超市收费系统问题.docx
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超市收费系统问题
超市收费系统问题
一、实验目的与意义
1.练习模拟模型的建立过程；
2.进一步熟悉模拟算法的设计、编程问题。
二、实验要求
1.熟练应用Matlab的随机变量的模拟函数；
2.加强离散系统模拟算法的分析和设计训练；
3.提高Matlab的编程应用技能。
三、题目内容描述:
一小超级市场有4个付款柜，每个柜台为一位顾客计算货款数的时间与顾客所购商品件数成正比（大约每件费时1s），20%的顾客用支票或信用卡支付，这需要1.5min，付款则仅需0.5min。
有人倡议设一个快速服务台专为购买8个或8个以下商品的顾客服务，指定另外两个为“现金支付柜”。
请你建立一个模拟模型，用于比较现有系统和倡议的系统的运转。
假设顾客到达平均间隔时间是0.5min，顾客购买商品件数按如下频率表分布。
件数
9~19
20~29
30~39
40~49
相对频率
0.12
0.10
0.18
0.28
0.20
0.12
四、问题分析
这是一个机理较复杂的随机问题，是遵循“先到先服务”的随机排队问题。
解决方法：
采用模拟模型方法。
因此需考虑以下问题：
（1）应该怎样安排摩托车？
（2）下一辆到达的车是什么类型？
（3）怎样描述一辆车的车身长度？
（4）如何安排到达车辆加入甲板上两列车队中的哪一列中去？
本实验主要模拟装载车辆的情况，暂时不考虑渡船的安全。
五、建立模型
设到达的卡车、轿车长度分别为随机变量
。
结合实际，这里不妨假设卡车、轿车的车身长度
均服从正态分布。
由于卡车车身长为8~10m，所以卡车车长
的均值为
m，由概率知识中的“
”原则，其标准差为
，所以得到
。
同理可得
。
六、模拟方法介绍
1、步骤
（1）分析问题，收集资料。
需要搞清楚问题要达到的目标，根据问题的性
质收集有关随机性因素的资料。
这里用得较多的知识为概率统计方面。
在这个阶段，还应当估计一下待建立的模拟系统的规模和条件，说明哪些是可以控制的变量，哪些是不可控制的变量。
（2）建立模拟模型，编制模拟程序。
按照一般的建模方法，对问题进行适当的假设。
也就是说，模拟模型未必要将被模拟系统的每个细节全部考虑。
模拟
模型的优劣将通过与实际系统有关资料的比较来评价。
如果一个“粗糙”的模拟模型已经比较符合实际系统的情况，也就没有必要建立费时、复杂的模型。
当然，如果开始建立的模型比较简单，与实际系统相差较大，那么可以在建立了简单模型后，逐步加入一些原先没有考虑的因素，直到模型达到预定的要求为止。
编写模拟程序之前，要现画出程序框图或写出算法步骤。
然后选择合适的计算机语言，编写模拟程序。
（3）运行模拟程序，计算结果。
为了减小模拟结果的随机性偏差，一般要
多次运行模拟程序，还有就是增加模拟模型的时段次数。
（4）分析模拟结果，并检验。
模拟结果一般说来反映的是统计特性，结果
的合理性、有效性，都需要结合实际的系统来分析，检验。
以便提出合理的对策、方案。
以上步骤是一个反复的过程，在时间和步骤上是彼此交错的。
比如模型的修
改和改进，都需要重新编写和改动模拟程序。
模拟结果的不合理，则要求检查模型，并修改模拟程序。
2．控制模拟时间的方法：
（1）固定时间增量法，是选用一段合适的时间作单位，然后每隔一个单位时间就计算一次有关参数的值，到达预定的模拟时间后，模拟程序结束。
在编写这种程序时，一般可以建立一个“模拟时钟”变量。
程序的主体框架一般是个大的循环，循环变量，则为模拟时间；在每个循环体内，就是对每个时段作处理。
例如，有些排队论模型，可能就是以每隔一段时间（一天或者一个月）进行处理。
（2）可变时间增量法，模拟也有一个“模拟时钟”变量，但它是在一个事件发生时，“模拟时钟”才向前推进。
需要注意的是，该模拟方法每一步经过的时间是可变的，而且会自动寻找下一个最早使系统状态发生变化的事件。
整个模拟直到“模拟时钟”到达指定的时间长度为止。
可以参考有关离散系统仿真的内容。
七、模拟程序设计
由以上的分析，程序设计时的应划分的主要模块（函数）如下：
1.确定下一辆到达车辆的类型；
2.根据车的类型确定到达车辆的长度；
3.根据一定的停放规则，确定放在哪一列。
