天津市南开区翔宇中学 九年级数学中考 综合题练习含答案517.docx

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天津市南开区翔宇中学九年级数学中考综合题练习含答案517

2017年中考综合题专题练习5.17

如图，已知Rt△ABC，C=900，O在AB上，以O为圆心，OA为半径作⊙O，交AB于D点，与BC相切于E点，连接AE.

（1）求证：

AE平分∠CAB；

（2）若CE=2，BE=6，求sinB及⊙O的半径.

已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．

（Ⅰ）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；

（Ⅱ）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．

如图,已知等边三角形ABC和正方形BDEC的边长均为2，⊙O经过点A，D，E三点．

求：

⊙O的半径．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．

（1）判断直线BC与⊙O的位置关系并证明；

（2）若⊙O的半径为2，AC=3，求BD的长度．

如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F．过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．

（1）求证：

△EFD为等腰三角形；

（2）若OF：

OB=1：

3，⊙O的半径为3，求AG的长．

如图,⊙O的半径OA⊥OC,点D在弧AC上，且弧AD=2弧CD,OA=4.

（1）∠COD=°；

（2）求弦AD的长；

（2）0是半径OC上一动点，连结AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由．

如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．

（1）求证：

DC=DE；

（2）若tan∠CAB=0.5，AB=3，求BD的长．

如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，2AC=OB．

（1）求证：

AB是⊙O的切线；

（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．

（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值．

如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：

DE是⊙O的切线．

（2）求DE的长．

如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相交于点E．

（1）求证：

AD是半圆O的切线；

（2）连结CD，求证：

∠A=2∠CDE；

（3）若∠CDE=27°，OB=2，求

的长．

如图,已知AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB，垂足为F,E为BA延长线上的一点,连接CE、CA,∠ECA=∠ACD．

（1）求证：

CE为⊙O的切线；

（2）若EA=2，tanE=

，求⊙O的半径．

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°．

求证：

BF=AE．

（2）如图2，正方形ABCD边长为12，将正方形沿MN折叠，使点A落在DC边上的点E处，且DE=5，求折痕MN的长．

（3）已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．直接写出下列两题的答案：

①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH=；

②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH=．（用n的代数式表示）

如图,已知一次函数y=0.5x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=0.5x2+bx+c的图象与一次函数y=0.5x+1的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求四边形BDEC的面积S；

（3）在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？

若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

如图已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．

（1）求m、n；

（2）向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；

（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C,试在x轴上找点D,使得以点B′,C,D为顶点的三角形与△ABC相似．

16.A、B两乡分别由大米200吨、300吨．现将这些大米运至C、D两个粮站储存．已知C粮站可储存240吨，D粮站可储存200吨，从A乡运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，B乡运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设A乡运往C粮站大米x吨．A、B两乡运往两个粮站的运费分别为yA、yB元．

（1）请填写下表，并求出yA、yB与x的关系式：

C站

D站

总计

A乡

x吨

200吨

B乡

300吨

总计

240吨

260吨

500吨

（2）试讨论A、B乡中，哪一个的运费较少；

（3）若B乡比较困难，最多只能承受4830元费用，这种情况下，运输方案如何确定才能使总运费最少？

最少的费用是多少？

17.小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：

服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元．计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．

（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？

（2）在

（1）的条件下，该服装店在6月21日“父亲节”当天对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？

18.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为.

（1）用含的代数式表示第3年的可变成本为__________万元；

（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.

19.纺织品有限公司准备投资开发A、B两种新产品,通过市场调研发现：

如果单独投资A种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间满足正比例函数关系：

yA=kx；如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间满足二次函数关系：

yB=ax2+bx.根据公司信息部的报告，yA，yB（万元）与投资金额x（万元）的部分对应值（如下表）

x

1

5

yA

0.6

3

yB

2.8

10

（1）填空：

　　　　；　　　　；

（2）如果公司准备投资20万元同时开发A、B两种新产品，设公司所获得的总利润为W（万元），试写出W与某种产品的投资金额x之间的函数关系式.

（3）请你设计一个在

（2）中能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少万元？

参考答案

1.答案：

（1）连OE，证明略；

（2）sinB=1/3，圆O的半径为

.

