1.椭圆的推导：
椭圆字参数方程
22
2.双曲线的参数方程：
双曲线字十「参数方程
‘X=aseC
y二btan
3•抛物线的参数方程：
抛物线
y2=2Px参数方程
x=2Pt2
y=2Pt
（t为参数）
（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式
（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
4、关于参数方程中参数的选取选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。
与运动有关的问题选取时间t做参数与旋转的有关问题选取角r做参数
或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。
二、典型例题：
例1•设炮弹发射角为〉，发射速度为Vo,
（1）求子弹弹道曲线的参数方程（不计空气阻力）
（2）若V=100m/s,，当炮弹发出2秒时，
6
1求炮弹高度
2求出炮弹的射程
例2•求椭圆的参数方程（见教材P.4C）
椭圆£+音=1参数方程仁（。
为参数）
x=3cosB
变式训练1.已知椭圆丿C（日为参数）
=2sin。
求
（1）时对应的点P的坐标
6
（2）直线OP的倾斜角
变式训练2A点椭圆长轴一个端点，若椭圆上存在一点P,使/OPA=90°,其中O为椭圆中心,求椭圆离心率e的取值范围。
例3•把圆x2y2-6x=0化为参数方程
（1）用圆上任一点过原点的弦和x轴正半轴夹角，为参数
（2）用圆中过原点的弦长t为参数
三、巩固与练习
四、小结：
本节课学习了以下内容：
1选择适当的参数表示曲线的方程的方法
2.体会参数的意义
五、课后作业：
教材P34习题2.2
圆锥曲线参数方程的应用
教学目的：
知识与技能：
利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题过程与方法：
选择适当的参数方程求最值。
情感、态度与价值观：
通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：
选择适当的参数方程求最值。
教学难点：
正确使用参数式来求解最值问题
授课类型：
新授课
教学模式：
讲练结合
教学过程：
一、复习引入：
通过参数简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。
二、讲解新课：
例1.求椭圆的内接矩形面积的最大值
变式训练1
22
椭圆X2y2=1（ab0）与x轴正向交于点A，若这个椭圆上存在点P，使0P丄AP，（Oa2b2
为原点），求离心率e的范围。
22
例2.AB为过椭圆——1中心的弦，F1，F2为焦点，求△ABFi面积的最大值。
2516
例3.抛物线y2=4x的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的
周长。
例4、过P（0，1）到双曲线x2-y2=1最小距离变式训练2：
设P为等轴双曲线x?
—y2=1上的一点，Fl,F2为两个焦点，证明iRP^zPhOP
例5,在抛物线y=4ax（a.0）的顶点，引两互相垂直的两条弦OA,OB，求顶点O在AB上射影H的轨迹方程。
三、巩固与练习
四、小结：
本节课学习了以下内容：
适当使用参数表示已知曲线上的点用以求最值问题
五、课后作业：
直线的参数方程
教学目的：
知识与技能：
了解直线参数方程的条件及参数的意义
过程与方法：
能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观：
通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：
曲线参数方程的定义及方法
教学难点：
选择适当的参数写出曲线的参数方程•
授课类型：
新授课
教学模式：
启发、诱导发现教学•
一、复习引入：
1•写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
圆x2+y2=r2参数方程/-「cos：
（8为参数）
（t为参数）
y=rsin日
课本例题，此略.
