高中数学 221 等差数列的概念等差数列的通项公式示范教案 新人教A版必修5.docx
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高中数学221等差数列的概念等差数列的通项公式示范教案新人教A版必修5
2.2 等差数列
2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式
从容说课
本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念,接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式,最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点,宜采用指导自主学习方法,即学生主动观察——分析概括——师生互动,形成概念——启发引导,演绎结论——拓展开放,巩固提高.在学法上,引导学生去联想、探索,同时鼓励学生大胆质疑,学会探究.
在教学过程中,遵循学生的认知规律,充分调动学生的积极性,尽可能让学生经历知识的形成和发展过程,激发他们的学习兴趣,发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.创设问题情境,引起学生学习兴趣,激发他们的求知欲,培养学生由特殊到一般的认知能力.使学生认识到生活离不开数学,同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题,解决数学问题,使数学生活化,生活数学化.
教学重点理解等差数列的概念,探索并掌握等差数列的通项公式,会用公式解决一些简单的问题.
教学难点
(1)等差数列的性质,等差数列“等差”特点的理解、把握和应用;
(2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法,以及从函数、方程的观点看通项公式.
教具准备多媒体课件,投影仪
三维目标
一、知识与技能
1.了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是等差数列;
2.正确认识使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.
二、过程与方法
1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力;
2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性.
三、情感态度与价值观
通过等差数列概念的归纳概括,培养学生的观察、分析资料的能力,积极思维,追求新知的创新意识.
教学过程
导入新课
师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子:
(课本P41页的4个例子)
(1)0,5,10,15,20,25,…;
(2)48,53,58,63,…;
(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5…;
(4)10072,10144,10216,10288,10366,….
请你们来写出上述四个数列的第7项.
生第一个数列的第7项为30,第二个数列的第7项为78,第三个数列的第7项为3,第四个数列的第7项为10510.
师我来问一下,你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?
以第二个数列为例来说一说.
生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5,依据这个规律性我得到了这个数列的第7项为78.
师说得很有道理!
我再请同学们仔细观察一下,看看以上四个数列有什么共同特征?
我说的是共同特征.
生1每相邻两项的差相等,都等于同一个常数.
师作差是否有顺序,谁与谁相减?
生1作差的顺序是后项减前项,不能颠倒.
师以上四个数列的共同特征:
从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差);我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列.
这就是我们这节课要研究的内容.
推进新课
等差数列的定义:
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示).
(1)公差d一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求;
(2)对于数列{an},若an-an-1=d(与n无关的数或字母),n≥2,n∈N*,则此数列是等差数列,d叫做公差.
师定义中的关键字是什么?
(学生在学习中经常遇到一些概念,能否抓住定义中的关键字,是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件,更是学好数学及其他学科的重要一环.因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念,以培养学生分析问题、认识问题的能力)
生从“第二项起”和“同一个常数”.
师很好!
师请同学们思考:
数列
(1)、
(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗?
如果存在,分别是什么?
生数列
(1)通项公式为5n-5,数列
(2)通项公式为5n+43,数列(3)通项公式为2.5n-15.5,….
师好,这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式,实质上这几个通项公式有共同的特点,无论是在求解方法上,还是在所求的结果方面都存在许多共性,下面我们来共同思考.
[合作探究]
等差数列的通项公式
师等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的,若一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则据其定义可得什么?
生a2-a1=d,即a2=a1+d.
师对,继续说下去!
生a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;
a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;
……
师好!
规律性的东西让你找出来了,你能由此归纳出等差数列的通项公式吗?
生由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d.
师很好!
这样说来,若已知一数列为等差数列,则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项an了.需要说明的是:
此公式只是等差数列通项公式的猜想,你能证明它吗?
生前面已学过一种方法叫迭加法,我认为可以用.证明过程是这样的:
因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d.将它们相加便可以得到:
an=a1+(n-1)d.
师太好了!
真是活学活用啊!
这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了.
[教师精讲]
由上述关系还可得:
am=a1+(m-1)d,
即a1=am-(m-1)d.
则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,
即等差数列的第二通项公式an=am+(n-m)d.(这是变通的通项公式)
由此我们还可以得到
.
[例题剖析]
【例1】
(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;
(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?
如果是,是第几项?
分析
(1)
师这个等差数列的首项和公差分别是什么?
你能求出它的第20项吗?
生1这题太简单了!
