初三数学二次函数和圆知识点总结.docx
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初三数学二次函数和圆知识点总结
初三数学知识点总结
1.一元二次方程的一般形式:
a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、b、c；其中a、b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.
2.一元二次方程的解法:
一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用围较小；公式法虽然适用围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.
3.一元二次方程根的判别式:
当ax2+bx+c=0（a≠0）时，Δ=b2-4ac叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：
Δ＞0<=>有两个不等的实根；Δ=0<=>有两个相等的实根；
Δ＜0<=>无实根；Δ≥0<=>有两个实根（等或不等）.
4.一元二次方程的根系关系：
当ax2+bx+c=0（a≠0）时，如Δ≥0，有下列公式：
※5．当ax2+bx+c=0（a≠0）时，有以下等价命题：
（以下等价关系要求会用公式
；Δ=b2-4ac分析，不要求背记）
（1）两根互为相反数
=0且Δ≥0b=0且Δ≥0；
（2）两根互为倒数
=1且Δ≥0a=c且Δ≥0；
（3）只有一个零根
=0且
≠0c=0且b≠0；
（4）有两个零根
=0且
=0c=0且b=0；
（5）至少有一个零根
=0c=0；
（6）两根异号
＜0a、c异号；
（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值
＜0且
＞0a、c异号且a、b异号；
（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值
＜0且
＜0a、c异号且a、b同号；
（9）有两个正根
＞0，
＞0且Δ≥0a、c同号，a、b异号且Δ≥0；
（10）有两个负根
＞0，
＜0且Δ≥0a、c同号，a、b同号且Δ≥0.
6．求根法因式分解二次三项式公式：
注意：
当Δ＜0时，二次三项式在实数围不能分解.
ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）或ax2+bx+c=
.
7．求一元二次方程的公式：
x2-（x1+x2）x+x1x2=0.注意：
所求出方程的系数应化为整数.
8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x）：
（1）第一年为a,第二年为a（1+x）,第三年为a（1+x）2.
（2）常利用以下相等关系列方程：
第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和.
9．分式方程的解法：
10.二元二次方程组的解法：
※11．几个常见转化：
；
；
1.垂径定理及推论:
如图：
有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，
即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”.
几何表达式举例：
∵CD过圆心
∵CD⊥AB
2.平行线夹弧定理：
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
几何表达式举例：
3.“角、弦、弧、距”定理：
（同圆或等圆中）
“等角对等弦”；“等弦对等角”；
“等角对等弧”；“等弧对等角”；
“等弧对等弦”；“等弦对等（优，劣）弧”；
“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.
几何表达式举例：
（1）∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD
（2）∵AB=CD
∴∠AOB=∠COD
4．圆周角定理及推论:
（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；
（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；（如图）
（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；
（4）“直径对直角”“直角对直径”；（如图）
（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）
（1）
（2）（3）（4）
几何表达式举例：
（1）∵∠ACB=
∠AOB
∴……………
（2）∵AB是直径
∴∠ACB=90°
（3）∵∠ACB=90°
∴AB是直径
（4）∵CD=AD=BD
∴ΔABC是RtΔ
5．圆接四边形性质定理:
圆接四边形的对角互补，并且任何一个外
角都等于它的对角.
几何表达式举例：
∵ABCD是圆接四边形
∴∠CDE=∠ABC
∠C+∠A=180°
6．切线的判定与性质定理:
如图：
有三个元素，“知二可推一”；
需记忆其中四个定理.
（1）经过半径的外端并且垂直于这条
半径的直线是圆的切线；
（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；
※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
几何表达式举例：
（1）∵OC是半径
∵OC⊥AB
∴AB是切线
（2）∵OC是半径
∵AB是切线
∴OC⊥AB
（3）……………
7．切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等；圆心和这一
点的连线平分两条切线的夹角.