八、模拟程序
functionsim_dukou %渡口模型的模拟
n=input（'输入模拟次数：
'）;
ifisempty（n）|（n<500）
n=500;
end
N=zeros（1,3）;%依次为摩托车数量、卡车数量、轿车数量
fori=1:
n
isfull=0;
L=[0,0]; %第一列长度,第二列长度
while~isfull
t=rand;%模拟下一辆到达车的类型
ift<=0.55,
id=1;%到达卡车
elseift<0.95,
id=2;%到达轿车
else
id=3;%到达摩托车
end
N（id）=N（id）+1;
newlen=getlength（id）;
[isfull,pos]=getiffull（L,newlen）;
if~isfull
L（pos）=L（pos）+newlen;
end%if
end%while
end%for
disp（'平均每次渡船上的车数'）
mean_n=N/n
functionlen=getlength（id） %根据车的类型，产生车长随机数
switchid
case1
len=min（[4.5+randn*（1/3）,5.5]）;
case2
len=min（[9+randn*（1/3）,10]）;
case3
len=0;%根据放置方法，可以不予考虑
end
function[full,pos]=getiffull（L,newlen） %增加车长为len后是否可行（是否满），pos表示加到那一列去
full=0;
pos=0;
ifL
（1）>L
（2）
ifL
（1）+newlen<32
pos=1;
elseifL
（2）+newlen<32
pos=2;
else
full=1;
end
else
ifL
（2）+newlen<32
pos=2;
elseifL
（1）+newlen<32
pos=1;
else
full=1;
end
end
九、模型求解结果及分析
（一）运行结果
程序名为sim_dukou，运行程序，输出结果如下：
sim_dukou
输入模拟次数：
1000
平均每次渡船上的车数
mean_n=
5.48403.91800.5160
（二）结果分析
上面为运行一次模拟程序，模拟次数为1000次的模拟结果。
从模拟结果，你能得出什么结论？
发现摩托车的平均数量不到1辆，因此从另外一方面看，忽略摩托车的长度是合理的。
统计结果显示平均每次渡口时船上卡车、轿车、摩托车数量分别为5.484、3.918、0.516辆。
参考代码:
clear
gds
（1）=ceil（exprnd（30））;
fw
（1）=time;
fwjs=zeros（4,3000）;
fwjs（1,1）=gds
（1）+fw
（1）;
dh
（1）=fw
（1）;
fori=2:
4
gds（i）=gds（i-1）+ceil（exprnd（30））;
fw（i）=time;
fwjs（i,1）=gds（i）+fw（i）;
dh（i）=fw（i）;
end
i=5;
gds（i）=gds（i-1）+ceil（exprnd（30））;
whilegds（i）<=8*60*60
fw（i）=time;
[dh（i）,fwjs2]=paidui（fwjs,gds（i）,fw（i））;
fwjs=fwjs2;
i=i+1;
gds（i）=gds（i-1）+ceil（exprnd（30））;
end
js1.m文件:
t=rand;
ift<0.12
a=randperm（8）;
js=a
（1）;
elseift<0.22
a=randperm（11）;
js=a
（1）+8;
elseift<0.4
a=randperm（10）;
js=a
（1）+19;
elseift<0.68
a=randperm（10）;
js=a
（1）+29;
elseift<0.88
a=randperm（10）;
js=a
（1）+39;
else
t1=rand;
ift1<0.5
js=50;
elseift1<0.5+0.5^2;
js=51;
elseift1<0.5+0.5^2+0.5^3;
js=52;
elseift1<0.5+0.5^2+0.5^3+0.5^4;