首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20,所以由等差数列的通项公式,得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.
师好!
下面我们来看看第
(2)小题怎么做.
分析
(2)
生2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-1).
由题意可知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100,即-401是这个数列的第100项.
师刚才两个同学将问题解决得很好,我们做本例的目的是为了熟悉公式,实质上通项公式就是an,a1,d,n组成的方程(独立的量有三个).
说明:
(1)强调当数列{an}的项数n已知时,下标应是确切的数字;
(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题.这类问题学生以前见得较少,可向学生着重点出本问题的实质:
要判断-401是不是数列的项,关键是求出数列的通项公式an,判断是否存在正整数n,使得an=-401成立.
【例2】已知数列{an}的通项公式an=pn+q,其中p、q是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?
若是,首项与公差分别是什么?
例题分析:
师由等差数列的定义,要判定{an}是不是等差数列,只要根据什么?
生只要看差an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数.
师说得对,请你来求解.
生当n≥2时,〔取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)〕
an-an-1=(pn+1)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p为常数,
所以我们说{an}是等差数列,首项a1=p+q,公差为p.
师这里要重点说明的是:
(1)若p=0,则{an}是公差为0的等差数列,即为常数列q,q,q,….
(2)若p≠0,则an是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点(n,an)均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差p,直线在y轴上的截距为q.
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数),称其为第3通项公式.课堂练习
(1)求等差数列3,7,11,…的第4项与第10项.
分析:
根据所给数列的前3项求得首项和公差,写出该数列的通项公式,从而求出所求项.
解:
根据题意可知a1=3,d=7-3=4.∴该数列的通项公式为an=3+(n-1)×4,即an=4n-1(n≥1,n∈N*).∴a4=4×4-1=15,a10=4×10-1=39.
评述:
关键是求出通项公式.
(2)求等差数列10,8,6,…的第20项.
解:
根据题意可知a1=10,d=8-10=-2.
所以该数列的通项公式为an=10+(n-1)×(-2),即an=-2n+12,所以a20=-2×20+12=-28.
评述:
要求学生注意解题步骤的规范性与准确性.
(3)100是不是等差数列2,9,16,…的项?
如果是,是第几项?
如果不是,请说明理由.
分析:
要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项,其关键是要看是否存在一个正整数n值,使得an等于这个数.
解:
根据题意可得a1=2,d=9-2=7.因而此数列通项公式为an=2+(n-1)×7=7n-5.
令7n-5=100,解得n=15.所以100是这个数列的第15项.
(4)-20是不是等差数列0,
,-7,…的项?
如果是,是第几项?
如果不是,请说明理由.
解:
由题意可知a1=0,
因而此数列的通项公式为
.
令
,解得
.因为
没有正整数解,所以-20不是这个数列的项.
课堂小结
师
(1)本节课你们学了什么?
(2)要注意什么?
(3)在生活中能否运用?
(让学生反思、归纳、总结,这样来培养学生的概括能力、表达能力)
生通过本课时的学习,首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式an-an-1=d(n≥2);其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n≥1).
师本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中任意三个,应用方程的思想,可以求出另外一个.最后,还要注意一重要关系式an=am+(n-m)d和an=pn+q(p、q是常数)的理解与应用.
布置作业
课本第45页习题2.2A组第1题,B组第1题.
板书设计
等差数列的概念、等差数列的通项公式
1.定义
2.数学表达式例1.(略)
3.等差数列的通项公式例2.(略)练习
第
(1)课时
课题:
书法---写字基本知识
课型:
新授课
教学目标:
1、初步掌握书写的姿势,了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点:
基本笔画的书写。
难点:
运笔的技法。
教学过程:
一、了解书法的发展史及字体的分类:
1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体:
颜、柳、赵、欧体,分类出示范本,边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求:
1、书写姿势:
做到“三个一”:
一拳、一尺、一寸(师及时指正)
2、了解钢笔的性能:
笔头富有弹性;选择出水顺畅的钢笔;及时地清洗钢笔;选择易溶解的钢笔墨水,一般要固定使用,不能参合使用。
换用墨水时,要清洗干净;不能将钢笔摔到地上,以免笔头折断。
三、基本笔画书写
1、基本笔画包括:
横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习,教师指导。
(姿势正确)4、运笔的技法:
起笔按,后稍提笔,在运笔的过程中要求做到平稳、流畅,末尾处回锋收笔或轻轻提笔,一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果,以求字的美观、大气。
5、学生练习,教师指导。
(发现问题及时指正)
四、作业:
完成一张基本笔画的练习。
板书设计:
写字基本知识、一拳、一尺、一寸
我的思考:
通过导入让学生了解我国悠久的历史文化,激发学生学习兴趣。
这是书写的起步,让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础,必须认真书写。
课后反思:
学生书写的姿势还有待进一步提高,要加强训练,基本笔画也要加强训练。
总第
(2)课时
课题:
书写练习1
课型:
新授课
教学目标:
1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思,并用钢笔写出符合要求的的字。
重点:
正确书写6个字。
难点:
注意字的结构和笔画的书写。
教学过程:
一、小结课堂内容,评价上次作业。
二、讲解新课:
1、检查学生书写姿势和执笔动作(要求做到“三个一”)。
2、书写方法是:
写一个字看一眼黑板。
(老师读,学生读,加深理解。
)3、书写教学“杏花春雨江南”6个字。
杏:
上大下小,上面要写得大,大在哪里?