几何表达式举例：
∵PA、PB是切线
∴PA=PB
∵PO过圆心
∴∠APO=∠BPO
8．弦切角定理及其推论:
（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；
（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；
（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）
几何表达式举例：
（1）∵BD是切线，BC是弦
∴∠CBD=∠CAB
（2）
∵ED，BC是切线
∴∠CBA=∠DEF
9．相交弦定理及其推论:
（1）圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；
（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.
几何表达式举例：
（1）∵PA·PB=PC·PD
∴………
（2）∵AB是直径
∵PC⊥AB
∴PC2=PA·PB
10．切割线定理及其推论:
（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
几何表达式举例：
（1）∵PC是切线，
PB是割线
∴PC2=PA·PB
（2）∵PB、PD是割线
∴PA·PB=PC·PD
11．关于两圆的性质定理:
（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；
（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.
（1）
（2）
几何表达式举例：
（1）∵O1，O2是圆心
∴O1O2垂直平分AB
（2）∵⊙1、⊙2相切
∴O1、A、O2三点一线
12．正多边形的有关计算:
（1）中心角n，半径RN，边心距rn，
边长an，角n，边数n；
（2）有关计算在RtΔAOC中进行.
公式举例：
（1）n=
；
（2）
几何B级概念：
（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）
一基本概念：
圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高
三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的切圆、三角形的心、圆心角、圆周角、弦
切角、圆的切线、圆的割线、两圆的公切线、两圆的外公切线、两圆的（外）
公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正
多边形的中心角.
二定理：
1．不在一直线上的三个点确定一个圆.
2．任何正多边形都有一个外接圆和一个切圆，这两个圆是同心圆.
3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.
三公式：
1.有关的计算：
（1）圆的周长C=2πR；
（2）弧长L=
；（3）圆的面积S=πR2.
（4）扇形面积S扇形=
；（5）弓形面积S弓形=扇形面积SAOB±ΔAOB的面积.（如图）
2.圆柱与圆锥的侧面展开图：
（1）圆柱的侧面积：
S圆柱侧=2πrh；（r:
底面半径；h:
圆柱高）
（2）圆锥的侧面积：
S圆锥侧=
.（L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）
四常识：
1．圆是轴对称和中心对称图形.
2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.
3．三角形的外心两边中垂线的交点三角形的外接圆的圆心；
三角形的心两角平分线的交点三角形的切圆的圆心.
4．直线与圆的位置关系：
（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）
直线与圆相交d＜r；直线与圆相切d=r；直线与圆相离d＞r.
5．圆与圆的位置关系：
（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）
两圆外离d＞R+r；两圆外切d=R+r；两圆相交R-r＜d＜R+r；
两圆切d=R-r；两圆含d＜R-r.
6．证直线与圆相切，常利用：
“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.
7．关于圆的常见辅助线：
已知弦构造弦心距.
已知弦构造RtΔ.
已知直径构造直角.
已知切线连半径，出垂直.
圆外角转化为圆周角.
圆角转化为圆周角.
构造垂径定理.
构造相似形.
两圆切，构造外公切线与垂直.
两圆切，构造外公切线与平行.
两圆外切，构造公切线与垂直.
两圆外切，构造公切线与平行.
两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB.
两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线.
PA、PB是切线，构造双垂图形和全等.
相交弦出相似.
一切一割出相似,并且构造弦切角.
两割出相似,并且构造圆周角.
双垂出相似,并且构造直角.
规则图形折叠出一对全等，一对相似.
圆的外切四边形对边和相等.
若AD∥BC都是切线，连结OA、OB可证∠AOB=180°，即A、O、B三点一线.
等腰三角形底边上的的高必过切圆的圆心和切点,并构造相似形.
RtΔABC的切圆半径：
r=
.
补全半圆.
AB=
.
AB=
.
PC过圆心，PA是切线，构造
双垂、RtΔ.
O是圆心，等弧出平行和相似.
作AN⊥BC，可证出:
.
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