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人教版高中数学必修全册教案图文

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人教版数学必修二

第一章空间几何体重难点解析

第一章课文目录

1．1　空间几何体的结构

1．2　空间几何体的三视图和直观图

1．3　空间几何体的表面积与体积

重难点：

1、让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

2、画出简单组合体的三视图。

3、用斜二测画法画空间几何值的直观图。

4、柱体、锥体、台体的表面积和体积计算，台体体积公式的推导。

5、了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

知识结构：

表面积体积

度量

空间几何体

柱体球体锥体台体中心投影平行投影

棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台三视图直观图　　

一、空间几何体的结构、三视图和直观图

1．柱、锥、台、球的结构特征

（1）柱

棱柱：

一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

圆柱：

以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

棱柱与圆柱统称为柱体；

（2）锥

棱锥：

一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

圆锥：

以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

棱锥与圆锥统称为锥体。

（3）台

棱台：

用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。

圆台：

用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。

圆台和棱台统称为台体。

（4）球

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

（5）组合体

由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。

几种常凸多面体间的关系

一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质：

名称

棱柱

直棱柱

正棱柱

图形

定义

有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体

侧棱垂直于底面的棱柱

底面是正多边形的直棱柱

侧棱

平行且相等

平行且相等

平行且相等

侧面的形状

平行四边形

矩形

全等的矩形

对角面的形状

平行四边形

矩形

矩形

平行于底面的截面的形状

与底面全等的多边形

与底面全等的多边形

与底面全等的正多边形

名称

棱锥

正棱锥

棱台

正棱台

图形

定义

有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体

底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分

由正棱锥截得的棱台

侧棱

相交于一点但不一定相等

相交于一点且相等

延长线交于一点

相等且延长线交于一点

侧面的形状

三角形

全等的等腰三角形

梯形

全等的等腰梯形

对角面的形状

三角形

等腰三角形

梯形

等腰梯形

平行于底的截面形状

与底面相似的多边形

与底面相似的正多边形

与底面相似的多边形

与底面相似的正多边形

其他性质

高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等

两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等

几种特殊四棱柱的特殊性质：

名称

特殊性质

平行六面体

底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分

直平行六面体

侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分

长方体

底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分

正方体

棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分

2．空间几何体的三视图

三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。

他具体包括：

（1）正视图：

物体前后方向投影所得到的投影图；

它能反映物体的高度和长度；

（2）侧视图：

物体左右方向投影所得到的投影图；

它能反映物体的高度和宽度；

（3）俯视图：

物体上下方向投影所得到的投影图；

它能反映物体的长度和宽度；

三视图画法规则：

高平齐：

主视图与左视图的高要保持平齐

长对正：

主视图与俯视图的长应对正

宽相等：

俯视图与左视图的宽度应相等

3．空间几何体的直观图

（1）斜二测画法

①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；

②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O’X’,O’Y’,使=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；

④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。

（2）平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。

注意：

画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。

强调斜二测画法的步骤。

例题讲解：

[例1]将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）

[例2]在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）

A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条

[例3]正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1D1的距离为，则点P的轨迹是（）

A.圆B.双曲线C.两个点D.直线

解析：

点P到A1D1的距离为，则点P到AD的距离为1，满足此条件的P的轨迹是到直线AD的距离为1的两条平行直线，

又，满足此条件的P的轨迹是以M为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点.

故点P的轨迹是两个点。

选项为C。

点评：

该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。

[例4]两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（）

A．1个　　　　　B．2个C．3个　　　　　D．无穷多个

解析：

由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D。

点评：

本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。

正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。

题型2：

空间几何体的定义

[例5]长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，

，则顶点A、B间的球面距离是（）

A．B．C．D．2

解析：

设

则

故选Ｂ.

点评：

抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。

[例6]已知直线m,n和平面满足,则（）

或或

解析：

易知D正确.

点评：

对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。

题型3：

空间几何体中的想象能力

[例7]如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，

E是CD的中点，PA底面ABCD，。

（I）证明：

平面PBE平面PAB；

（II）求二面角A—BE—P和的大小。

解析：

解法一（I）如图所示,连结由是菱形且知，

是等边三角形.因为E是CD的中点，所以

又所以

又因为PA平面ABCD，平面ABCD，

所以而因此平面PAB.