(大在撇捺)写的时候撇捺要舒展,象燕子张开的翅膀;下面的“口”要写得小,左右两竖要内斜,稍扁;“木”的竖写在竖中线上。
花:
也是上下结构,草字头两竖要内斜;下面单人旁起笔对准上面的左竖,竖弯钩起笔对准上面的右竖;竖弯钩要舒展,(用红笔描竖弯钩,并在旁边书写一个大的竖弯钩)要求弯处圆转,不能僵硬(书写僵硬的竖弯钩,并在旁边打×)。
春:
上部三横都是短横,收笔处不要顿;撇画最长,捺画从哪里起笔?
从第三横下面起笔,不能碰到撇;下面“日”的两竖要竖直,不能斜。
雨:
旁边两竖要内斜,上横短,中竖写在竖中线上;从下面看,哪一笔最低?
钩最低,中竖最短;四个点都是斜点。
江:
左右结构,左窄右宽左边三点水第二点略向外展;右边“工”字上横是短横,下横是长横;中竖略斜。
南:
上横短;下边两竖内斜;框架中两横都是短的,中间一竖悬针;三个竖画左、中差不多长,右竖钩最低;横折钩要写出弯势。
4、学生练习,教师巡回指导。
三、讲评:
收上学生的作业,进行批改和评比,对写得好的进行表扬,并加盖☆符号章,然后贴在展示板上,向学生展示。
板书设计:
书写练习1、杏花春雨江南
我的思考:
进一步加强写字姿势训练,这是根本。
在了解字结构的基础上更好的把握每个字的书写。
及时对书写情况进行反馈,同时通过奖励激发学生兴趣。
课后反思:
通过字形的比较,学生基本上学会了笔画位置的比较,但是还需要不断的引导。
第(3)课时
课题:
书写练习2
课型:
新授课
教学目标:
1、掌握车字旁写法,并能把“轻”字写端正。
2、完成书写练习。
重点:
正确地书写“轻”字
难点:
“车”字旁的书写。
教学过程:
一、讲评上一课作业情况。
1、表扬书写优秀者,展示其作业。
2、指出存在的主要缺点并进行针对性的练习。
二、指导“车”字旁写法:
1、出示范字,观察“车”字旁写法。
2、讨论明确其书写要领:
“车”字旁分四笔完成,整个偏旁左重右轻,不超过竖中线。
第一笔横稍短。
第二笔撇折收笔于横中线。
第三笔垂露竖,应在第一笔横下的正中位置起笔。
最后一笔,比第一横长一些,离折笔稍近一些。
3、练写“车”字旁。
三、指导临写“轻”字。
1、观察范字。
2、明确写法。
“轻”字的写法:
“轻”字左窄右宽,右边的第一笔起笔与左边的第一笔短横相齐平,底部大体相齐,右边上下两部分基本相等。
四、课后延伸
书写:
斩、转
板书设计:
书写练习2、轻、斩、转
我的思考:
以复习巩固导入,并有针对地进行纠正。
明确字的重心及每个笔画在田字格中分布的位置,使学生初步掌握字的结构特点。
在练习书写“车”字旁的基础上,更好的把握整个字的字形。
课后及时巩固,拓展。
课后反思:
学生基本上能把握好字在田字格中的位置,处理好左右的布局。
第(4)课时
课题:
结构特点(六)
课型:
新授课
教学目标:
1、懂得以宝盖头、穴字头等作为字头的字宜上大而下小。
2、通过练习,写好课文中的例字。
重点:
掌握以宝盖头、穴字头等作为字头的字宜上大而下小
难点:
把握好字的结构。
教学过程:
一、复习巩固
二、教学新课
1.讲解以宝盖头、穴字头等作为字头的字
