高三最新 福建省仙游私立一中学年度第一学.docx
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福建省仙游私立一中2018—2018学年度第一学期高三数学统一测试试题2018.12.26
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，，那么下列结论正确的是（）
A．B．C．D．
2．在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中,真命题是（）
A．若lβ且α⊥β,则l⊥α.B．若l⊥β且α∥β,则l⊥α.
C．若l⊥β且α⊥β,则l∥α.D．若α∩β=且l∥,则l∥α.
3．设直线ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足（）
A．B．C．D．
4．函数在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（）
A．B．C．D．
5．变量x、y满足下列条件：
则使z=3x+2y的值最小的（x，y）是（）
A.（4.5,3）B.（3,6）C.（9,2）D.（6,4）
6.函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是（）
A.B.C.D。
7.已知函数的定义域为R，它的反函数为，如果与互为反函数且。
（为非零常数）则的值为（）
A．B。
0C。
D。
8．数列满足，若，则的值为（）
A.B.C.D。
9.设双曲线的左、右焦点为、，左、右顶点为M、N，若的一个顶点P在双曲线上，则的内切圆与边的切点的位置是（）
A．在线段MN的内部B．在线段M的内部或N内部
C．点N或点MD．以上三种情况都有可能.
10．△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，∠B=30°,
△ABC的面积为，那么（）
A．B．C．D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，
是底面ABCD的中心，、分别是、的中点。
那么异面直线和所成的角的余弦值等于（）
A．B．C．D．
12.设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2018，那么数列2，，，……，的“理想数”为（）
A．2018B．2018C．2018D．2018
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：
（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题目中的横线上。
）
13．不等式的解集是。
14.把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移,得到y=2x2的图象,且a⊥b,c=（1,-1）,b•c=4,则b=___________
15．已知函数满足：
，，则
++++=。
16．在等比数列中，若，则有等式，。
类比上述性质，相应的在等差数列中，若，则有等式成立。
三.解答题：
本大题共6小题，共74分，要求写出必要的解答过程，否者不能得分。
17．已知函数（，且均为常数），
（1）求函数的最小正周期；
（2）若在区间上单调递增，且恰好能够取到的最小值2，试求的值．
18．已知正项等比数列{an}中，a1=8，设（n∈N+）.
（Ⅰ）求证：
数列{bn}是等差数列；
（Ⅱ）如果数列{bn}的前7项和S7是它的前n项和Sn的大最值，且S7≠S8，S7≠S6.求数列{an}的公比q的取值范围..
19．某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张144元,使用规定:
不记名,每卡每次只限1人,每天只限1次,某班有48名同学,老师打算组织同学们分组集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每次游泳还要包一辆汽车,无论乘坐多少名同学,每次的包车费均为54元，若使每位同学游8次。
（1）如果买16张卡，那么每位学生需交多少钱；
（2）买多少张游泳卡最合算（即每位同学交钱最少）？
每位同学需交多少钱？
20．已知O为坐标原点，=（2，1），=（1，7），=（5，1），=x,y=·（x，y∈R）
（Ⅰ）求点P（x，y）的轨迹方程；
（Ⅱ）将点P（x，y）的轨迹按向量=（-2，8）平移到曲线C，M、N是曲线C上的两不同的点，如果⊥，求证直线MN恒过一定点，并求出定点坐标.
21．如图，过抛物线上一定点P（）（），作两条直线分别交抛物线于A（），B（）
（I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离
（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明直线AB的斜率是非零常数。
（）问三角形PAB能是正三角形吗？
说明理由。
22．数列
（1）若数列
（2）求数列的通项公式
（3）数列适合条件的项；若不存在，请说明理由
数学答案
一、选择题：
（共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
C
D
B
D
B
C
C
B
A
A
二，填空题
13．
14．（3，-1）
15．30
16．
三．解答题
17．已知函数（，且均为常数），
（1）求函数的最小正周期；
（2）若在区间上单调递增，且恰好能够取到的最小值2，试求的值．
（1）
（3分）
（其中由下面的两式所确定：
）
所以，函数的最小正周期为．（6分）
（2）由
（1）可知的最小值为，所以，．（8分）
另外，由在区间上单调递增，可知：
在区间上的最小
值为，所以，=．（10分）
解之得：
（12分）
18．已知正项等比数列{an}中，a1=8，高bn=log2an（n∈N+）.
