湖南省张家界市届高三第三次模拟考试数学文试题含答案.docx
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湖南省张家界市届高三第三次模拟考试数学文试题含答案
2019届高三第三次模拟考试
数学（文科）试题
第Ⅰ卷选择题（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，若，则的值为（）
A．1B．-1C．D．2
2.命题：
，的否定是（）
A．，B．，
C．，D．，
3.设为虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则（）
A．-5B．C．-1D．
4.已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（）
6
8
10
12
6
3
2
A．变量，之间呈现负相关关系
B．可以预测，当时，
C．
D．由表格数据知，该回归直线必过点
5.在等差数列中，，则（）
A．8B．12C．16D．20
6.在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象大致为（）
A．B．C．D．
7.数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”.图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满7个即在左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（）
A．336B．510C．1326D．3603
8.执行如图所示的程序框图，则输出的（）
A．B．C．4D．5
9.若函数（且）在上单调递增，则实数的取值范围为（）
A．B．
C．D．
10.已知变量，满足，若方程有解，则实数的最小值为（）
A．B．C．D．
11.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若，则实数的最小值为（）
A．B．C．D．
12.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13.已知向量，，，满足，则，夹角的余弦值为．
14.双曲线：
的离心率为2，其渐近线与圆相切，则该双曲线的方程为．
15.已知球面上有四个点，，，，球心为点，在上，若三棱锥的体积的最大值为，则该球的表面积为．
16.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则的最大值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知正项等比数列的前项和为，且，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，数列的前项和为，求满足的正整数的最小值.
18.新鲜的荔枝很好吃，但摘下后容易变黑，影响卖相.某大型超市进行扶贫工作，按计划每年六月从精准扶贫户中订购荔枝，每天进货量相同且每公斤20元，售价为每公斤24元，未售完的荔枝降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完.根据往年情况，每天需求量与当天平均气温有关.如果平均气温不低于25摄氏度，需求量为公斤；如果平均气温位于摄氏度，需求量为公斤；如果平均气温位于摄氏度，需求量为公斤；如果平均气温低于15摄氏度，需求量为公斤.为了确定6月1日到30日的订购数量，统计了前三年6月1日到30日各天的平均气温数据，得到如图所示的频数分布表：
平均气温
天数
2
16
36
25
7
4
（Ⅰ）假设该商场在这90天内每天进货100公斤，求这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润（结果取整数）；
（Ⅱ）若该商场每天进货量为200公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率.
19.如图，是边长为3的等边三角形，四边形为正方形，平面平面.点、分别为、上的点，且，点为上的一点，且.
（Ⅰ）当时，求证：
平面；
（Ⅱ）当时，求三棱锥的体积.
20.已知椭圆：
的离心率为，且椭圆过点.过点做两条相互垂直的直线、分别与椭圆交于、、、四点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若，，探究：
直线是否过定点？
若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.
21.已知函数.
（Ⅰ）若函数有两个零点，求的取值范围；
（Ⅱ）证明：
当时，关于的不等式在上恒成立.
请考生在22、23题中任选一题作答，注意：
只能做选定的题目，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线：
经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求出曲线、的参数方程；
（Ⅱ）若、分别是曲线、上的动点，求的最大值.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）解不等式：
；
（Ⅱ）当时，函数的图象与轴围成一个三角形，求实数的取值范围.
2019届高三第三次模拟考试
数学（文科）参考答案
一、选择题
1-5:
ACBCA6-10:
ABDDB11、12：
BC
二、填空题
13.14.15.16.6
三、解答题
17.（Ⅰ）由题意知，，∴，得，
设等比数列的公比为，
又∵，∴，化简得，解得.
∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.
∴，
∴.
令，得，解得，
∴满足的正整数的最小值是5.
18.（Ⅰ）当需求量时，荔枝为该商场带来的利润为元；
当需求量，即时，荔枝为该商场带来的利润为元.
∴这90天荔枝每天为该商场带来的平均利润为元.
（Ⅱ）当需求量时，荔枝为该商场带来的利润为元；
当需求量时，荔枝为该商场带来的利润为元；
当需求量时，荔枝为该商场带来的利润为元；
∴当天该商场不亏损，则当天荔枝的需求量为100、200或300公斤，
则所求概率.
19.（Ⅰ）连接，当时，，∴四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，∵，，
∴平面平面，又平面，∴平面.
（Ⅱ）取的中点为，连接，则，
∵平面平面，∴平面.
过点作于点，连接，则.
∵，∴，
∵，，平面，∴平面，
∴，又，∴平面，∴，
又为正方形，∴，∴，∴，
∴.
20.（Ⅰ）由题意知，，解得，
故椭圆的方程为.
（Ⅱ）∵，，∴、分别为、的中点.
当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线的方程为，
则直线的方程为，，，，，
联立，得，∴，
∴，，∴中点的坐标为；
同理，中点的坐标为，∴，
∴直线的方程为，
即，∴直线过定点；
当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线的方程为，也过点；
综上所述，直线过定点.
21.（Ⅰ）令，∴；
令，∴，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，∴.
要使函数有两个零点，则函数的图象与有两个不同的交点，
则，即实数的取值范围为.
（Ⅱ）∵，∴.
设，，∴，
设，∴，则在上单调递增，
又，，
∴，使得，即，∴.
当时，，；当时，，；
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴.
设，∴，
当时，恒成立，则在上单调递增，
∴，即当时，，
∴当时，关于的不等式在上恒成立.
22.（Ⅰ）曲线：
经过伸缩变换，可得曲线的方程为，
∴其参数方程为（为参数）；
曲线的极坐标方程为，即，
∴曲线的直角坐标方程为，即，
∴其参数方程为（为参数）.
（Ⅱ）设，则到曲线的圆心的距离
，
∵，∴当时，.
∴.
23.（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于
或或，
解得或或，
综上所述，不等式的解集为.
（Ⅱ）当时，则，
此时的图象与轴围成一个三角形，满足题意：
当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增.
要使函数的图象与轴围成一个三角形，
则，解得；
综上所述，实数的取值范围为.
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