故选A.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.(2017全国卷Ⅱ理科)函数f(x)=sin2x+cosx-(x∈[0,])的最大值是__1__.
[解析] f(x)=1-cos2x+cosx-=-(cosx-)2+1.
∵x∈[0,],∴cosx∈[0,1],
∴当cosx=时,f(x)取得最大值,最大值为1.
14.已知向量a=(1,2),b=(x,1),若a∥b,则实数x= .
[解析] ∵a∥b,∴1-2x=0.∴x=.
15.已知e1、e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|= .
[解析] 不妨设b=xe1+ye2,则b·e1=x+=1,
b·e2=+y=1,因此可得x=y=,
所以|b|=|e1+e2|=.
16.关于函数f(x)=cos(2x-)+cos(2x+),有下列说法:
①y=f(x)的最大值为;
②y=f(x)是以π为最小正周期的周期函数;
③y=f(x)在区间(,)上单调递减;
④将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后,将与已知函数的图象重合.
其中正确说法的序号是__①②③__.(注:
把你认为正确的说法的序号都填上)
[解析] 化简f(x)=cos(2x-)+cos(2x+-)=cos(2x-)-sin(2x-)=cos(2x-),
∴f(x)max=,即①正确.T===π,即②正确.
f(x)的递减区间为2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z).
即kπ+≤x≤kπ+π(k∈Z),即③正确.
将函数y=cos2x向左平移个单位得
y=cos[2(x+)]≠f(x),∴④不正确.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)在△AOB中,C是AB边上的一点,且=λ(λ>0),若=a,=b.
(1)当λ=1时,用a、b表示;
(2)用a、b表示.
[解析]
(1)当λ=1时,=,即C是AB的中点,
∴=(+)=a+b.
(2)∵=λ,∴=.
又=-=a-b,
∴=(a-b).
∴=+=b+(a-b)
=a+b.
18.(本题满分12分)(2018·浙江卷,18)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.
(1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.
[解析]
(1)解:
由角α的终边过点P,
得sinα=-.
所以sin(α+π)=-sinα=.
(2)解:
由角α的终边过点P,
得cosα=-.
由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±.
由β=(α+β)-α,
得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,
所以cosβ=-或cosβ=.
19.(本题满分12分)已知点A(1,0)、B(0,1)、C(2sinθ,cosθ).
(1)若||=||,求的值;
(2)若(+2)·=1,其中O为坐标原点,求sinθ·cosθ的值.
[解析] ∵A(1,0)、B(0,1)、C(2sinθ,cosθ),
∴=(2sinθ-1,cosθ),
=(2sinθ,cosθ-1).
(1)||=||,
∴=,
化简得2sinθ=cosθ,
∴tanθ=.
∴===-5.
(2)=(1,0),=(0,1),=(2sinθ,cosθ),
∴+2=(1,2),
∵(+2)·=1,
∴2sinθ+2cosθ=1,
∴(sinθ+cosθ)2=,
∴1+2sinθcosθ=,
∴sinθcosθ=-.
20.(本题满分12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若tanα+=5,求的值.
[解析]
(1)设最高点为(x1,1),相邻的最低点为(x2,-1),
则|x1-x2|=(T>0),
∴=,
∴+4=4+π2,∴T=2π=,又ω>0,∴ω=1.
∴f(x)=sin(x+φ).
∵f(x)是偶函数,
∴φ=kπ+(k∈Z).
∵0≤φ≤π,∴φ=,
∴f(x)=sin(x+)=cosx.
(2)∵tanα+=5,
∴+=5,
∴sinαcosα=,
∴=
=
=
=
=2sinαcosα=.
21.(本题满分12分)如图,矩形ABCD的长AD=2,宽AB=1,A,D两点分别在x轴,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限.求OB2的最大值.
[解析] 过点B作BH⊥OA,垂足为H.
设∠OAD=θ(0<θ<),
则∠BAH=-θ,OA=2cosθ,
BH=sin(-θ)=cosθ,
AH=cos(-θ)=sinθ,
所以B(2cosθ+sinθ,cosθ),
OB2=(2cosθ+sinθ)2+cos2θ=7+6cos2θ+2sin2θ
=7+4sin(2θ+).
由0<θ<,知<2θ+<,
所以当θ=时,OB2取得最大值7+4.
22.(本题满分12分)已知向量m=(sinx,1),n=(4cosx,2cosx),设函数f(x)=m·n.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)求函数f(x),x∈[-π,π]的单调递增区间.
(3)设函数h(x)=f(x)-k(k∈R)在区间[-π,π]上的零点的个数为a,试探求a的值及对应的k的取值范围.
[解析]
(1)f(x)=m·n
=4sinxcosx+2cosx
=2sinx+2cosx=4sin(x+).
(2)由
(1),知f(x)=4sin(x+),
x∈[-π,π],
所以x+∈[-,],
由-≤x+≤,
解得-≤x≤,
所以函数f(x)的单调递增区间为[-,].
(3)当x∈[-π,π]时,
函数h(x)=f(x)-k的零点讨论如下:
当k>4或k<-4时,h(x)无零点,a=0;
当k=4或k=-4时,h(x)有一个零点,a=1;
当-4当k=-2时,h(x)有三个零点,a=3.
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