(1)教师讲解字头的书写。
(2)学生练习书写,教师指导书写。
(3教师根据实际情况小结,提出要求。
2.指导书写例字
(1)出示例字:
“宝”:
首先要控制好字头,摆正位置,下面的“玉”字占格子的一半以上,特别是最后一横宜稍长,使整个字立正。
“穷”:
下面的力字宜正,不宜写得太小。
(其余字略)
(2)学生练习,师巡回指导。
3、提出注意点三、讲评:
收上学生的作业,进行批改和评比,对写得好的进行表扬,并加盖☆符号章,然后贴在展示板上,向学生展示。
板书设计:
结构特点(6)宝、穷、写、会、奔
我的思考:
使学生更好的把握好字的结构,同时在教师的指导下提高学生辨别能力。
激励学生更好的书写。
第(5)课时
课题:
怎样写好字
课型:
复习课
教学目标:
1、让学生能够正确认识,端正态度。
教学过程:
一、正确的学书之路
1.临帖
临帖是学习书法的最根本的方法。
古往今来,没有一个书法家是不经临习而成功的,没有一个字写得好的人是不经过临帖的。
只有临帖,取法唐楷、晋行、汉隶、秦篆等传统的东西,才会有所获。
2.专一
学书首先应师承一家,建立根据地,然后再发展。
这就有一个选帖的问题,选帖的标准:
①好帖;②喜欢。
选定帖后专心致志,认真临习,坚持不懈,直至形同神似。
这个时期检验你学习得怎样,首先看临得像不像,再看笔法笔意。
3.博采众长
当对一本帖或一家书体临习达到形同神似之后,就要广涉其他好帖,取其营养加以吸收消化,融会贯通。
4.字外功夫
练字的同时经常要多读书,多掌握方方面面的知识,加强自身修养。
总之一句话,加强字外功夫的训练。
在此基础上,逐步形成自己的风格,便自成一家。
综上所述,我们可以把正确的学书之路概括为:
二、科学的学书方法
明确了正确的学书之路之后,我们还要掌握科学的学习方法,有了科学的学习方法,就可得到较好的学习效果。
1.临帖和摹帖
这既是正确学书之路的开端,又是正确学书方法中的根本点,必须坚信不疑,坚定不移。
摹帖和临帖各有优点,效果各异。
姜夔《续书谱》中说:
“临书易失占人位置,而多得古人笔意,摹书易得古人位置,而多失古人笔意,临书易进,摹书易忘。
”其中的“笔意”即指笔法、笔势及线条意趣。
“临”的方法就是看着字帖,照着写。
只要仔细地临,便容易掌握笔法笔意.从而把范本的精髓学到手。
“摹”的方法,就是用薄纸蒙在帖上,直接地描画。
所以字形基本上不会走样,多摹几遍,有利于把握结构。
但摹书看不清笔法,“易失笔意”,虽然间架不错.但没有笔法,字就僵化。
所以,初学者可以临摹并用,相互补充。
2.每天定量
事实证明,任何事情都有一个由量变到质变的过程,练字也一样,写得太少,练习量跟不上,就谈不上进步;当然盲目机械地多写,疲倦了效果也不好。
一定的量才能达到的一定的效果,较佳的量才能达到较佳的效果。
3.循序渐进
学习书法,在勤学苦练的基础上,还应该懂得它是一个循序渐进的过程:
第一,先正楷,后行草。
苏轼说:
“真生行,行生草。
真如立,行如行,草如走。
”就是说楷、行、草书三者如同人的立、走、跑,如果人连站都不能站,怎么能走和跑呢?
