高中物理奥赛讲义.docx
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高中物理奥赛讲义
高中物理奥赛讲义
第二章力和物体的平衡
晋江一中物理组庄新恭
【竞赛要求】
摩擦力弹性力胡克定律万有引力定律均匀球壳对壳内和壳外质点的引力公式（不要求导出）共点力作用下物体的平衡力矩刚体的平衡条件重心物体平衡的种类静止流体中的压强浮力
第一节力的合成与分解力学理想模型
一、刚体
1、基本概念
刚体就是在任何情况下形状和大小都不发生变化的物体。
刚体是一种理想化的力学模型，当实际物体的形变对所研究问题的影响可以忽略时，就可将物体看成刚体。
讨论刚体力学时，常把刚体分成许多部分，每一部分都小到可看成质点，这些小部分叫做刚体的“质元”。
由于刚体不变形，各质元间的距离不变，质元间距离保持不变的质点组叫做“不变质点组”，把刚体看作不变质点组并运用已知质点或质点组的运动规律加以讨论，这是刚体力学的基本方法。
【例】寺庙中悬挂着的一口大钟在下列各种情况下可将它看成什么样的理想模型：
1、研究它在悬挂中如何保持平衡；2、研究它往往复摆动；3、研究它发出的钟声音。
通常把作用于刚体的若干个力称为力系，若作用于刚体的力系不影响刚体的运动状态，这样的力系称作平衡力系。
如果用一个力系代替作用于刚体上的另一个力系时，力的作用效果没有变化，即刚体的状态不变，则称此二力系为等效力系。
与力系等效的力称为合力。
想一想，高中教材中如何定义合力？
2、重要规定和结论：
加减平衡力系原理：
在作用于刚体上的已知力系中，加上或去掉任何一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效果，即不改变刚体的状态（运动状态或静止状态）。
力的可传性原理：
作用于刚体上的力，其作用点可沿作用线移至刚体内任一点，而不改变该力对刚体的作用效果。
【例】证明力的可传性原理
二、力的合成与分解：
1、平行四边形定则，三角形定则，多边形定则
2、平行力的合成：
什么叫做共点力（系），什么叫做平行力（系）
同向平行力的合成：
两个同向平行力FA和FB相距AB，则合力F的大小为FA+FB，合力的方向与两个分力相同，合力的作用线与AB的交点为C，且满足FA•AC=FB•BC的关系（如下左图所示）。
反向平行力的合成：
两个大小不同的反向平行力FA和FB（FA>FB）相距AB，则合力F的大小为FA-FB，与FA同向，合力的作用线与AB延长线上靠近A的一侧交点为C，且满足FA•AC=FB•BC的关系（如下右图所示）。
【例】证明上述两个结论？
（提示：
利用力的可传性原理和加减平衡力系原理）。
FA
F
三、理想轻绳
理想轻绳的质量为零且不可伸长（但所产生的弹力不能忽略）。
有时也不计绳的摩擦，运用时要视情况而定。
四、理想轻杆
不计质量的杆称为理想轻杆。
轻杆平衡时，如果仅在杆的两端有外力作用，可分别求出杆的每端所受力的合力F1、F2，则F1和F2必大小相等，方向相反，且它们的作用线一定在通过杆两端点的直线上，这样的杆称之为“二力杆”。
若“二力杆”为直杆，则其所受的力或它作用于别的物体的力都只能沿其杆身方向，并且杆所受的力只能是压力或张力。
【例】证明上述论断。
【例】高一教程P46“例2”，P52“例5”（先阅读教程中P43-44的相关内容再解题）。
C
五、理想滑轮和滑轮组
不计滑轮的各种摩擦，有时不计滑轮的质量，运用时要视情况而定。
使用动滑轮一定省一半力吗？
滑轮组里的
【例】如右图所示，细绳OC与竖直方向成30º角，O为一定滑轮，其重力和摩擦均不计，物体A、B用跨过定滑轮的细绳相连，已知B的重力为100N，地面对B的支持力为80N.求：