js=53;
elseift1<0.5+0.5^2+0.5^3+0.5^4+0.5^5;
js=54;
elseift1<0.5+0.5^2+0.5^3+0.5^4+0.5^5+0.5^6;
js=55;
elseift1<0.5+0.5^2+0.5^3+0.5^4+0.5^5+0.5^6+0.5^7;
js=56;
elseift1<0.5+0.5^2+0.5^3+0.5^4+0.5^5+0.5^6+0.5^7+0.5^8;
js=57;
elseift1<0.5+0.5^2+0.5^3+0.5^4+0.5^5+0.5^6+0.5^7+0.5^8+0.5^9;
js=58;
elseift1<0.5+0.5^2+0.5^3+0.5^4+0.5^5+0.5^6+0.5^7+0.5^8+0.5^9+0.5^10;
js=59;
else
js=60;
end
end
js
paidui.m文件:
function[dh,fwjs]=paidui（fwjs,gds,fw）
forl=1:
4
fwjs1=fwjs（l,find（fwjs（l,:
）>0））;
j=1;
whilejifgds>=fwjs1（j）&gdsdc（l）=length（fwjs1）-j;
break
end
j=j+1;
end
ifgds>fwjs1（length（fwjs1））
dc（l）=0;
end
iflength（fwjs1）==1
ifgds>fwjs1
（1）
dc（l）=0;
else
dc（l）=1;
end
end
end
[k,s]=min（dc）;
fwjs2=fwjs（s,find（fwjs（s,:
）>0））;
fwjs（s,length（fwjs2）+1）=max（fwjs（s,length（fwjs2））-gds,0）+gds+fw;
dh=fwjs（s,length（fwjs2）+1）-gds;
time.m文件:
functiont0=time
t=rand;
ift<0.12
a=randperm（8）;
js=a
（1）;
elseift<0.22
a=randperm（11）;
js=a
（1）+8;
elseift<0.4
a=randperm（10）;
js=a
（1）+19;
elseift<0.68
a=randperm（10）;
js=a
（1）+29;
elseift<0.88
a=randperm（10）;
js=a
（1）+39;
else
t1=rand;
ift1<0.5
js=50;
elseift1<0.5+0.5^2;
js=51;
elseift1<0.5+0.5^2+0.5^3;
js=52;
elseift1<0.5+0.5^2+0.5^3+0.5^4;
js=53;
elseift1<0.5+0.5^2+0.5^3+0.5^4+0.5^5;
js=54;
elseift1<0.5+0.5^2+0.5^3+0.5^4+0.5^5+0.5^6;
js=55;
elseift1<0.5+0.5^2+0.5^3+0.5^4+0.5^5+0.5^6+0.5^7;
js=56;
elseift1<0.5+0.5^2+0.5^3+0.5^4+0.5^5+0.5^6+0.5^7+0.5^8;
js=57;
elseift1<0.5+0.5^2+0.5^3+0.5^4+0.5^5+0.5^6+0.5^7+0.5^8+0.5^9;
js=58;
elseift1<0.5+0.5^2+0.5^3+0.5^4+0.5^5+0.5^6+0.5^7+0.5^8+0.5^9+0.5^10;
js=59;
else
js=60;
end
end
t=rand;
ift<=0.2
t2=90;
else
t2=30;
end
t0=js+t2;
参考文献
[1]杨启凡，数学建模[M].杭州：
浙江大学出版社，2000
[2] 姜启源.谢金星.叶俊. 数学模型.高等教育出版社 2003
[3]雷功炎. 数学模型讲义. 北京大学出版社. 2009
[4] 韩中庚.马晓军.胡宗云.数学建模竞赛—获奖论文精选与点评（第二卷）.科学出版社2013
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