第八章 直线与圆 教师版.docx
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第八章直线与圆教师版
高中数学核心素养读本（教师版）
1
第8章直线与圆
一、知识框图
二、高考要求
内容
要求
ABC
8．直线与圆
直线的斜率和倾斜角√
直线方程√
直线的平行关系与垂直关系√
两条直线的交点√
两点间的距离、点到直线的距离√
圆的标准方程与一般方程√
直线与圆、圆与圆的位置关系√
倾斜角和斜率
直线的方程
位置关系
直线方程的形式
倾斜角的变化与斜率的变化
重合
平行
相交
垂直
A1B2－A2B1＝0
A1B2－A2B1≠0
A1A2＋B1B2＝0
点斜式：
y－y0＝k（x－x0）
斜截式：
y＝kx＋b
两点式：
y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1
截距式：
xa＋yb＝1
一般式：
Ax＋By＋C＝0
注意各种形式的转
化和运用范围.
两直线的交点
距离点到线的距离：
d＝
|Ax0＋By0＋C|
A2＋B2，平行线间距离：
d＝
|C1－C2|
A2＋B2
圆的方程
圆的标准方程
圆的一般方程
直线与圆的位置关系
两圆的位置关系
相离
相切
相交
＜0，或d＞r
＝0，或d＝r
＞0，或d＜r
截距
注意：
截距可正、
可负，也可为0.
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三、核心素养
核心素养在本章的具体体现有：
通过直线方程的学习，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，理解直线的倾斜角和斜率的概念，
掌握过两点的直线斜率的计算公式；根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形
式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系．初步建立代数表征几何元素的解
析：
意识与能力，提高问题解决的能力，逐渐养成用数学的眼光来观察世界，用数学的头脑来分析
世界，用数学的语言来表达世界．
通过两条直线位置关系的学习，能根据斜率判定两条直线平行或垂直，在探索距离的公式表达
过程中，能从多角度认识、理解两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会借助点到直线的距离
公式来求两条平行直线间的距离，提高逻辑推理和数学运算能力．
在圆的方程的学习中，通过探索圆的标准方程，进一步体会用代数表征几何的解析思想，通过
代数变形获得圆的一般方程，体会特殊到一般的推理方法，提高逻辑推理能力．根据给定直线、圆
的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，用直线和圆的方程解决一些简单的问题，提高数学建
模的能力．
总之，在直线与圆的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的解析思想，初步感受坐标法
处理几何问题的妙不可言，形成用代数方法解决几何问题的能力，理解解析法的实质，提高分析问
题和解决问题的能力、创新意识与探究能力、数学运算以及数学交流的能力．
四、教学建议
1．处理解决几何问题时，主要表现在两个方面：
（1）根据曲线的性质，建立与之等价的方程；
（2）根据方程的代数特征洞察并揭示曲线的性质．要重视坐标法，体会用坐标法研究平面几何问题
的解析思想．
2．帮助学生经历如下的过程：
首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，
进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．学
会借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，感受“数”与“形”的对应和统一，不断地体会“数
形结合”的思想方法．
3．要善于综合运用平面几何有关直线和圆的知识解决本章问题，从几何的角度来分析、解决直
线与圆的问题往往事半功倍．还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的
知识来解题．
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3
§8.1直线的斜率与直线方程
【复习指导】
1．考试说明对知识点的要求：
直线的斜率和倾斜角（B），直线方程（C）．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截
式与一次函数的关系．
【自主先学】
一、自主梳理
1．重读课本必修2P77—P88（☆☆☆）．独立完成下列梳理．
2．直线的倾斜角（☆☆☆）
（1）定义：
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫
做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°．
（2）范围：
直线l倾斜角的范围是[0，π）．
3．斜率公式（☆☆☆）
（1）若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α．
（2）P1（x1，y1），P2（x2，y2）在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝
y2－y1
x2－x1．
4．直线方程的五种形式（☆☆☆）
名称方程适用范围
点斜式y－y0＝k（x－x0）不含直线x＝x0
斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线
两点式y－y1y
2－y1
＝
x－x1
x2－x1
不含直线x＝x1（x1≠x2）和直线y＝y1
（y1≠y2）
截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式Ax＋By＋C＝0，（A2＋B2≠0）平面直角坐标系内的直线都适用
二、自主练习
1．（☆☆☆）（必修2P80第4题改编）直线经过原点和点（－1，－1），则它的倾斜角是__________．
2．（☆☆☆）（必修2P80第1题改编）过点M（－2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m＝____．
3．（☆☆☆）（必修2P80第6题改编）若点A（4，3），B（5，a），C（6，5）三点共线，则a＝______．