如果没有楷书基础,直接写行书、草书,就会疏于法度,流于轻滑飘浮。
行书、草书是楷书的流、便、疏、散,学好楷书之后,加强用笔的流动呼应,行草就容易上手。
等到楷法熟练,再写行草时.便可悟到两者相通之处,可相辅相成,互相促进,相得益彰。
第三,先点画,后结构,再章法。
书法是线条的艺术,也就是以基本点画为基础的艺术。
基本点画不好,整字或整篇的艺术性就无从谈起。
由于钢笔尖性硬,在线条变化上相对简单得多,故钢笔书法学习在结构上花的时间多,而在用笔、点画上相对较少。
但这并不是说点画用笔不重要,相反,它是钢笔书法的基本功,只有在点画书写的基本功扎实之后,才可能去把握结构。
在结构上有了一定的基础后,整幅字的章法就容易把握了。
第(6)课时
课题:
结构特点(七)
课型:
新授课
教学目标:
1、了解“皿”、“土”等做字底的字的结构特点,学习这类字的写法。
2、通过练习,写好课文中的例字。
重点:
掌握字的结构,学习写法。
教学过程:
一、观察例字,进行讨论:
(1)这些字是什么结构?
(2)它们分别是什么字底?
(3)书写上有什么特点?
二、教师示范小结
三、指导要点
盘:
上半部分宜瘦长,下面要宽扁。
皇:
“白”字头是方形结构的,要写的紧凑些,略小;“王”上两横短,下横长,略大。
至:
第一横不要太斜,撇折点也不要太斜;下面的“土”要端正,下横要长。
竖:
上半部分要摆好位置,左右不要分开;下面的“立”,点在正中,上横短,点撇要呼应,下横适当拉长。
四、学生练习,教师指导。
五、收上学生的作业,进行批改和评比,对写得好的进行表扬,并加盖☆符号章,然后贴在展示板上,向学生展示。
板书设计:
结构特点(七)、盘至竖
我的思考:
通过自主观察来了解字形。
在逐字的教学指导中使学生学会自主分析,养成良好的学习习惯。
课后反思:
部分学生在练习中还需要指导。
第(7)课时
课题:
结构特点(八)
课型:
新授课
教学目标:
1、了解上下相同、左右相同这类字的结构特点,学习这类字的写法。
2、通过练习,写好课文中的例字。
重点:
掌握这类字的结构,学习写法。
教学过程:
一、例字,再说说它们有什么共同的特点。
二、读课文中的一段话,说说这段话的意思。
三、教师示范并小结。
四、范字指导提要
哥:
下面的部分要先写“口”再写竖钩,注意笔顺。
竹:
左竖回锋,有撇略高于和长于左撇。
羽:
左小右大,其中的4点要摆好位置,使其显得丰满些。
吕、昌:
口和曰要写成扁方形,上下重复,上小下大。
兢:
语文课文中还没有出现过,这个字可只让学生知道其书写方法,左边的竖弯钩改成竖提。
五、收上学生的作业,进行批改和评比,对写得好的进行表扬,并加盖☆符号章,然后贴在展示板上,向学生展示。
板书设计:
结构特点(八)、哥羽
我的思考:
通过自主观察来了解字形。
在逐字的教学指导中使学生学会自主分析,养成良好的学习习惯。
课后反思:
基本上能把握学生的字形,但在细节上还要加强指导。
第(8)课时
课题:
结构特点(九)
课型:
新授课
教学目标:
1、了解左右偏旁比例不等的特点,学习这些字的写法。
2、通过书写练习,写好课文中的例字。
重点:
掌握这类字的结构,学习写法。
教学过程:
一、先看看例字,再说说它们有什么特点。
二、读读课文,说说这些例字的书写有什么规律。
三、教师示范并小结。
四、范字指导提要
峰:
“山”字旁略高,右半的长撇长捺要舒展。
和、知:
右“口”一般比左“口”大,并比左“口”略低。
催:
左让右,单人旁撇短些,不要太斜;右半部分上下平稳,高大些。
说:
言字旁横向左取势,不宜过宽,转折时要对准上面的点,提和下一笔呼应,并注意提的角度。
五、收上学生的作业,进行批改和评比,对写得好的进行表扬,并加盖☆符号章,然后贴在展示板上,向学生展示。
板书设计:
结构特点(九)、峰催说
我的思考:
通过自主观察来了解字形。
在逐字的教学指导中使学生学会自主分析,养成良好的学习习惯。
课后反思:
学生对于字形复杂的字在结构上还需要指导练习。
第(9)课时
课题:
结构特点(十)
课型:
新授课
教学目标:
1、了解左中右结构字的构字特点,学习这类字的写法。
2、通过书写练习,写好