2.解：

（Ⅰ）如图①，连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，

∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC，

∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠BAC=∠DAC=30°；

（Ⅱ）如图②，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，

∴∠BAF=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，

在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠B=180°，

∴∠B=180°﹣108°=72°，∴∠BAF=90°﹣∠B=90°﹣72°=18°．

3.解：

如图2，作AF⊥BC，垂足为F，并延长AF交DE于H点．

∵△ABC为等边三角形，∴AF垂直平分BC，

∵四边形BDEC为正方形，∴AH垂直平分正方形的边DE．

又∵DE是圆的弦，∴AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半径为r．

在Rt△ABF中，∵∠BAF=30°，∴AF=AB•cos30°=2×

．

∴OH=AF+FH﹣OA=

+2﹣r．在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2．

∴（2+

﹣r）2+12=r2．解得r=2．∴该圆的半径长为2．

4.解：

（1）BC与⊙O相切．证明：

连接OD．

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD．又∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA．

∴∠CAD=∠ODA．∴OD∥AC．∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．

又∵BC过半径OD的外端点D，∴BC与⊙O相切．

（2）由

（1）知OD∥AC．∴△BDO∽△BCA．∴OB:

AB=OD:

AC．

∵⊙O的半径为2，∴DO=OE=2，AE=4．∴（BE+2）:

（BE+4）=2：

3．∴BE=2．∴BO=4，

∴在Rt△BDO中，BD=2

．

5.

（1）证明：

连接OD，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC，∵OC⊥AB，∴∠COF=90°，∴∠OCD+∠CFO=90°，

∵GE为⊙O的切线，∴∠ODC+∠EDF=90°，∵∠EFD=∠CFO，∴∠EFD=∠EDF，∴EF=ED．

（2）解：

∵OF：

OB=1：

3，⊙O的半径为3，∴OF=1，

∵∠EFD=∠EDF，∴EF=ED，在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，21·世纪*教育网

∵OD2+DE2=OE2，∴32+x2=（x+1）2，解得x=4，∴DE=4，OE=5，

∵AG为⊙O的切线，∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，

而∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴OD:

AG=DE:

AE，即3：

AG=4：

8，∴AG=6．

6.

7.

（1）证明：

连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠ACO+∠DCE=90°，

又∵ED⊥AD，∴∠EDA=90°，∴∠EAD+∠E=90°，

∵OC=OA，∴∠ACO=∠EAD，故∠DCE=∠E，∴DC=DE，

（2）解：

设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，

在Rt△EAD中，∵tan∠CAB=0.5，∴ED=0.5AD=0.5（3+x），

由

（1）知，DC=0.5（3+x），在Rt△OCD中，OC2+CD2=DO2，

则1.52+[0.5（3+x）]2=（1.5+x）2，解得：

x1=﹣3（舍去），x2=1，故BD=1．

8.【解答】

（1）证明：

如图，连接OA；

∵OC=BC，2AC=OB，∴OC=BC=AC=OA．∴△ACO是等边三角形．∴∠O=∠OCA=60°，

∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，

∴∠B=30°，又∠OAC=60°，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线；

（2）解：

作AE⊥CD于点E，∵∠O=60°，∴∠D=30°．

∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=

；

∵∠D=30°，∴AD=2

，∴DE=

AE=

，∴CD=DE+CE=

+

．

9.解：

（1）CD与⊙O相切．理由：

连接OD，

∵∠AED=45°，∴∠AOD=2∠AED=90°，即OD⊥AB，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴OD⊥CD，

∵AB为直径的圆O经过点D，∴CD与⊙O相切；

（2）过点O作OF⊥AE，连接OE，则AF=

AE=

×10=5（cm），

∵OA=OE，∴∠AOF=

∠AOE，∵∠ADE=

∠AOE，∴∠ADE=∠AOF，

在Rt△AOF中，sin∠AOF=

=

，∴sin∠ADE=

．

10.【解答】证明：

（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAB，

∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ODA=∠DAE，∴OD∥AE，

∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O切线．

（2）过点O作OF⊥AC于点F，∴AF=CF=3，∴OF=

=

=4．

∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，∴四边形OFED是矩形，∴DE=OF=4．

11.【解答】

（1）证明：

连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴AB⊥BC，即∠ABO=90°，

∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，

∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，∴∠ADO=∠ABO=90°，∴AD是半圆O的切线；