（1）物体A所受的重力；
（2）物体与地面间的摩擦力；（3）绳OC所受的拉力。
（答案：
40N；20
N=34.64N；40
N=69.28N）
六、光滑面
不计摩擦的面叫光滑面。
七、轻质弹簧
轻质弹簧的质量不计。
不管轻质弹簧处于平衡状态还是处于不平衡状态，其两端的弹力总是相等。
如果发生形变的轻质弹簧两端都不连接物体或只有一端连接物体，则当使弹簧发生形变的外力撒消后，弹簧能够马上恢复原状。
如果轻质弹簧两端均连接着物体，则没有上述结果。
请用牛顿第二定律等知识加以证明。
将劲度系数分别为k1、k2、k3、…、kn的几个弹簧串联，串联后等效弹簧的劲度系数为k，则
将劲度系数分别为k1、k2、k3、…、kn的几个弹簧并联，并联后等效弹簧的劲度系数为k，则
k=k1+k2+k3+…+kn
你能自己证明上述两式吗？
试试看。
第二节重力、弹力和摩擦力
一、重力
重力与万有引力的关系：
讨论在地表上两极、赤道、一般位置等的情况。
如何理解重力的方向是竖直向下的。
重力的大小与纬度和高度的关系如何。
物体的各个部分都要受到重力的作用，物体各部分所受重力的合力就是物体所受的重力，物体所受重力的作用点叫做重心。
物体的重心可以在物体上，也可以在物体外。
你能举些例子吗？
求物体的重心是竞赛中的一个重要课题，下面我们来详细讨论。
C
如图所示，A、B两质点的质量分别为mA、mB，用一质量不计的轻杆相连，若我们用细线与A端相连将这一系统悬挂起来使其处于平衡状态，可发现杆沿竖直静止（为什么？
），从而可知该系统的重心必在通过杆的直线上（为什么？
）。
再将杆与杆上C点相连，仍将系统悬挂且使其处于平衡状态，则C点就是该系统的重心（为什么？
），且有（为什么？
）
GA•AC=GB•BC
xB
我们也可在直角坐标系中讨论这个系统的重心。
运用同向平行力合成的结论或杆杠原理可得重心C的坐标为
在小范围地区有
mA•AC=mB•BC
由此二式决定的AB系统上的位置C往往称为质心。
可见，在小范围地区内，重心和质心是重合。
但在大范围地区内，质心的位置仍由上面两式决定（这是物理学的规定），而重心则不能再用上面的式子表示（为什么？
）。
以后除非特别说明，我们所说的重心都是指小范围地区内的情况。
如果两质点的质量相等，则重心位于两质点联线的中点。
若两质点质量不等，则重心靠近质量大的一边。
【例】1、如何求不在同一条直线上的三个质量分别为m1、m2、m3质点的重心？
请利用上面求两质点重心的两种方法分别求解。
n个质点的情况呢？
2、如何证明均匀直钢丝的重心在钢丝的中点上？
O
3、为什么三角形均匀薄板的重心在三条中线的交点上呢？
三角形薄板的重心一定在三条中线的交点上吗？
4、如何求已知各自质心的几个物体的共同质心？
常用的求重心（或质心）的方法有以下几种：
1、悬挂法：
求薄板的重心。
2、支撑法：
求铅笔的重心。
3、作图法：
求图中均匀薄板的重心。
你能求图中半球形碗中的杆的重心位置（图中O为球心位置）。
4、利用质心和重心的定义用计算的办法求解：
5、
B
分隔法：
如图所示的棒锤，假设匀质球A质量为M、半径为R，匀质棒B质量为m、长度为L，求它的重心。
（重心C在AB连线上，且B
）。
6、负质量法：
例同“5”。
7、实验操作方法：
两手水平支撑一杆，两手从杆的两端同时向内缓慢向内滑动，最终两手接触处的上方就是杆的重心位置。
试解释上述现象。
【例】1、试用一种最简单的方法确定中华人民共和国的地理位置的中心。
2、（第7届全国决赛题）一薄壁圆柱形烧杯，半径为r，质量为m，重心位于中心线上，离杯底的距离为H，今将水慢慢注入杯中，问杯内的水的共同重心最低时水面离杯底的距离等于多少？
