数学分析 第一章12资料.docx
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数学分析第一章12资料
第一章函数与极限
§0.集合
一.符号
设,是两个陈述句（命题或条件）
“”:
如果成立,那么成立.
“”:
由条件可推出;反过来,
由也可推出.
“”:
任给
“”:
存在或找到
例.,使.
,使得.
,使得.
,都成立.
二.集合
具有某种性质的事物的全体叫集合.
属于集合的每个个体叫作该集合的元素.
注.用大写字母表示集合,小写字母表示集合中
的元素.
设是一个集合,是中元素,记作.
“”表示属于.
若不是中元素,记作.
“”或“”表示不属于.
1.集合表示法
列举法
描述法具有性质.
注.集合中元素之间没有次序关系,同一元素重复
出现不具有任何特殊意义.
设,是两个集合,若,则称
是的子集,或包含,或包含于,记作
或.
称不包含任何元素的集合为空集,记为.
性质.1.含于任何一个集合,即.
2..
3.,.
若且,则称与相等,记为.
若且,则称是的真子集.
注.与不同.
2.集合的运算
给定两个集合,,集合
或
称为与并,记作;集合
并且
称为与的交,记作;集合
并且
称为与的差,记作\.
设是的子集,\称为的关于的补集,
记作（有时）.
运算性质
1.交换律
.
2.结合律
.
3.分配律
.
4.是的子集,
.
5.,是的两个子集,
\.
6.（deMorgan公式）对偶律
.
3.有限集与无限集
若集合由有限个元素组成,则称为有限集,
否则称为无限集.若一个无限集中元素可以按某种
规律排成一个序列,即这个集合可表示成
则称其为可列集.
注.无限集必包含可列子集,但无限集不一定是可列集.
给定可列个集合,定义它们的
并为
使得.
定理1.0.1.可列个可列集之并也是可列集.
定理1.0.2.是可列集.
4.Descartes乘积集合
设,是两个集合,
并且
称为与的Descartes乘积集合.
注.与可以相同也可以不同,甚至其元素
可以是完全不同类型的.
做一直线,给定方向,原点和单位长,实数就和
直线上的点有一一对应关系,称此直线为实数轴.
§1.实数
1.有理数域
.
中有两种运算：
加法和乘法.它对这两种运算封闭,即中任两个元素作加法与乘法运算，其和与积均在之中.但对这两种运算的逆运算不封闭.
.
.
有理数集具有下列性质
（1）.对于加,减,乘,除（除数不为零）封闭.
（2）.满足交换律,结合律,分配律:
；
；
；
其中是中任意三个元素.
（3）.对中任意两个元素,下列三种情况
有且只有一种情况成立，并且这种大小关系还满足下列条件:
对中任意四个元素,
；
；
.
若一个数集合满足条件
（1）和
（2）,就称这个集合为域.
称为有理数域.
满足条件（3）的数域称作有序域.
命题1.1.有理数域是有序域.
定义.数集称为在数轴上稠密，如果对任意一个
都有.
命题1.2.有理数集在数轴上稠密.
2.无理数
命题1.3.不是有理数.
例1.无理数加有理数为无理数.无理数乘有理数为无理数.
注.无理数+无理数=？
有理数+有理数=？
无理数无理数=？
有理数有理数=？
命题1.4.无理数集在数轴上处处稠密.
3.实数域及其完备性
有理数与无理数统称为实数.全体实数的集合记作.任意的,总可以写成
其中是的整数部分，即不超过的最大整数，记作.小数部分记作.是的小数部分的第位小数.
注.记,总是有理数且
.
任何一个无理数都是一串有理数的极限.
定义.设是按自然数顺序编了号的一串数,称之为序列或数列,记作.表示第一项,表示第一项,称为通项.
定义.称序列是单调递增的,如果
.
称序列是有上界的,如果存在,使得
.
命题1.5.设是中任意一个单调递增有上界的序列，则存在中数,使得且.
定义.若有序数域满足下列要求，则称之为完备的：
任何一个单调递增的有界序列一定有极限.
注.完备性也称连续性,实质上说明了对极限运算是封闭的.
注.刻画完备性有多种方法，彼此等价.
注.不完备.
注.是数域，称为实数域.实数域是有序域.实数域是完备的.