四、小结：
（1）直线参数方程求法
（2）直线参数方程的特点
（3）根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义
五、作业：
课本P39习题2.3
参数方程与普通方程互化
教学目的：
知识与技能：
掌握参数方程化为普通方程几种基本方法
过程与方法：
选取适当的参数化普通方程为参数方程情感、态度与价值观：
通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：
参数方程与普通方程的互化
教学难点：
参数方程与普通方程的等价性
授课类型：
新授课
教学模式：
启发、诱导发现教学•
教学过程：
一、复习引入：
（1）圆的参数方程
（2）椭圆的参数方程
二、讲解新课：
1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：
（1）代入法：
利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数
（2）三角法：
利用三角恒等式消去参数
（3）整体消元法：
根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。
必须
化参数方程为普通方程为F（x,y）=O:
在消参过程中注意变量x、y取值范围的
根据参数的取值范围，确定f（t）和g（t）值域得x、y的取值范围。
2、常见曲线的参数方程
x=rcos日
（1）圆x2+y2=r2参数方程丿（日为参数）
[y=rsin廿
—222"x=Xq+rcose
（2）圆（x—X。
）+（yy0）=r参数万程为：
丿（日为参数）
y=yQ+rsin日
22
⑶椭圆右”参数方程
”x=acoS
y=bsin
（二为参数）
22
（4）双曲线笃-爲=1参数方程
ab
"x=aseC
y=btan
（5）
抛物线y2
=2Px参数方程
x=2Pt2
y=2Pt
（t为参数）
（6）过定点P（xo，y。
）倾斜角为〉的直线的参数方程
（t为参数）
典型例题
1、将下列参数方程化为普通方程
x二t2
y=t2
-2t
2
x=sin^+cosQ⑵」y=sin29
t1
t2
2t
t2
（4）
2
1t2
2t
1t2
（5）
1
x=2（t）
t
21y=3（t吞）
变式训练1
2、
（1）方程丿
1
X=t+—
t表示的曲线
y=2
A、一条直线
B、两条射线C、一条线段
D、抛物线的一部分
（2）下列方程中，当方程y2=x表示同一曲线的点
（.2
x=sint
B、」
j=sint
C、
1-xos2t
x=
D、」1+cos2t
』=tant
例2化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线
（1）J』x=1-2J（t是参数）
（2）
[y=3_4寸t
（T1是参数）
X一1_2t2
1-2t2
（t是参数）
x=4sin日
变式训练2。
P是双曲线丿（t是参数）上任一点，Fi,F2是该焦点：
y=3tanT
求厶FiF2的重心G的轨迹的普通方程。
例3、已知圆0半径为1，P是圆上动点，Q（4,0）是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。
变式训练3：
已知P（x,y）为圆（x-1）2（y-1）2=4上任意一点，求xy的最大值和最小值。
三、巩固与练习
四、小结：
本节课学习了以下内容：
熟练记忆把参数方程化为普通方程的几种方法。
五、课后作业：
见教材53页2.345
圆的渐开线与摆线
教学目的：
知识与技能：
了解圆的渐开线的参数方程，了解摆线的生成过程及它的参数方程•过程与方法：
学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤情感、态度与价值观：
通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：
圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程教学难点：
用向量知识推导运动轨迹曲线的方法授课类型：
新授课
教学模式：
讲练结合启发引导自学指导发现教学法偿试指导法启发、诱导发现教学
教学过程：
一、复习引入：
1复习：
圆的参数方程
二、讲解新课：
1、以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为
l（cos"m（申为参数）
y=r（sin半一®cos④）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原
点，建立直角坐标系，设圆的半径为r,可得摆线的参数方程为。
（为参数）
"x=r（半一siny=r（1_cos申）
例1求半径为4的圆的渐开线参数方程
jtx=cos®+®sin®
变式训练1当④一，兀时，求圆渐开线丿上对应点A、B坐标并求出A、
2j=sin^—^cos半
B间的距离。
变式训练2求圆的渐开线厂jcost+tsint）上当t=［对应的点的直角坐标。
y=V2（sint-tcost）4
例2求半径为2的圆的摆线的参数方程
变式训练3
x=t—sint
求摆线』0兰t兰2兀与直线y=1的交点的直角坐标
y=1—cost
它随圆
y的
例3、设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点0,记圆上动点为M的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标最大值，说明该曲线的对称轴。
三、巩固与练习
四、小结：
本节课学习了以下内容:
1.
2.
3.
五、课后作业：
见教材P.57/16
1、关于参数几点说明：
（1）参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。
（2）同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样
（3）在实际问题中要确定参数的取值范围
2、参数方程的意义：
参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中
x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。
3、参数方程求法
（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为（x,y）
（2）选取适当的参数
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