（设水的密度为ρ）
答案：
3、将质量均匀、长为L的细杆弯成U形框架（如图所示），已知框架的三条边的长度相等，求这一架子的重心位置。
4、自三角形均匀薄板ABC中割去一个小三角形ABˊCˊ，已知BC∥BˊCˊ，且ΔABˊCˊ的面积为ΔABC的1/4，求剩余部分的重心位置。
5、质量分别为M与m的两个重物，用一极轻的绳连接起来，挂在一个固定的
x
极轻的滑轮上，如图所示。
起时时，每一重物
的重心与通过滑轮的x轴之间的距离分别等于
L1和L2，假定M>m，求重物系统质心的运动方
程式。
答案：
6、直径为30cm的厚度及质量均匀的圆板上挖出一个半径为15cm的内切圆板，求剩余部分的重心位置。
答案：
距离中心5cm处。
二、弹力
形变，伸长形变，缩短形变，弯曲形变，扭转形变；弹性形变，范性形变，弹性限度
物体与物体相接触，两物体发生形变，形变的物体企图恢复原状，因而彼此互施作用力，这种力称为弹力。
弹力的大小与物体的形变成正比，但比例系数因物质不同而不同。
在弹性限度内，弹簧的弹力和弹簧伸长（或压缩）的长度成正比：
F=-kx
式中k为弹簧的劲度系数，由弹簧本身性质决定（如匝数、材料及弹簧的几何尺寸等）负号表示弹力的方向与形变x的方向相反，弹簧伸长时x取正。
计算时经常取F=kx，表示弹力的大小与形变量的大小成正比。
弹力的方向总是与施力物体的形变方向相反。
线所产生的弹力有时也叫张力或拉力，总是沿绳方向并指向绳收缩的方向；接触面上的弹力方向总是与接触面垂直，即沿接触面的法线方向。
三、摩擦力
阅读教程P41-42，理解滑动摩擦力的大小方向、静摩擦力的大小方向、摩擦角、全反力、自锁等知识点。
摩擦角分为滑动摩擦角
和静摩擦角
，动摩擦因数μ=tan
=f/N,静摩擦因数μs=tan
=fmax/N
【例】质量为m的小木块和水平地面之间的动摩擦因数为μ，用一个与水平方向成多大角度α的力F拉着小木块在水平面上做匀速直线运动最省力？
答案：
α=arctanμ时，F有最小值μmg/
摩擦力的方向总是沿着接触面的切面方向，并且与受力物体相对施力物体的运动方向或运动趋势的方向相反。
高考中的相对运动或相对运动趋势方向主要是一维问题，在竞赛中经常涉及到二维问题
【例】分析如图所示的皮带传动中皮带与轮接触处皮带上的点及轮上的点所受摩擦力的方向；分析放在水平传送带上物体所受摩擦力的方向。
F
【例】如图所示，一滑块放在倾角为α的斜面上，滑块和斜面之间的静摩擦因数为μ，滑块质量为m。
如果用一个平行于底边的力F推滑块，则F至少多大才能推动滑块呢？
答案：
ω
【例】如图所示，A、B是两个很长的圆柱形滚筒，半径为r。
A、B两筒各自绕自己的对称轴以角速度ω转动，两轴之间的距离为a。
A、B之间搁着一个较短的圆柱体C，半径为R[2R>（a-2r）]，质量为m，用一个与A、B轴平行的力F拉着圆柱体C，以速度V0做匀速运动，如果C和A、B筒之间的动摩擦因数都是μ，问F力要多大？
V
答案：
，其中
，
摩擦力的作用时间：
如图所示，小球竖直落下与一块在水平方向上运动的木块碰撞后，向斜上方弹出，假设碰撞时间为Δt，但可能小球不需要Δt时间，在水平方向上便已经具有了与木块相同的速度，则在剩余的时间内小球和木块尽管还是接触，但互相之间都已没有摩擦力。
第三节共点力作用下物体的平衡条件
一、共点力作用下物体的平衡条件
什么叫做共点力？
共点力作用下物体的平衡条件是：
F合=0
利用共点力的平衡条件解题的常用方法：
整体法与隔离法；正交法、分解力法、合成力法；解直角三角形，解斜三角形，三角形相似，拉密定理；等等
用微法解题是竞赛中十分重要的方法
【例】教程P44“例1”，P49“例4”