4．（☆☆☆）（必修2P82第1题改编）已知直线l过点P（－2，5），且斜率为－34，则直线l的方程为
________．
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4
5．（☆☆☆）（必修2P88习题13改编）过点（3，6）作直线l，使l在x轴，y轴上截距相等，则满足
条件的直线方程为______________．
答案：
1．45°2．13．44．3x＋4y－14＝05．x＋y－9＝0，y＝2x．
【自我反思】
______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
【交流展示】
【问题探究】
【问题1】直线的倾斜角与斜率
（1）若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，－1），则直线l的斜
率为___________．
（2）直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是___________．
答案：
（1）－13
（2）0，
π
6∪
5π
6，π
解析：
（1）依题意，设点P（a，1），Q（7，b），则有
a＋7＝2
b＋1＝－2
，解得a＝－5，b＝－3，
从而可知直线l的斜率为
－3－1
7＋5＝－
1
3．
（2）由xcosα＋3y＋2＝0得直线斜率k＝－33cosα．
∵－1≤cosα≤1，∴－33≤k≤33．
设直线的倾斜角为θ，则－33≤tanθ≤33．
结合正切函数在0，
π
2∪
π
2，π上的图象可知，0≤θ≤
π
6或
5π
6≤θ＜π．
备课笔记：
由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范
围时，常借助正切函数y＝tanx在[0，π）上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π）上并
不是单调的．
【问题2】直线方程的求法
根据所给条件求直线的方程：
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（1）直线过点（－4，0），倾斜角的正弦值为1010；
（2）直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12；
（3）直线过点（5，10），且到原点的距离为5．
答案：
（1）x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0
（2）4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0（3）x－5＝0或3x
－4y＋25＝0
解析：
（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sinα＝1010（0＜α＜π），从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13．
故所求直线方程为y＝±13（x＋4）．即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0．
（2）由题设知截距不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，又直线过点（－3，4），
从而
－3
a＋
4
12－a＝1，解得a＝－4或a＝9．
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0．
（3）当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；
当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k（x－5），即kx－y＋（10－5k）＝0．
由点线距离公式，得
|10－5k|
k2＋1
＝5，解得k＝34．故所求直线方程为3x－4y＋25＝0．
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0．
备课笔记：
在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜
截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示
与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为
零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
【问题3】直线方程的综合应用
已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如
图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
解析：
方法一设直线方程为xa＋yb＝1（a＞0，b＞0），点P（3，2）代入得
3
a＋
2
b＝1≥2
6
ab，得ab≥24，
从而S△AOB＝12ab≥12，当且仅当3a＝2b时，取“＝”，这时k＝－ba＝－23，从而所求直线方程为2x
＋3y－12＝0．
方法二依题意知，直线l的斜率k存在，且k＜0．则直线l的方程为y－2＝k（x－3）（k＜0），
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且有A3－
2
k，0，B（0，2－3k），
∴S△ABO＝12（2－3k）3－
2
k＝
1
2
12＋－9k＋4
－k≥
1
2
12＋2－9k·4
－k＝
1
2×（12＋12）＝12．
当且仅当－9k＝4－k，即k＝－23时，取“＝”．
即△ABO的面积的最小值为12．
故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0．
备课笔记：
直线方程综合问题的两大类型及解法：
（1）与函数相结合的问题，解决这类问题，一般是
利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x（或y）的函数，借助函数的性质解决；
（2）与方程、
不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识（如方程解的个数、根的存在问题，不等
式的性质、基本不等式等）来解决．
【质疑拓展】
变式1：
