数学正弦与余弦定理练习题及答案.docx

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数学正弦与余弦定理练习题及答案

高考正弦定理练习题

1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于（　　）

A.　　　　　B.C.D．2

2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于（　　）

A．4B．4C．4D.

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝4，b＝4，则角B为（　　）

A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对

4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于（　　）

A．1∶5∶6　B．6∶5∶1C．6∶1∶5D．不确定

5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝，则c＝（　　）

A．1B.C．2D.

6．在△ABC中，若＝，则△ABC是（　　）

A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

7．已知△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为（　　）

A.B.C.或D.或

8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于（　　）

A.B．2C.D.

9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝，C＝，则A＝________.

10．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.

11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.

12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．

13．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.

14．在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.

15．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝2，sincos＝，sinBsinC＝cos2，求A、B及b、c.

16．△ABC中，ab＝60，sinB＝sinC，△ABC的面积为15，求边b的长．

余弦定理练习题

1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于（　　）

A．6　　　B．2C．3D．4

2．在△ABC中，a＝2，b＝－1，C＝30°，则c等于（　　）

A.B.C.D．2

3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A等于（　　）

A．60°B．45°C．120°D．150°

4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若（a2＋c2－b2）tanB＝ac，则∠B的值为（　　）

A.B.C.或D.或

5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于（　　）

A．aB．bC．cD．以上均不对

6．已知锐角三角形ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为（　　）

A．2B．－2C．4D．－4

7．在△ABC中，b＝，c＝3，B＝30°，则a为（　　）

A.B．2C.或2D．2

8．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．

9．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5，则边c的值为________．

10．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosA∶cosB∶cosC＝________.

11．在△ABC中，a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.

12．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝，则角C＝________.

13．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，且2cos（A＋B）＝1，求AB的长．

14．在△ABC中，BC＝，AC＝3，sinC＝2sinA.

（1）求AB的值；

（2）求sin（2A－）的值．

正弦定理

1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于（　　）

A.　　　　　　B.C.D．2

解析：

选A.应用正弦定理得：

＝，求得b＝＝.

2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于（　　）

A．4B．4C．4D.

解析：

选C.A＝45°，由正弦定理得b＝＝4.

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝4，b＝4，则角B为（　　）

A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对

解析：

选C.由正弦定理＝得：

sinB＝＝，又∵a>b，∴B<60°，∴B＝45°.

4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于（　　）

A．1∶5∶6　　　　　　　　B．6∶5∶1

C．6∶1∶5D．不确定

解析：

选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.

5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝，则c＝（　　）

A．1B.C．2D.

解析：

选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由＝得c＝＝1.

6．在△ABC中，若＝，则△ABC是（　　）

A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

解析：

选D.∵＝，∴＝，

sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B

即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝.

7．已知△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为（　　）

A.B.

C.或D.或

解析：

选D.＝，求出sinC＝，∵AB＞AC，

∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.

再由S△ABC＝AB·ACsinA可求面积．

8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝，b＝，B＝120°，则a等于（　　）

A.B．2

C.D.

解析：

选D.由正弦定理得＝，

∴sinC＝.

又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，

△ABC为等腰三角形，a＝c＝.

9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝，C＝，则A＝________.

解析：

由正弦定理得：

＝，

所以sinA＝＝.

又∵a＜c，∴A＜C＝，∴A＝.

答案：

10．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.

解析：

由正弦定理得＝

⇒sinB＝＝＝.

答案：

11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.

解析：

C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，

由＝得，a＝＝4，

∴a＋c＝8.

答案：

8

12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．

解析：

由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，

代入式子a＝2bcosC，得

2RsinA＝2·2R·sinB·cosC，

所以sinA＝2sinB·cosC，

即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC，

化简，整理，得sin（B－C）＝0.

∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，

∴－180°＜B－C＜180°，

∴B－C＝0°，B＝C.

答案：

等腰三角形

13．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.

解析：

由正弦定理得＝＝＝12，又S△ABC＝bcsinA，∴×12×sin60°×c＝18，

∴c＝6.

答案：

12　6

14．在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.

解析：

依题意，sinC＝，S△ABC＝absinC＝4，

解得b＝2.

答案：

2

15．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝2，sincos＝，sinBsinC＝cos2，求A、B及b、c.

解：

由sincos＝，得sinC＝，

又C∈（0，π），所以C＝或C＝.