二、三力平衡的应用
三力汇交原理：
若三个力平衡，则这三个力必共面，且三个力的作用线必交于一点，即所谓的“三力平衡必共面共点”。
若三个力平衡，则其中任意两个力的合力必与第三个力大小相等、方向相反，且作用在同一直线上。
拉密定理：
可将三力平移，构造矢量三角形，再用正弦定理证明。
F3
F3
F3
π-γ
8、若n个力平衡，且其中的（n-1）个力交于一点，则第n个力的作用线必过此点，且与（n-1）个力的大小相等、方向相反。
经常将四力平衡（四个以上力平衡）转化为三力平衡平衡问题。
【例】如图所示，靠在光滑竖直墙面上的梯子处于静止关态，请用作图法确定梯子所受地面作用力的方向。
三、平衡问题的矢量三角形（多边形）解法
这是高考和竞赛中经常采用的解题方法
C
类型一：
三力中有一个力是恒力（大小方向均不变），一个力方向确定大小待定，第三个力的大小方向均待定。
【例】如图所示，竖直杆AB在绳AC拉力作用下使整个装置处于平衡状态，若AC加长，使点C缓慢向左移动，杆AB仍竖直，且处于平衡状态，那么绳AC的拉力T和杆AB所受的压力N与原先相比，是增大还是减小？
45º
答案：
均减小
【例】如图所示，用绳通过定滑轮牵引物块，使物块在水平面上从图示位置开始沿地面做匀速直线运动，若物块与地面间的动摩擦因素μ<1，滑轮的质量及摩擦不计，则在物块运动过程中，以下判断正确的是（）
A．绳子拉力将保持不变
B．绳子拉力将不断增大
C．地面对物块的摩擦力不断减少
D．
m
物块对地面的压力不断减少
类型二：
三力中有一个力是恒力，一个力大小不变方向变化，第三个力的大小方向待定。
【例】如图所示，质量为m的小球，用一细线悬挂在点O处，现用一大小恒定的外力F（F答案：
细线与竖直方向的偏角最大为arcsin（F/G）
【例】如图所示，在“验证力的平行四边形定则”的实验中，用两只弹簧秤A、B把橡皮条上的结点拉到某一位置O，这时两绳套AO、BO的夹角∠AOB小于90º。
现保持弹簧秤A的示数不变而改变拉力方向使α角减小，那么要使结点仍在O处不动，就应高调整弹簧秤B的拉力大小及β角，则下列调整方法中可行的是（）
O
A.增大弹簧秤B的拉力、增大β角
B.增大弹簧秤B的拉力、β角不变
C.增大弹簧秤B的拉力、减小β角
D.弹簧秤B的拉力大小不变、增大β角
C
类型三：
三力中有一个力是恒力，另两力方向变化有依据，求另二力的大小变化情况。
【例】如图所示，绳子a一端固定在杆上C点，另一端通过定滑轮用力拉住，一重物用绳b挂在杆BC上，杆可绕B点转动，杆、绳质量及摩擦不计，重物处于静止。
若将绳子a慢慢放下，则下列说法正确的是（）
A.绳a的拉力减小，杆的压力增大
B.绳a的拉力增大，杆的压力增大
C.绳a的拉力不变，杆的压力减小
D.绳a的拉力增大，杆的压力不变
O
【例】如图所示，重为G的物体用两根绳子OA、OB悬挂，开始时绳OA水平，现将两绳同时顺时针缓慢转过90º，始终保持角大小不变，且物体始终静止，设绳OA的拉力为T1，绳的拉力为T2，则在此旋转过程中（）
A.T1先减小后增大
B.T1先增大后减小
C.T2逐渐减小
D.T2最终变为零
【例】1、两个大小相同的小球，质量分别为m1和m2（m1>m2）,用细轻线连接，从飘游在空中的气球上抛出来。
求当两球的运动稳定后线的拉力T。
3
2、三根不可伸长的相同的轻绳，一端系在半径为r0的环1上，彼此间距相等。
绳穿过半径为r0的第3个圆环，另一端用同样方式系在半径为2r0的圆环上（如图所示）。
环1固定在水平面上，整个系统处于平衡。
试求第2个环中心与第3个环中心的距离。
（三个环都是用同种金属丝制作的，摩擦不计）
3、一个人站在冰面上不动，他拉一根拴在雪橇上的绳子，要拉动雪橇。