（2）证明：

由

（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，

∴∠A=360°﹣∠ADO﹣∠ABO﹣∠BOD=180°﹣∠BOD，

∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，

∵BC是⊙O的直径，∴∠ODC+∠BDO=90°，∴∠BDO=∠CDE，

∵∠BDO=∠OBD，∴∠DOC=2∠BDO，∴∠DOC=2∠CDE，∴∠A=∠CDE；

（3）解：

∵∠CDE=27°，∴∠DOC=2∠CDE=54°，∴∠BOD=180°﹣54°=126°，

∵OB=2，∴

的长=

=

π．

12.【解答】

（1）证明：

连接BC，OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴

=

，∴∠ACD=∠ABC，

∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB，∴∠ACD=∠OCB，∵∠ECA=∠ACD．∴∠EAC=∠OCB，

∵∠OCB+∠OCA=90°，∴∠ECA+∠OCA=90°，∴∠OCE=90°，

∵点C在⊙O上，∴CE是⊙O的切线．

（2）在Rt△ECO中，tan∠E=

，设OC=R，∴CE=

R，OE=R+2，

∴（

R）2+R2=（R+2）2，∴R=3或R=﹣

（舍）．

13.

（1）证明：

如图，∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，∴∠EAB+∠AEB=90°．

∵∠EOB=∠AOF=90°，∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，

在△ABE和△BCF中，∠EAB=∠FBC,AB=BC,∠ABC=∠C，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；

（2）解：

如图2，连接AE，过点N作NH⊥AD于H，由折叠的性质得，AE⊥NM，

∴∠DAE+∠AMN=90°，∠MNH+∠AMN=90°，∴∠DAE=∠MNH，

在△ADE和△NHM中，∠DAE=∠MNH,AD=NH,∠MHN=∠D，

∴△ADE≌△NHM（ASA），∴AE=MN，∵DE=5，∴由勾股定理得，AE=13，∴MN=13；

（3）解：

如图3、4，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，

∵∠FOH=90°，∴∠MFE=∠NAH，又∵∠EMF=∠HNG=90°，∴△EFM∽△HNG，

∴GH:

EF=GN:

FM，图3，GN=2FM，∴GH=2EF=2×4=8，

图4，GN=nFM，∴GH=nEF=4n．故答案为：

8，4n．

14.

15.解：

（1）根据题意，得：

解得

（2）四边形AA′B′B为菱形，则AA′=B′B=AB=5

∵

=

∴向右平移5个单位的抛物线解析式为

（3）设D（x，0）根据题意，得：

AB=5，

∵∠A=∠BB′A

ⅰ）△ABC∽△B′CD时，∠ABC=∠B′CD，∴BD=6－x，由

得

，解得x=3，∴D（3，0）

ⅱ）△ABC∽△B′DC时，

∴

解得

∴

16.解：

（1）根据已知补充表格如下：

C站

D站

总计

A乡

x吨

200﹣x吨

200吨

B乡

240﹣x吨

x+60吨

300吨

总计

240吨

260吨

500吨

A乡运往两个粮站的运费yA=20x+25×（200﹣x）=﹣5x+5000（0≤x≤200）；

B乡运往两个粮站的运费yB=15×（240﹣x）+18×（x+60）=3x+4680（0≤x≤200）．

（2）令yA=yB，即﹣5x+5000=3x+4680，解得：

x=40．

故当x＜40时，B乡运费少；当x=40时，A、B两乡运费一样多；当x＞40时，A乡运费少．

（3）令yB≤4830，即3x+4680≤4830，解得：

x≤50．

总运费y=yA+yB=﹣5x+5000+3x+4680=﹣2x+9680，

∵﹣2＜0，∴y=﹣2x+9680单调递减．故当x=50时，总运费最低，最低费用为9580元．

17.解：

（1）设购进甲种服装x件，由题意可知：

80x+60≤7500，解得：

x≤75．

答：

甲种服装最多购进75件．

（2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以65≤x≤75，

w=x+（90﹣60）=（10﹣a）x+3000，

方案1：

当0＜a＜10时，10﹣a＞0，w随x的增大而增大，

所以当x=75时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件；

方案2：

当a=10时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；

方案3：

当10＜a＜20时，10﹣a＜0，w随x的增大而减少，

所以当x=65时，w有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件．

18.解：

（1）.

（2）根据题意，得.

   解得x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）．

   故可变成本平均每年增长的百分率是10%．

19.解：

（1）,

（2）设投资万元生产B产品,则投资万元生产A产品,共获得利润W万元,则

答：

投资6万元生产B产品,14万元生产A产品可获得最大利润19.2万元.