又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

（II）由（I）知，平面PAB,平面PAB,所以

又所以是二面角的平面角．

在中,

．

故二面角的大小为

解法二：

如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是

（I）因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.

从而平面PAB.又因为平面PBE，所以平面PBE平面PAB.

（II）易知

设是平面PBE的一个法向量,

则由得所以

故可取而平面ABE的一个法向量是

于是,．

故二面角的大小为

点评：

解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力。

[例8]如图，在三棱锥中，，，，．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求二面角的大小．

解析：

解法一：

（Ⅰ）取中点，连结．

，

．

，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ），，

．

又，

．

又，即，且，

平面．

取中点．连结．

，．

是在平面内的射影，

．

是二面角的平面角．

在中，，，，

．

二面角的大小为．

解法二：

（Ⅰ），，

．

又，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则

．

设．

，

，．

取中点，连结．

，，

，．

是二面角的平面角．

，，，

．

二面角的大小为．

点评：

在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。

通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。

而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。

[例9]画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm侧棱长为5cm。

解析：

先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z轴方向平移即可得。

作法：

（1）画轴：

画X′，Y′，Z′轴，使∠X′O′Y′=45°（或135°），∠X′O′Z′=90°。

（2）画底面：

按X′轴，Y′轴画正五边形的直观图ABCDE。

（3）画侧棱：

过A、B、C、D、E各点分别作Z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE。

′

（4）成图：

顺次连结A′，B′，C′，D′，F′，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线。

点评：

用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。

[例10]是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么△ABC的面积为_______________。

解析：

。

点评：

该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。

特别底和高的对应关系。

[例11]如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0

（Ⅰ）证明：

平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

（Ⅱ）证明：

截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，

并求出这个值；

（Ⅲ）若与平面PQEF所成的角为，求与平

面PQGH所成角的正弦值．

本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。

解析：

解法一：

（Ⅰ）证明：

在正方体中，，，又由已知可得

，，，

所以，，

所以平面．

所以平面和平面互相垂直．

（Ⅱ）证明：

由（Ⅰ）知

，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是

，是定值．

（III）解：

连结BC′交EQ于点M．

因为，，

所以平面和平面PQGH互相平行，因此与平面PQGH所成角与与平面所成角相等．

与（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面，因此EM与的比值就是所求的正弦值．

设交PF于点N，连结EN，由知

．

因为⊥平面PQEF，又已知与平面PQEF成角，

所以，即

，

解得，可知E为BC中点．

所以EM=，又，

故与平面PQCH所成角的正弦值为．

解法二：

以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz由已知得，故

，，，，

，，，

，，．

（Ⅰ）证明：

在所建立的坐标系中，可得

，

，

．

因为，所以是平面PQEF的法向量．

因为，所以是平面PQGH的法向量．

因为，所以，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．

（Ⅱ）证明：

因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．

在所建立的坐标系中可求得，，

所以，又，

所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值．

（Ⅲ）解：

由已知得与成角，又

可得

，

即，解得．

所以，又，所以与平面PQGH所成角的正弦值为

．

点评：

考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向。

[例12]多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：

①3；②4；

5；④6；⑤7

以上结论正确的为________________________（写出所有正确结论的编号）

解析：

如图，B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选①③④⑤。

点评：

该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。

[例13]

（1）画出下列几何体的三视图

解析：

这二个几何体的三视图如下

（2）如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：

cm）

点评：

画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。

一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。

画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。

物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。

[例14]某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状

解析：

该几何体为一个正四棱锥分析：

三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。

点评：

主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。

而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。

左视图和俯视图共同反映物体的宽要相等。

据此就不难得出该几何体的形状。

二、空间几何体的表面积和体积

1．多面体的面积和体积公式：

名称

侧面积（S侧）

全面积（S全）

体积（V）

棱

柱

棱柱

直截面周长×l

S侧+2S底

S底·h=S直截面·h

直棱柱

ch

S底·h

棱

锥

棱锥

各侧面积之和

S侧+S底

S底·h

正棱锥

ch′

棱

台

棱台

各侧面面积之和

S侧+S上底+S下底

h（S上底+S下底+）

正棱台

（c+c′）h′

表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，，即所求二面角的大小为arctan.