问此人应该与水平成多大角度拉绳？
（雪橇的质量M=100千克，人的质量m=60千克。
雪橇与冰的摩擦因数μ1=0.2，人与冰的摩擦因数μ2=0.3）
4、如果把一支截面是六角形的铅笔放在与水平面成角α的斜面上，垂直于斜面母线（斜面与水平面的交线），则铅笔静止不动。
如果把铅笔平行于母线放置，则它向下滚。
现将铅笔的轴与斜面母线间的夹角为
放置（如图所示），铅笔还处于平衡。
试求角
。
第四节力矩定轴转动物体的平衡条件
一、力矩和力偶矩
物体在转动的时候，物体上的各点都做圆周运动，这些圆周的圆心在同一直线上，这条直线叫做转动轴，简称转轴。
作用在物体上的力F的作用线和转动轴之间的距离叫做力臂，用L用表。
当力F在与转动轴垂直的平面内时，力与力臂的乘积称为力矩，用M表示
M=F·L
力矩是使物体绕轴转动状态发生改变的原因，力越大，力臂越大，力矩就越大，力对物体的转动作用也越大。
【例】一个大小确定的力的力矩一定不为零吗？
一个大小确定的力的力矩在什么条件下会最大？
力矩的单位是牛顿·米，简称牛·米，国际代号是N·m。
物体绕轴转动有两个不同的方向，如果规定使物体绕逆时针方向转动的力矩为正，则使物体绕顺时针方向转动的力矩取负。
有些时候也用动力矩和阻力矩加以区分。
如果力F既不在垂直于转轴的平面内，以不平行于转轴，则可以将力F分解。
其中一个分力F2的方向和转轴平行，它对转轴和力矩为零（为什么这样规定？
）；另一个分力F1在和转轴垂直的平面内，它对转轴的力矩等于力臂L和F1的乘积，这个力矩也是力F对转轴的力矩
M=M1+M2=M1=F·L1
作用在物体上的大小相等、方向相反、作用线平行（注意：
不能在一条直线上）的两个力组成一对力偶，力偶对物体只有转动作用而没有平支作用，其转动作用的大小由力偶矩来度量。
力偶矩的大小等于力F与力偶臂d的乘积，力偶臂d等于两个平行力的作用线之间的距离
M=F·d
OO
类似于力矩，力偶矩也可使用物体向不同方向转动。
一般也是规定使用物体向逆时针方向转动的力偶矩为正，使用物体向顺时针方向转动的力偶矩为负。
O
【例】对有固定转轴的物体来说，用一个力可以使用它转动，用两个力组成力偶也可以使用权它转动。
但它们有差别吗？
参照下两个图并举实例加以说明。
（两手对汽车方向盘产生一个力偶；用套筒拧螺母，两手对套筒产生一个力偶；定滑轮等）
一个力作用在物体上，可以同时产生转动作用和平动作用。
一个力作用在有固定转动轴的物体上，物体之所以没有发生平动，是因为物体受到固定转动轴的限制，这时转动物体要受到转动轴的压力，转动轴同时也要受到转动物体的压力。
这种压力往往是不利的，例如用一只手扳套筒，就容易磨损螺纹。
用力偶来使用物体转动，因为力偶只产生转动作用，在转动物体和转动轴之间就不会产生压力。
因此，如果希望只产生转动作用，那就应该用力偶来使物体转动。
二、定轴转动物体的平衡条件
有固定转动轴物体的平衡条件是：
作用在物体上的各力对转动轴的力矩的代数和为零，即合力矩为零
M合=0
或写成
如果有几个力偶作用在物体上，则当力偶矩的代数和等于零是，物体处于平衡状态（静止或匀速转动）。
【例】1、如图所示，AO是质量为m的均匀细杆，可绕O轴在竖直平面内自由转动。
细杆上的P点与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡，已知杆的倾角为θ，AP长度是杆长的1/4，各处的摩擦都不计，则挡板对圆柱体的作用力等于_______。
2、如图所示，是一半径为R的圆球，其重心不在球心O上，现将它置于水平地面上，则平衡时球与地面的接触点为A，若将它置于倾角为300的粗糙斜面上，则平衡时（静摩擦力足够大）球与斜面的接触点为B，已知圆弧AB所对的圆心角为300，则圆球的重心离球心O的距离是______