4.常用不等式
（1）设是中任意元素，
（2）（平均值不等式）对任意个正数,
.
等号当且仅当时成立.
定义.设是正数,分别称
,
为它们的算术,几何,调和平均值.
定义.称作有上界的集合,如果存在,使得.
称作有下界的集合,如果存在,使得.
既有上界又有下界的集合称作是有界集合.
§2.函数的概念
1.函数的定义
定义.给定实数集合,.若存在某种规则,
使得对中每一个元素都可以找到中
唯一确定的元素与之对应,则称这个对应
规则是到的一个函数,记作
:
称为在下的象,也称为在点的函数值.称为在下的一个逆象（原象）.通常称为自变量,为因变量.称为的定义域,
并且
称为的值域，
称作函数的图形。
注.函数:
本质上是从到的一个映射.
注.
（1）对每一个,与之对应的唯一确定.
（2）只要求有一个变量间的对应规则,而没有要求必须有一个解析表达式.
例1.Dirichilet函数
.
今后被用来澄清某些概念.
（3）在函数有表达式的情况下,也有可能有多个,它们是分段给出的，称作分段函数.有时连续曲线也必须用分段函数表示.
例2.符号函数
.
例3.整数部分不超过的最大整数.
小数部分.
它们满足下列条件
（1）,.
（2）,,.
例4..
（4）
类似地表示
.
（5）数列也是一种函数,,
.
（6）函数:
简单记成.没有特别说明，由一个初等表达式给出的函数的定义域，就是使得表达式有意义的实数集合。
例5.的定义域是
，
即为。
（7）给定函数:
，，不一定是值域。
（8）函数的表示除显式表示:
=只含的表达式,分段表示外,还有
隐式表示:
通过来确定与之间函数
关系的方式.
参数表示:
引入第三个变量,通过与,与之间
的函数关系,间接地确定与的函数关系,
即
.
定义.给定函数,,若对任意的
当时,,则称在单调增加.
定义.给定函数,,若对任意的
当时,,则称在严格单调增加.
定义.给定函数,,若对任意的
当时,,则称在单调减少.
定义.给定函数,,若对任意的
当时,,则称在严格单调减少.
定义.给定关于原点对称,即
.
若函数满足
,
则称是偶函数;
若函数满足
,
则称是奇函数.
2.反函数与复合函数
定义.设是到的映射.若的逆象也有唯一性,即对中任意两个不同元素,
都有,则称为单射;
如果,则称是满射;
如果既是单射又是满射,则称是双射,又
称一一对应.
注.严格单调递增（减）的函数是单的.
思考.单射是否一定是严格单调的？
定义.设:
既是单射又是满射.对任意的,存在唯一确定的,使得,这样的由到的对应称为的反函数,记作.
注.通常用表示自变量,表示因变量.的反函数一般表示为
.
注.的图形与的图形相同,与的图形关于对称.
定义.给定两个函数
:
,
:
,
若,则可构造一个新函数
:
,
称之为和的复合函数.
3.周期函数
定义.设在有定义.若存在,使得,,则称是周期函数,称为它的周期.若存在满足上述条件的最小正数,则称之为的最小正周期.
注.周期函数的周期通常指的是最小正周期.
思考.每个周期函数都有最小正周期吗？
注.周期函数定义中要求定义域为.可以不要求,但必须要求有下列性质:
.
4.有界函数和无界函数
定义.若函数的值域是有界集合,即存在常数和,使得,则称为有界函数,称为下界,称为上界.若没有这样的和存在,则称为无界函数.
命题2.1.是有界函数的充要条件是:
存在,使得,.
命题2.2.两个有界函数的和,差,积均为有界函数.
5.初等函数
基本初等函数
（1）常数函数
（2）幂函数
（3）三角函数
（4）反三角函数
（5）指数函数
（6）对数函数
（7）双曲函数
注.三角函数与双曲函数有许多可以类比之处.
Osborn’srule.在三角函数的等式中,将三角函数换成相应的双曲函数,并改变两个正弦函数的乘积前面的符号,就可得到相应的双曲函数的等式.
（8）反双曲函数
定义.由有限个基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所产生的函数称为初等函数.
注.初等函数的自然定义域是指它的自变量的最大取值范围.
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