（Ⅰ）求证：
数列{bn}是等差数列；
（Ⅱ）如果数列{bn}的前7项和S7是它的前n项和Sn的大最值，且S7≠S8，S7≠S6.求数列{an}的公比q的取值范围..
解：
（Ⅰ）在等比数列{an}，a1=8，故设公比为q，则an=a1qn-1=8qn-1（2分）
bn=log2an=log2（8qn-1）=3+（n-1）log2q
∴bn+1-bn=log2q
故数列{bn}是以b1=3为首项，d=log2q为公差的等差数列（6分）
（Ⅱ）由于S7是{bn}的前n项和组成的数列{Sn}的最大值，且S7≠S8，S7≠S6故数列
{bn}是递减数列且b1＞b2＞b3＞b4＞b5＞b6＞b7＞0＞bs＞…
log2q＜0
∴b7=3+6log2q＞0（10分）
b8=3+7log2q＜0
∴-＜log2q＜-
∴2-＜q＜2-
即＜q＜（12分）
19．某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张144元,使用规定:
不记名,每卡每次只限1人,每天只限1次,某班有48名同学,老师打算组织同学们分组集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每次游泳还要包一辆汽车,无论乘坐多少名同学,每次的包车费均为54元，若使每位同学游8次。
（3）如果买16张卡，那么每位学生需交多少钱；
（4）买多少张游泳卡最合算（即每位同学交钱最少）？
每位同学需交多少钱？
解：
（1）若买16张卡，则每位学生应交的钱数是元。
（4分）
（2）设应该设购买x张游泳卡,本次活动总开支为y（元），
由题意：
当且仅当,即x=12时取等号。
3456÷48=72（元）
答：
买12张游泳卡最合算，每人只需交72元。
（12分）
20．已知O为坐标原点，=（2，1），=（1，7），=（5，1），=x,y=·（x，y∈R）
（Ⅰ）求点P（x，y）的轨迹方程；
（Ⅱ）将点P（x，y）的轨迹按向量=（-2，8）平移到曲线C，M、N是曲线C上的两不同的点，如果⊥，求证直线MN恒过一定点，并求出定点坐标.
解：
（Ⅰ）∵=x=x（2，1）=（2x，x）∴D（2x，x）
∵=（1，7），=（5，1）∴B（1，7），C（5，1）
∴=（1-2x，7-x），=（5-2x，1-x）
∴y=·=（1-2x）·（5-2x）+（7-x）（1-x）=5x2-20x+12
∴y=5（x-2）2-8这就是所求的点P（x，y）的轨迹方程（6分）
（Ⅱ）将y=f（x）的图象按向量平移到曲线C，所得的曲线C的方程为：
y=5x2（8分）
设M（x1，y1），N（x2，y2）则OM⊥ON·=x1x2+y1y2=0
设直线MN的方程为：
y=kx+y0（k≠0）代入y2=5x得
k2x2+（2ky0-5）x+y18=0
Δ=（2ky0-5）-4k2y18=25-20ky0＞0即ky0＜且x1+x2=，x1x2=
∴y1y2=（kx1+y0）（kx2+y0）=k2x1x2+ky0（x1+x2）+y18=于是
y18=-5（ky0）∴k=-y0（显然y0≠0且满足ky0＜）
故直线MN的方程为：
∴y=-（x-5）
所以直线MN恒过定点（5，0）（12分）
21．如图，过抛物线上一定点P（）（），作两条直线分别交抛物线于A（），B（）
（I）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离
（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数。
（）问三角形PAB能是正三角形吗？
说明理由。
解：
（I）当时，
又抛物线的准线方程为
由抛物线定义得，所求距离为（3分）
（2）设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为
由，
相减得
故
同理可得
由PA，PB倾斜角互补知
即
所以
故（6分）
设直线AB的斜率为
由，
相减得
所以
将代入得
，所以是非零常数（8分）
（3）假设能。
由条件可得：
，所以轴，矛盾。
故不能。
（12分）
22．数列
（1）若数列
（2）求数列的通项公式
（3）数列适合条件的项；若不存在，请说明理由
解：
（1）由
∴（4'）
（2）
（8'）
（3）设存在S，P，r
（10'）
即
（12'）
为偶数
1+2
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