经过P（0，－1）作直线l，若直线l与连接A（1，－2），B（2，1）的线段总有公共点，则直线l
的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________．
解析：
如图所示，结合图形：
为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB＞0，kPA＜0，
故k＜0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k＞0时，α为锐角．
又kPA＝
－2－－1
1－0＝－1，kPB＝
－1－1
0－2＝1，∴－1≤k≤1．
又当0≤k≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k＜0时，3π4≤α＜π．
故倾斜角α的取值范围为α∈[0，π4]∪[3π4，π）．
变式2：
已知点A（3，4），求满足下列条件的直线方程：
（1）经过点A且在两坐标轴上截距相等；
（2）经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
解析：
（1）设直线在x，y轴上的截距均为a．
①若a＝0，即直线过点（0，0）及（3，4）．∴直线的方程为y＝43x，即4x－3y＝0．
②若a≠0，设所求直线的方程为xa＋ya＝1，又点（3，4）在直线上，∴3a＋4a＝1，∴a＝7．
∴直线的方程为x＋y－7＝0．
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综合①②可知所求直线的方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0．
（2）由题意可知，所求直线的斜率为±1．又过点（3，4），由点斜式得y－4＝±（x－3）．
所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0．
变式3：
已知直线l：
kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
（1）证明：
直线l过定点；
（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求
S的最小值并求此时直线l的方程．
（1）证明：
直线l的方程是k（x＋2）＋（1－y）＝0，
令
x＋2＝0，
1－y＝0，
解得
x＝－2，
y＝1，
∴无论k取何值，直线总经过定点（－2，1）．
（2）解析：
由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－
1＋2k
k，在y轴上的截距为1＋2k，要使
直线不经过第四象限，则必须有
－
1＋2k
k≤－2，
1＋2k≥1，
解之得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0．
（3）解析：
由l的方程，得A－
1＋2k
k，0，B（0，1＋2k）．
依题意得
－
1＋2k
k<0，
1＋2k>0，
解得k＞0．
∵S＝12·OA·OB＝12·
1＋2k
k
·|1＋2k|＝12·
1＋2k2
k＝
1
2
4k＋1
k＋4≥
1
2×（2×2＋4）＝4，
“＝”成立的条件是k＞0且4k＝1k，即k＝12，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
【教学反思】
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【巩固练习】
当堂检测
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8
1．直线l经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角的取值范围为______________．
2．已知直线PQ的斜率为－3，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率为________．
3．过点P（1，4）引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，则这条直线的
方程为______________．
答案：
1．0，
π
4∪
π
2，π2．33．2x＋y－6＝0
课后作业
一、填空题
1．直线3x－y＋a＝0的倾斜角为________．
答案：
60°
解析：
化直线方程为y＝3x＋a，∴k＝tanα＝3．∵0°≤α＜180°，∴α＝60°．
2．直线xsinπ7＋ycosπ7＝0的倾斜角α是________．
答案：
6π7
解析：
∵tanα＝－
sinπ7
cosπ7
＝－tanπ7＝tan67π，∵α∈[0，π），∴α＝67π．
3．已知A（3，5），B（4，7），C（－1，x）三点共线，则x＝________．
答案：
－3
解析：
∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC．∴
7－5
4－3＝
x－5
－1－3，∴x＝－3．
4．如果A·C＜0，且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第________象限．
答案：
三
解析：
由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA＞0，在y轴上的截距－CB＞0，故直线
经过一、二、四象限，不经过第三象限．
5．若直线ax＋by＝ab（a＞0，b＞0）过点（1，1），则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为
________．
答案：
4
解析：
∵直线ax＋by＝ab（a＞0，b＞0）过点（1，1），∴a＋b＝ab，即1a＋1b＝1，
∴a＋b＝（a＋b）
1
a＋
1
b＝2＋
b
a＋
a
b≥2＋2
b
a·
a
b＝4，当且仅当a＝b＝2时，取“＝”，
∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4．
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9
6．过点P（－2，3）且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线共有_________条．
答案：
3
解析：