由sinBsinC＝cos2，得

sinBsinC＝[1－cos（B＋C）]，

即2sinBsinC＝1－cos（B＋C），

即2sinBsinC＋cos（B＋C）＝1，变形得

cosBcosC＋sinBsinC＝1，

即cos（B－C）＝1，所以B＝C＝，B＝C＝（舍去），

A＝π－（B＋C）＝.

由正弦定理＝＝，得

b＝c＝a＝2×＝2.

故A＝，B＝，b＝c＝2.

＝×－×＝.

又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝.

（2）由

（1）知，C＝，∴sinC＝.

由正弦定理：

＝＝得

a＝b＝c，即a＝b，c＝b.

∵a－b＝－1，∴b－b＝－1，∴b＝1.

∴a＝，c＝.

16．△ABC中，ab＝60，sinB＝sinC，△ABC的面积为15，求边b的长．

解：

由S＝absinC得，15＝×60×sinC，

∴sinC＝，∴∠C＝30°或150°.

又sinB＝sinC，故∠B＝∠C.

当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°.

又∵ab＝60，＝，∴b＝2.

当∠C＝150°时，∠B＝150°（舍去）．

故边b的长为2.

余弦定理

1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于（　　）

A．6　　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

解析：

选A.由余弦定理，得

AC＝

＝＝6.

2．在△ABC中，a＝2，b＝－1，C＝30°，则c等于（　　）

A.B.

C.D．2

解析：

选B.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC

＝22＋（－1）2－2×2×（－1）cos30°

＝2，

∴c＝.

3．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则∠A等于（　　）

A．60°B．45°

C．120°D．150°

解析：

选D.cos∠A＝＝＝－，

∵0°＜∠A＜180°，∴∠A＝150°.

4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若（a2＋c2－b2）tanB＝ac，则∠B的值为（　　）

A.B.

C.或D.或

解析：

选D.由（a2＋c2－b2）tanB＝ac，联想到余弦定理，代入得

cosB＝＝·＝·.

显然∠B≠，∴sinB＝.∴∠B＝或.

5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于（　　）

A．aB．b

C．cD．以上均不对

解析：

选C.a·＋b·＝＝c.

6．已知锐角三角形ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为（　　）

A．2B．－2

C．4D．－4

解析：

选A.S△ABC＝＝||·||·sinA

＝×4×1×sinA，

∴sinA＝，又∵△ABC为锐角三角形，

∴cosA＝，

∴·＝4×1×＝2.

7．在△ABC中，b＝，c＝3，B＝30°，则a为（　　）

A.B．2

C.或2D．2

解析：

选C.在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即3＝a2＋9－3a，

∴a2－3a＋6＝0，解得a＝或2.

8．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．

解析：

∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝.

在△ABD中，

AD＝

＝＝.

答案：

9．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5，则边c的值为________．

解析：

S＝absinC，sinC＝，∴C＝60°或120°.

∴cosC＝±，又∵c2＝a2＋b2－2abcosC，

∴c2＝21或61，∴c＝或.

答案：

或

10．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosA∶cosB∶cosC＝________.

解析：

由正弦定理a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，

设a＝2k（k＞0），则b＝3k，c＝4k，

cosB＝＝＝，

同理可得：

cosA＝，cosC＝－，

∴cosA∶cosB∶cosC＝14∶11∶（－4）．

答案：

14∶11∶（－4）

11．在△ABC中，a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.

解析：

∵cosC＝，∴sinC＝.

又S△ABC＝absinC＝4，

即·b·3·＝4，

∴b＝2.

答案：

2

12．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝，则角C＝________.

解析：

absinC＝S＝＝·

＝abcosC，∴sinC＝cosC，∴tanC＝1，∴C＝45°.

答案：

45°

13．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，且2cos（A＋B）＝1，求AB的长．

解：

∵A＋B＋C＝π且2cos（A＋B）＝1，

∴cos（π－C）＝，即cosC＝－.

又∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，

∴a＋b＝2，ab＝2.

∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC

＝a2＋b2－2ab（－）

＝a2＋b2＋ab＝（a＋b）2－ab

＝

（2）2－2＝10，

∴AB＝.

14．在△ABC中，BC＝，AC＝3，sinC＝2sinA.

（1）求AB的值；

（2）求sin（2A－）的值．

解：

（1）在△ABC中，由正弦定理＝，

得AB＝BC＝2BC＝2.

（2）在△ABC中，根据余弦定理，得

cosA＝＝，

于是sinA＝＝.

从而sin2A＝2sinAcosA＝，

cos2A＝cos2A－sin2A＝.所以sin（2A－）＝sin2Acos－cos2Asin＝.