3、半径为R、质量为M1的均匀圆球与一质量为M2的重物E分别用细绳AD和ACE悬于同一点A，并处于平衡状态，如图所示，已知悬点A到球心O的距离为L，不考虑绳的质量和绳与球的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB间的夹角θ。
4、圆桌面由三条相互等距的桌腿在圆桌边缘上支撑着，桌腿重量忽略不计。
某人坐在正对着一条桌腿边缘上，恰好使到圆桌以另两条桌腿着地点的连线为轴而倾倒，圆桌倾倒后，他再坐到桌面的最高点上，恰巧又能使圆桌恢复过来。
求桌面半径与桌腿长度之比。
5、有一水果店，所用的秤是吊盘式杆秤，量程为10Kg。
现有一较大的西瓜，超过此秤的量程，店员A找到另一秤砣，它与此秤砣完全相同，把它与原秤砣结在一起作为秤砣进行称量。
平衡时，双砣位于刻度6.5Kg处。
他将此读数乘以2得13Kg作为西瓜的质量，卖给顾客。
店员B对这种称量结果表示怀疑。
为了检验，他另取一西瓜，用单秤砣正常称量得8Kg，用店员A的双秤砣法称量，得读数为3Kg，乘以2后得6Kg。
这证明了店员A的方法是不可靠的。
试问，店员A卖给顾客的那个西瓜的实际质量是多大？
6、如图所示，用两根轻质绳把重力为Mg的不均匀棒悬挂起来，使其呈水平静止状态。
一根绳子同竖直方向的夹角
，另一根绳与竖直方向的夹角
。
设棒长
，求重心离右端的距离x。
7、长度均为L的长方形匀质木快堆放在水平地面上，每一块都相对下面一块伸出L/n（n
2）,如图所示，问最多可以堆几块同样的木快而刚好不翻倒?
8、如图所示，一吊桥由六对钢杆悬吊，图示为桥墩的一个侧面，钢杆的上端分成两排挂在钢缆上，相邻两对钢杆间距均为9m，靠中心的两对钢杆长度为2m，在两端，钢缆与水平先成450角，如果要求每根钢杆承受相同的负荷。
试计算其余钢杆应有的长度。
（不计钢杆和钢缆的自重）
第五节一般物体的平衡条件
请参阅读教程P43-44
第六节物体平衡的种类
一、平衡的种类
当物体达到平衡以后受到微扰动而偏离平衡位置时，如果物体在所受各力的作用下将继续偏离平衡位置而不会再回复到平衡平衡位置，这种平衡叫做不稳定平衡。
如带正电的小球处于两个带等量正电荷小球连线的中点时。
当物体达到平衡以后受到微扰动而偏离平衡位置时，如果物体在所受各力的作用下将回到平衡位置，这种平衡叫做稳定平衡。
如带正电的小球处于两个带等量负电荷小球连线的中点时。
当物体达到平衡以后受到微扰动而偏离平衡位置时，如果物体所受的合力仍为零，而能在新位置继续保持平衡状态，这种平衡叫做随遇平衡。
如平均密度与液体密度相同的坚硬物体（实心或空心）浸没在液体内部。
【例】如图所示的几种平衡各属于什么种类的平衡？
二、稳度
稳度是物体的稳定程度。
一般来说，使一个物体的平衡遭到破坏所需要的能量越多，这个平衡的知名度就越高。
具体来说，稳度跟物体的重心高度和支面（注意：
支面不一定是物体跟支持物的实际接触面，如桌子是四条腿所围成的矩形）大小有关，重心越低、支面越大时稳度越高。
三、物体平衡种类的判断方法
受力分析法
力矩比较法
重心升降法
支面判断法
第七节流体静力学
一、流体的压强
静流体中的压强
加速流体中的压强
请阅读教程最后一章（书上的证明有错，请纠正）
二、浮力
静流体中的浮力
静流体中物体浮沉条件的几种判断方法，密度计（比重计）的刻度特点
加速流体中的浮力
请阅读教程最后一章
三、浮体的稳定性
请阅读教程最后一章
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