（Ⅱ）证明：

∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB∥CD，

又CD是面ABCD与面CDEF的交线，

∴AB∥面CDEF。

∵EF是面ABFE与面CDEF的交线，

∴AB∥EF。

∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，

∴EF∥面ABCD。

（Ⅲ）V估＜V。

证明：

∵a＞c，b＞d，

∴V－V估=

=［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］

=（a－c）（b－d）＞0。

∴V估＜V。

点评：

该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题。

考查了考生继续学习的潜能。

[例10]

（1）（1998全国，9）如果棱台的两底面积分别是S、S′，中截面的面积是S0，那么（）

A．B．C．2S0＝S＋S′D．S02＝2S′S

（2）（1994全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（）

A．32B．28C．24D．20

解析：

（1）解析：

设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；

（2）正六棱台上下底面面积分别为：

S上＝6··22＝6，S下＝6··42＝24，V台＝

，答案B。

点评：

本题考查棱台的中截面问题。

根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。

题型6：

圆柱的体积、表面积及其综合问题

[例11]（2000全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）

A．B．C．D．

解析：

设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h=2πr.

∴S全=2πr2+（2πr）2=2πr2（1+2π）.S侧=B．5cmC．5cmD．cm

4．球的大圆面积扩大为原大圆面积的4倍，则球的表面积扩大成原球面积的（）

A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍

5．三个球的半径之比为1：

2：

3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（）

A．1倍B．2倍C．1倍D．1倍

6．正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（）

A．B．C．D．

7．两个球的表面积之差为48,它们的大圆周长之和为12,这两个球的半径之差为（）

A．4B．3C．2D．1

8．已知正方体的棱长为a，过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去8个角，则剩余部分的体积是（）

A．a3B．a3C．a3D．a3

9.正方形ABCD的边长为1，E、F分别为BC、CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥，使B，C，D三点重合，那么这个三棱锥的体积为（）

A．B．C．D．

10.棱锥V-ABC的中截面是A1B1C1，则三棱锥V-A1B1C1与三棱锥A-A1BC的体积之比是（）

A．1：

2B．1：

4C．1：

6D．1：

8

11.两个球的表面积之比是1：

16，这两个球的体积之比为（）

A．1：

32B．1：

24C．1：

64D．1：

256

12．两个球的体积之比为8：

27，那么，这两个球的表面积之比为（）

A．2：

3B．4：

9C．D．

13．棱长为a的正方体内有一个球，与这个正方体的12条棱都相切，则这个球的体积应为（）

A．43　　　　　B．　　C．　D．

14．半径为R的球的外切圆柱的表面积是______________．

15．E是边长为2的正方形ABCD边AD的中点，将图形沿EB、EC折成三棱锥A-BCE（A，D重合），则此三棱锥的体积为____________．

16.直三棱柱的体积是V，D、E分别在、上，线段DE经过矩形的中心，则四棱锥C-ABED的体积是________________．

17．一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm和4cm,将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周,所得旋转体的体积是________________．

18．圆锥的底面半径为5cm,高为12cm,当它的内接圆柱的底面半径为何值时,圆锥的内接圆柱的全面积有最大值?

最大值是多少?

19．A、B、C是球面上三点，已知弦AB=18cm，BC=24cm，AC=30cm，平面ABC与球心O的距离恰好为球半径的一半，求球的面积．

20．圆锥轴截面为顶角等于1200的等腰三角形,且过顶点的最大截面面积为8,求这圆锥的全面积S和体积V．

21．已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积．

答案：

1.C;2.A;3.D;4.B;5.C;6.B;7.C;8.C;9.B;10.B;11.C;12.B;13.C;14.6R2;15.;16.;17.;

18.如图,SAB是圆锥的轴截面,其中SO=12,OB=5.设圆锥内接圆柱底面半径为O1C=x,由与相似,则

OO1=SO-SO1=12-,则圆柱的全面积S=S侧+2S底=2

则当时,S取到最大值．

19.解：

AB2+BC2=AC2，ABC为直角三角形，ABC的外接圆O1的半径r=15cm，

因圆O1即为平面ABC截球O所得的圆面，因此有R2=（）2+152，

R2=300，S球=4R2=1200（cm2）.

20.解:

设母线长为,当截面的两条母线互相垂直时,有最大的截面面积.此时,

底面半径,高则S全=

21.解：

四棱锥A1-EBFD1的底面是菱形，连接EF，则，平面ABB1A1，

三棱锥F-EBA1的高是CC1到平面AB1的距离，即棱长a，S

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