设过点P（－2，3）且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k，则有直线的
方程为y－3＝k（x＋2），即kx－y＋2k＋3＝0，它与坐标轴的交点分别为M（0，2k＋3）、
N－2－
3
k，0．
再由12＝12OM·ON＝12|2k＋3|×|－2－3k|，可得|4k＋9k＋12|＝24，即4k＋9k＋12＝24，或4k＋9k＋
12＝－24．解得k＝32或k＝
－9－62
2或k＝
－9＋62
2，故满足条件的直线有3条．
7．若直线l1：
y＝k（x－6）与直线l2关于点（3，1）对称，则直线l2恒过定点________．
答案：
（0，2）
解析：
直线l1：
y＝k（x－6）恒过定点（6，0），定点关于点（3，1）对称的点为（0，2）．又直线l1：
y
＝k（x－6）与直线l2关于点（3，1）对称，故直线l2恒过定点（0，2）．
8．设直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0（a∈R），若l不经过第二象限，则实数a的取值范围为
___________．
答案：
a≤－1
解析：
将l的方程化为y＝－（a＋1）x＋a－2，∴
－a＋1>0，
a－2≤0
或
－a＋1＝0，
a－2≤0，
∴a≤－1．
综上可知a的取值范围是a≤－1．
9．设点A（－1，0），B（1，0），直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
答案：
[－2，2]
解析：
b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b
过点A（－1，0）和点B（1，0）时b分别取得最小值和最大值．∴b的取值范
围是[－2，2]．
10．已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是________．
答案：
3
解析：
直线AB的方程为x3＋y4＝1，设P（x，y），则x＝3－34y，∴xy＝3y－34y2＝34（－y2＋4y）＝34[－
（y－2）2＋4]≤3．即当P点坐标为
3
2，2时，xy取最大值3．
二、解答题
11．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
（1）过定点A（－3，4）；
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（2）斜率为16．
答案：
（1）2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0
（2）x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0
解析：
（1）设直线l的方程是y＝k（x＋3）＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－4k－3，3k＋4，
由已知得（3k＋4）－
4
k－3＝±6，解得k1＝－
2
3或k2＝－
8
3．
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0．
（2）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝16x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1．∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0．
12．如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P（1，0）作直线AB分别交OA、OB
于A、B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝12x上时，求直线AB
的方程．
答案：
（3＋3）x－2y－3－3＝0
解析：
由题意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan（180°－30°）＝－33，
所以直线lOA：
y＝x，lOB：
y＝－33x．
设A（m，m），B（－3n，n），所以AB的中点Cm－3n2，m＋n2，
由点C在y＝12x上，且A，P，B三点共线得
m＋n
2＝
1
2·
m－3n
2，
m－0
m－1＝
n－0
－3n－1，
解得m＝3，
所以A（3，3）．
又P（1，0），所以kAB＝kAP＝33－1＝
3＋3
2，所以lAB：
y＝
3＋3
2（x－1），
即直线AB的方程为（3＋3）x－2y－3－3＝0．
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§8.2两条直线的位置关系
【复习指导】
1．考试说明对知识点的要求：
直线的平行关系与垂直关系（B），两条直线的交点（B），两点间的
距离、点到直线的距离（B）．
2．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；能用解方程组的方法求两条相交直线的交点
坐标．
3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
【自主先学】
一、自主梳理
1．重读课本必修2P89—P106（☆☆☆）．独立完成下列梳理．
2．两条直线的位置关系（☆☆☆）
（1）两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
（i）对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2．
（ii）当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2．
②两条直线垂直：
（i）如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1．
（ii）当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2．
（2）两条直线的交点
直线l1：
A1x＋B1y＋C1＝0，l2：
A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组
A1x＋B1y＋C1＝0，
A2x＋B2y＋C2＝0
的解．
3．几种距离（☆☆☆）
（1）
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